法向量在立體幾何中的運(yùn)用

1、法向量在立體幾何中的運(yùn)用孟志霞河北省三河市第一中學(xué)065200在高中立體幾何中引入了空間向量， 大大降低了立體幾何解題的 難度.法向量的引入，對(duì)于解決空間的角與距離提供了很大的幫助.下 面簡(jiǎn)單介紹法向量在立體幾何中運(yùn)用.一、點(diǎn)到平面的距離.（先確定平面的法向量，再求點(diǎn)與平面上一點(diǎn)連結(jié)線段在平面的法向量上的射影長.設(shè) n是平面 的一個(gè)法向量，貝y B0,a,0C a, a,0 D 2a,0,0S 0,0, a SD 2a,0, a SC a, a, a5設(shè)平面 SCD 的法n x, y,zn SC,即ax ay az 0,nSD,即2ax az 0 所以可令 n 1,1,2 ,點(diǎn) a到SA nd

2、平面SCD的距離-,6a=3二、兩條異面直線間的距離.（先求兩條異面直線的一個(gè)公共法向量, 再求兩條異面直線上兩點(diǎn)的連結(jié)線段在公共法向量上的射影長.設(shè)a,b是異面直線，n是a,b公共法向量，點(diǎn)E a,F b，則異面直線a與b之BEF»nd -間的距離r1）。例2 .如圖，已知ABCD是正方形，PD平面ABCD , pa AB 1 ,E，F(xiàn)分別是PB，PD的中點(diǎn)，求異面直線AE與CF之間的距離。解：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，DA, DC,DP為x軸，y軸，z軸，則 C 1,0,0,E 11 1 f 0 0丄丄丄丄B 1,1,0, A 0,1,0, P 0,0,122'22

3、 AE 2221-11CF 1,0,2 , EF 了 2,0 , n x,y,z是異面直線AE與CF的公共1111z=0.所以法向量，則n CF即x 2 z 0 ； n AE即2x2y + 2EF n2n=也2，所以異面直線dTn7AE與CF之間的距離三、直線與平面的夾角.（求斜線與平面的法向量夾角的余角） 例3 如圖,在直三棱柱ABC ARG中，底面是等腰直角三角形，ABC 900 .側(cè)棱zAAi 2,D,E分別是CCi與AB的中點(diǎn)，點(diǎn)e在平面的重心G .EGxB11 求 A1BC 0,0,0 B 0,a,0yABD上的射影是A平面ABD2求點(diǎn)A到平面（1）建立所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)

4、值表示）；A圖坐標(biāo)系設(shè)厲A a,0,a C1 0,0,2a aA, a,0,2 E 2,2,1 ,D 0,0,1a a 13,3, 3貝y ba = a, a,0BD 0,a , 1BD GE則 BA = 2, 2,2 ,GE ?33GE，取平面ABD法向量為，則GE與BA夾角為BAi，GEBA1 GE2AB與平面ABD所成角的余角.所以COSBA GE3,所以AB與平面ABD所成角為.2 arcs in 3由（1）知 AD2,01 ,AE1,1,1 ,AE1,1,1，設(shè)平面AED的法向量為n x,y,z , n AD，即 2x0,n AE,即0 ,所以令法向量AE ndr-n 1 1,2 所

5、以點(diǎn)A到平面AED的距離為2、63四、兩個(gè)平面的夾角.（求兩個(gè)平面的法向量的夾角）例4 過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，引PA平面ABCD，若PAzOyBCcos n, nin R|n n12.所以平面ABP與平面 CDP所成的二面角則平面ABP與平面CDP所成的二面角的大小.解：以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為X軸，y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖。則 A 0,0,0，P 0,0,1 ， C 1,1,0, D 0,1,0，則 PC 1,1, 1,， PD 0,1, 1,設(shè)平面PCD的法向量為n x,y,z ,n PC,即 x y z 0 ； n PD，即hty z 0 .所以可令n 0,11

6、；設(shè)平面PAB的法向量為n1 Q1,0，所 以平面P A B與平面P C D所成的二面角的余弦值為AxX-B 2 22 2,0EBE 2、2, . 2,0的平面角為4 .既然可以利用兩個(gè)平面的法向量求兩平面的夾角， 也可以利用兩個(gè)平 面法向量證明兩平面垂直.如下面的例5.可以先求兩平面的法向量， 再計(jì)算它們的數(shù)量積.例5 .如圖，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面邊長為2 2，側(cè)棱長為4, e,f分別為棱ab,bc的中點(diǎn).求證：平面B1EF 平面BDD1B1解：以D為原點(diǎn)，DA, DC,DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，貝yF 2,2 2,0D)B),0,2 20 2；(2,2 2,4 EF 2, 2,0EB10, 2,4DDi 0,0,4設(shè)平面EF的法向量為n x，y,z ,則 V2x V2y =o； n EB,即 ©y 4z 0.所以令齊=4,4，鹿設(shè)平面bddq的法向量為ni = xi，yi，zi ,n