正多邊形與圓

1、正多邊形與圓一.選擇題1.（2015?廣東廣州，第9題3分）已知圓的半徑是2二，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是 （）A.3 二B.9 二C.18 二D.36 7考點(diǎn)：正多邊形和圓.分析：解題的關(guān)鍵要記住正六邊形的特點(diǎn)，它被半徑分成六個(gè)全等的等邊三角形.解答：解：連接正六邊形的中心與各個(gè)頂點(diǎn)，得到六個(gè)等邊三角形，等邊三角形的邊長是 2，高為3,因而等邊三角形的面積是 3，正六邊形的面積=18二，故選C .點(diǎn)評：本題考查了正多邊形和圓，正六邊形被它的半徑分成六個(gè)全等的等邊三角形，這是需要熟記的內(nèi)容.2. （2015?浙江金華，第10題3分）如圖，正方形 ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于O O,EF與

2、BC, CD分別相交于點(diǎn) G, H，則蘭的值是【】GH<62B. -.2D. 2【答案】C.【考點(diǎn)】正方形和等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，特殊元素法的應(yīng)用【分析】如答圖，連接 AC, EC, AC與EF交于點(diǎn)M .答團(tuán)則根據(jù)對稱性質(zhì)， AC經(jīng)過圓心O ,1 AC 垂直 平分 EF，乙EAC =NFAC =丄NEAF =30° 2不妨設(shè)正方形 ABCD的邊長為2,則AC =2 2 . AC 是O O 的直徑， . AEC =90°.在 Rt. ACE 中，AE 二AC cos. EAC =2 23 二 6

3、 ,2CE =AC sinNEAC =2遼 舟=©.在 Rt MCE 中， WFEC NFAC=30° , CM = CE sin /EAC 二 22 . 2 2易知 GCH是等腰直角三角形， GF =2CM =$2 .EF 二 AE 二 6 .又AEF是等邊三角形, EF 63- G廠3.GH 2故選C.3. （2015山東濟(jì)寧，乙3分）只用下列哪一種正多邊形，可以進(jìn)行平面鑲嵌（）A .正五邊形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形【答案】B【解析】試通分析，分別求出各個(gè)正多邊形的理個(gè)的於的度數(shù)再利用鎮(zhèn)氓應(yīng)再合一個(gè)芮靂JS數(shù)能聖除幽 即可作出河斷.正五邊形毎牛內(nèi)蘭是100&

4、#176; -360fl mwioe"-不能環(huán)360° ,不正六迫形的毎個(gè)內(nèi)甫罡120°，J個(gè)能密flh正八邊形的野個(gè)內(nèi)命為 U 不堆整除旳T -不能密fl；正十迫老的毎個(gè)內(nèi)角為14護(hù),不絶整除如,不能密梯.SB8 b考點(diǎn)：正多邊形的內(nèi)角，平面鑲嵌4. （2015?四川成都，第10題3分）如圖，正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于圓O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM和弧BC的長分別為（B） 2一3、二(C)【答案】：D【解析】：在正六邊形中，我們連接 OB、OC可以得到 OBC為等邊三角形，邊長等于半徑4。因?yàn)镺M為邊心距，所以 OM _ BC，所以，在邊長為 4的

5、等邊三角形中，邊上的咼OM =2 、3?；C所對的圓心角為60 ,由弧長計(jì)算公式：BC，02二 4 = 4二，3603選D。2015上海，第4題4分）如果一個(gè)正多邊形的中心角為72 °那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A、4；B、5；C、6；D、7.【答案】B.【解析】邊數(shù)為n "型=5。725. （2015?山東萊蕪，第 11題3分）一個(gè)邊長為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個(gè)正多邊形的半徑是（）1A . 2B.C. 1D. 2【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題意可設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.由正多邊形內(nèi)角和為（n 2） ?180°外角和為360 °根據(jù)

6、題意得：（n 2） ?180 ° =360解方程可得n=6.因此正多邊形為 6邊形.邊長故選A考點(diǎn)：正多邊形的內(nèi)角和與外角和，正多邊形的半徑6. （2015山東青島，第6題,3分）如圖，正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于OO ,若直線PA與OO 相切于點(diǎn)A，則/ PAB=（）A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°【答案】A【解析】試題分析：連接 OA,根據(jù)直線FA為切線可得/ OAP=90°，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得/ OAB =60° ,貝V / FAB= / OAF / OAB=90° 60° =3

