等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)+練習(xí)

1、1、等差數(shù)列an前 n 項(xiàng)和公式：Sn=巴n=a1nn(n 1)d=nan-n(n 1)d。2 2 2等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)之和公式可變形為，若令A(yù)=, B=ai,則=An2+Bn.在解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，ai, an, d, n 中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。2、等差數(shù)列an前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì) 1：Sn,S2n S,S3n Qn,也在等差數(shù)列，公差為 n性質(zhì) 2:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n,則 S2n=n(a 計(jì) a2n)=n( an+an+i) ( an, an+i為中間兩項(xiàng)),此時(shí)有:S偶一 S奇= nd性質(zhì) 3:(2)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)S奇nf2n 1,貝US2n-i=(2n 1) an(

2、an為中間項(xiàng)), 此時(shí)有:S奇一 S 偶=an,s性質(zhì) 4:數(shù)列為等差數(shù)列n性質(zhì) 5:若數(shù)列an與bn都是等差數(shù)列，且前 n 項(xiàng)的和分別為 S 和 Tn,則勺bnT2n 1典型例題：熱點(diǎn)考向 1 ：等差數(shù)列的基本量(ai, an, d, n 中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè))例 1、在等差數(shù)列an中，已知 48,S12168，求印,和d已知a610, S55，求a8和S8訓(xùn)練：1、在等差數(shù)列an中，已知ai030, a2050.( 1)求通項(xiàng)公式a.; (2)若Sn242，求n.S2. 在等差數(shù)列an中，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S77,Si575,Tn為數(shù)列J的前n項(xiàng)和，求Tnn3、 已知等差數(shù)

3、列的前 n 項(xiàng)之和記為 Sn, S0=10 , S30=70，則 S。等于_。4.已知是等差數(shù)列，且滿足，貝 y 等于_。在等差數(shù)列an中，設(shè)前 m 項(xiàng)和為 Sm前 n 項(xiàng)和為 Sn,且= Sn,m n,求 Sm+n5、 已知等差數(shù)列an的公差是正數(shù)，且 a3 a7= 12, a4+ a6= 4，求它的前 20 項(xiàng)的和 勺0的值.熱點(diǎn)考向 2:求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值例 2、1 已知：等差數(shù)列an中，an=33 3n,求 Sn的最大值.2、在等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. (1 )若ai20,并且S10$5，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn最大，并求出最大值；(2)若ai0,S9S12，則該數(shù)列前多少項(xiàng)的和

4、 最??？訓(xùn)練：1、已知： ()(1)問(wèn)前多少項(xiàng)之和為最大？ (2 )前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最??？2. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a312,S120, % 0.(I )求公差d的取值范圍；(II )指出Si.S2.S3, ,Si2中哪一個(gè)最大，并說(shuō)明理由。3、 在等差數(shù)列an中，已知 a1= 25, Sg= S17,問(wèn)數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值.熱點(diǎn)考向 3 :求等差數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值之和.例 3、已知一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=25 5n,求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；訓(xùn)練：1、已知等差數(shù)列an中，S3=21, S6=64,求數(shù)列 |an冷 的前 n 項(xiàng)和 Tn.2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和

5、Sn12n n2，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Tn。熱點(diǎn)考向 4:.等差數(shù)列an前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用例 4.設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,若&=9$6=36,則 a7+a8+a9=()1.在等差數(shù)列an中，已知公差 d=1/2,且 ai+a3+a5+ a99=60, a2+a4+a6+aioo=()2.兩等差數(shù)列an 、bn的前 n 項(xiàng)和分別是 Sn 和 Tn,且色卻一7，則空Tnn 3bio訓(xùn)練：1、已知等差數(shù)列 an的前 10 項(xiàng)之和為 140，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為 125，則 a6=_。2. 一個(gè)等差數(shù)列的前 12 項(xiàng)之和為 354，前 12 項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)之比為32: 27

6、,求公差。3.已知一個(gè)等差數(shù)列的總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，_且奇數(shù)項(xiàng)之和為 77,偶數(shù)項(xiàng)之和為 66,則中間項(xiàng)=總項(xiàng)數(shù)為_(kāi)。4. 等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)的和為 Sn,已知 am-1+am+ran2=0,S2m-1=38,則 m=熱點(diǎn)考向 5:知識(shí)的融合與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例 4.已知二次函數(shù) y= f(x)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x) = 6x 2,數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 S,點(diǎn)列(n,*3S)( nN)均在函數(shù) y = f(x)的圖象上.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn=, Tn是數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和，求anan+1m*使得 Tn20 對(duì)所有 nN都成立的最小正整數(shù) m2、項(xiàng)數(shù)是的

