遞推法證明不等式

1、精心整理精心整理順藤摸瓜，順?biāo)浦?遞推法證明數(shù)列不等式眾所周知，證明不等式的方法多種多樣，技巧層出不窮，今天筆者試圖給出一個(gè)較為巧妙 的好方法一一遞推法，此法在證明一些較為復(fù)雜的代數(shù)不等式時(shí)顯得特別有效，請(qǐng)看例 1. （2012 年第 11 屆中國(guó)女子競(jìng)賽）設(shè)為正整數(shù)，“吆4 為非負(fù)數(shù)，求證;-1- -H- -1+4(1 + 4)(1+心)(1 + 4 )(1+ 6)(1+ 6)d-Hx )(1 八(1 Jr 1Z-1 1 1匕丿(Xd 丿1 心丿于是，由數(shù)學(xué)歸納法知:設(shè)g(x)g(x) = =- 1 ,對(duì) E (0, 容易得道X2兀+耳+兀 丿到此，還沒(méi)有用到條件（遞推式），應(yīng)該考慮題目條

2、件了，所以 另一方面，根據(jù)題設(shè)以及 Cauchy 不等式得到精心整理精心整理精心整理精心整理 n n所以，（1 一 6）（ 1）,-2“/=!H HJJJJ/I對(duì)上式兩部同除以得到 nJ-（ -1）,所以, 42 2士（=1 1=1 /=!從而原題得證.評(píng)注：本題的證明過(guò)程主要在于抓住要證結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，從而可以從構(gòu)造函數(shù)入手，這是解 決本題的關(guān)鍵所在.證明二 首先用數(shù)學(xué)歸納法證明 0縱；, = 1,2,3當(dāng)=咐命題成立。假設(shè)命題對(duì)/（/? 1）成立，即有 0心-.假設(shè) /(%) = -% +-= 2-x +- 22 X X2 X Xd 卄 I =/（d j/（0） = -,于是=皿“用）專，

3、即命題對(duì)+1 成立 由數(shù)學(xué)歸納法 04” -,“ = 1,2,3原命題等價(jià)于：n n.(-1)-1)設(shè)f f（x x）= =111（-一 1）/（0、一），貝 g/（x）為（0,）中的下凸函數(shù)，對(duì)于X X2 22 2事實(shí)上，所以，Jensen 不等式可得：即(-1/ 2o 因?yàn)?伙+ 1）22的加強(qiáng)。 /伙） /伙）左邊=土 1竺=2,右邊=2=2a a a a所以不等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)m m = = k k時(shí)，原不等式成立，即有而所以所以即故當(dāng)m m = = k k + + i i時(shí)，原不等式成立。例 3 證明：0）,聽(tīng)材，1 +。+* + 02m2m355-1a a + + a a +a

4、+a+ + dm m證明（1）當(dāng) W = 1 時(shí)精心整理綜合（1）與（2）便知，原不等式成立。精心整理評(píng)注 1：此題解決的關(guān)鍵是由式子/伙）+ 7 一2 結(jié)合題目分析構(gòu)造式子/伙+ 1） +一廠，在直覺(jué)猜測(cè)/伙）/伙）的基礎(chǔ)上證明該式大于 2 （因?yàn)楫?dāng)RT+8時(shí)/伙+ 1）充分接近f f（k k）. .實(shí)際匕 應(yīng)有+進(jìn)而為順利實(shí)施歸納過(guò)渡做出了很好的鋪墊，這一切需要有敏銳的代數(shù)直覺(jué)猜測(cè)力和構(gòu)造能力。評(píng)注 2:在例 3 證明結(jié)論中令a a = = x xQ,Q,則可等價(jià)變形出如下結(jié)論：(1 + xXl + T + + x)m m+1 (1 +x)xx)x+ x + x + +) ) nini=

5、用(1 + x+x + + /舊) (w + ixx + F + + x)兩邊同時(shí)減去/(x + x- + -+x-),有加（1 +亍時(shí)）/ +亍+亍”,于上式中再令fifi = = 2m2m + + i.i. mwN*mwN*可得即 2(l + x+x)(n + l)(l + *)而此式即為 2015 年高考陜西理科壓軸題第（口）小題的實(shí)質(zhì)部分:設(shè)九（X）是等比數(shù)列的各項(xiàng)和，其中工0,eN,2.（I）證明：函數(shù) F”（x） = （x）-2 在（亍,1）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為暫），且 =- + -/驚；乙lb（口）設(shè)有一個(gè)與上述等比數(shù)列的首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)分別相同的等差數(shù)列，各項(xiàng)和為 g”a）,比較九（對(duì)與g g （x x）的大小，并加以證明。關(guān)于這一點(diǎn)，讀者簡(jiǎn)單演算便知，限于篇幅，不再贅述。數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)即是遞推法，遞推法堪稱數(shù)列不等式的“御用保鏢。參考文獻(xiàn)：1王向