7、0°.考點(diǎn)：切線的性質(zhì)7.（2015威海，第12題4分）【答案】：D【解析】【備考指導(dǎo)】 本題考查了正六邊形的有關(guān)計(jì)算，運(yùn)用正六邊形的性質(zhì)將正六邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形或等邊三角形是解題的關(guān)鍵。二.填空題1, （2015山東青島，第13題,3分）如圖，圓內(nèi)接四邊形 ABCD中兩組對邊的延長線分別相交于點(diǎn) E, F，且/ A=55° / E=30° 則/ F=.【解析】試題分析：根據(jù)乙肛忙冊內(nèi)角和可得ZABE=95° ,根據(jù)內(nèi)角四邊形的性質(zhì)可得ZD=180° 根 據(jù)AaDF的內(nèi)角和左理可得；ZFISO5 -55° 85° =40&

8、#176;考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 2, （2015?淄博第14題,4分）如圖，已知正五邊形 ABCDE , AF / CD，交DB的延長線于點(diǎn)F，則 / DFA= 36 度.考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角；平行線的性質(zhì).分析：首先求得正五邊形內(nèi)角 / C的度數(shù)，然后根據(jù)CD=CB求得/ CDB的度數(shù)，然后利用平行線的性質(zhì)求得 / DFA的度數(shù)即可.解答： 解：T正五邊形的外角為 360。弋=72°/ C=180° - 72°=108° ,/ CD = CB,/ CDB=36°/ AF / CD ,/ DFA=/ CDB =36° ,故答案為

9、：36.點(diǎn)評：本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角.3.（2015 威海，第 18 題 4 分）【答案】正十二邊形【解析】【備考指導(dǎo)】4. （ 2015湖南省益陽市，第 12題5分）如圖，正六邊形 ABCDEF內(nèi)接于OO , OO的半徑 為1,則的長為_ 考點(diǎn):弧長的計(jì)算；正多邊形和圓.解答： 解：/ ABCDEF為正六邊形, / AOB=360° X =60° ,6山長為-故答案為：=.點(diǎn)評：此題將扇形的弧長公式與多邊形的性質(zhì)相結(jié)合，構(gòu)思巧妙，利用了正六邊形的性質(zhì).5,（2015?泉州第16題4分）如圖，在O O的內(nèi)接四邊形 ABCD

10、中，點(diǎn)E在DC的延長線上.若/ A=50° ,貝V / BCE= 50°.解：/四邊形ABCD內(nèi)接于O O ,/ BCE = Z A=50° .故答案為50°6. （2015?浙江省臺(tái)州市，第16題）如圖，正方形 ABCD的邊長為1,中心為點(diǎn)O ,有一邊長大小不定的正六邊形 EFGHIJ繞點(diǎn)O可任意旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)（包括正方形的邊），當(dāng)這個(gè)六邊形的邊長最大時(shí)，AE的最小值為【分析】當(dāng)正六邊形EFGHIJ的邊長最大時(shí)，要使A.E最小以點(diǎn)H與匚重合）藥圖心，對角絨EH藥半徑的圜應(yīng)與正方形ABCD相切且點(diǎn)E在線段的上，如囹

11、所示，只養(yǎng)求出證、2的值，酬可解決間題.1解答】斛：當(dāng)這個(gè)正六邊形的邊長最夫時(shí)，作正方形盒肌D的內(nèi)切圓®0.當(dāng)正六邊形EFCHIJ的頂點(diǎn)H與口重合，且雖在線段2上時(shí)，丈最小，如圖所示.ADSC叮正方形AEB的邊長為1，- 0C的半綾0E芮丄，AO=-!-AC=ix |12_12=£）上上Lw基則AE的最小值 4-2 2故普案為當(dāng)-1£ £1點(diǎn)評】本題是有關(guān)正多邊形與嗚的問題，考査了正方冊的內(nèi)切圓、區(qū)1外一點(diǎn)與區(qū)上點(diǎn)的最短距離'勾股定理等卻識(shí)，正誦理解題意是斛決本謹(jǐn)?shù)年P(guān)鎮(zhèn).7. （2015?四川眉山，第16題3分）已知OO的內(nèi)接正六邊形周長為 12cm，則這個(gè)圓的半經(jīng)是 2 cm.考點(diǎn)：正多邊形和圓.分析：首先求出/ AOB= >360°進(jìn)而證明 OAB為等邊三角形，問題即可解決.解答：解：如圖，TO O的