7、等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為是方程的兩根，求證此數(shù)列的和是方程的根。 ()訓(xùn)練：1、設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn,已知2a2a1a3，數(shù)列Sn是公差為d的等差數(shù)列。2、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(用n,d表示)；(2)設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足m n 3k且m n的任意正整數(shù)m, n,k，不9等式SmSnCSk都成立。求證：C的最大值為。26:練習(xí)部分1等差數(shù)列an前 n 項(xiàng)的和為 Sn，且 S33,S67,則 S9的值是()A.12 B . 15C.11D. 82、等差數(shù)列、的前 n 項(xiàng)和為 Sn、Tn.若=_；3在等差數(shù)列an中，若a3a4aa6a?450，則a?a8=( A . 45 B. 7

8、5 C. 180D.3204.在等差數(shù)列an中，(1 )若 a1120 ,則 S21=_;(2)若 a4a7a10a1320 ,則 S16_5._在等差數(shù)列an中，前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S31 , a7a*a95，則 S99=_。6.如果等差數(shù)列 an 中， a3+ a4+ as= 12， 那么 a1+ a2+-+a7= ()(A)14 (B)21 (C)28 (D)35anbn為整數(shù)的 n 值有7. 在等差數(shù)列a.中，a10 ,Sn為前 n 項(xiàng)和，且 S3尿，則 Sn取得最小值時(shí) n 的值為()。A. 9B. 10C. 9 或 10D. 10 或 11&在等差數(shù)列an中，SmSn

9、(m n)，則aam n等于()A.mn B.(mn)C.0D.(m n 1)1*9. 數(shù)列an滿足anan1- (n 2, n N) ,a?1,Sn是an的前n項(xiàng)和，貝 US21=_._210. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且=6 , =4,貝y公差d等于()A.1B C.2D311. 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則等于()A.13B .35C .49D .6312.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，若a2a6aw為一個(gè)確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是()13.已知某等差數(shù)列共有 10 項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為 15,其偶數(shù)項(xiàng)之和為 30,則其公差為 ()A5B4C3D2A.S6B.S2D.S131

10、4.在等差數(shù)列an中,2(ai+ a4+ a?) + 3(a9+ aii) = 24,則此數(shù)列的前 13 項(xiàng)之和等于()(A)13 (B)26 (C)52(D)156n 1(n 為奇數(shù))15. 已知數(shù)列 an=，貝Uai+ a2+ a3+ a4+-+ a99+ aioo= ( )(A)4 800 (B)4 900 (C)5 000 (D)5 100n(n 為偶數(shù))16. 已知等差數(shù)列an中，|a3| =麗，公差 dS6(B)S5S6(C)S6= 0(D)S5= S17. 在遞減等差數(shù)列an中，若 ai+ ai00= 0,則其前 n 項(xiàng)和 S 取最大值時(shí)的 n 值為()(A)49 (B)51 (

11、C)48 (D)501. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則.2. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且則_3. 已知為等差數(shù)列，+=105, =99,以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,貝 y=_。4.若an , bn是等差數(shù)列，且滿足 色一a2a3 L7-2，則 竺=b1b?b(3Lbnn 3b55.設(shè)等差數(shù)列共有 10 項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為15,則其首項(xiàng) a1=_，公差 d=_;在項(xiàng)數(shù)為 2n 1(n N)的等差數(shù)列中，它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比=_。6.已知等差數(shù)列_1 , 4, 7,10,，試求 x 的值，使 x 分別滿足 1) 1+4+7+x=477, x=

12、_; ( 2)(x+1)+(x+4)+(x+7)+(x+298)=15950 , x=_; (3) x x4 5 6 7 x7 x10 x13=x105, x=_。、sis7 已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 S,且 =二，則 =S83Si6-8.各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列_an 中， 若an2 an1an+1= 0(nN*, n2)，貝US012等于_.1 .已知等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 Sm1 , S3m4，試求 S6m的值。4 設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，已知 S=7,Si5=75,Tn為數(shù)列 色 的前 n 項(xiàng)和，求 Tn.n5 等差數(shù)列an中，aiV0,S9=Si2,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？6 已知數(shù)列an中，ai= 8, a4= 2,且滿足 an+2+ an= 2an+1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) S 是數(shù)列|an|的前 n項(xiàng)和，求 Sn.7 若等差數(shù)列an的前 m 項(xiàng)、前 n 項(xiàng)的和分別為 Sm和 Sn，且 Sm: Sn=m2: n2( m n ),求證 an: am(2n 1):(2m 1)。&在等差數(shù)列an中，公差為 d, a484，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sio0 , S110。(1)求 d 的取值范圍；(2)求 使得 an0 的最小自然數(shù)的值；(3)設(shè)在集合 Si, S2,