數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題-兩平面垂直的判定和性質(zhì)

1、 典型例題一例1根據(jù)敘述作圖，指出二面角的平面角并證明（）如圖1，已知在內(nèi)作于，在內(nèi)作于（）如圖，已知作于，在內(nèi)作于，連結(jié)（）已知作于，于，平面，連結(jié)、作圖與證明在此省略說(shuō)明：本題介紹了作二面角的平面角的三種常用方法，其中用三垂線定理及逆定理的方法最常用，還需補(bǔ)充這種方法的其他典型圖形典型例題二例2. 如圖，在立體圖形中，若是的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（ ）.（A）平面平面（B）平面平面（C）平面平面，且平面平面（D）平面平面，且平面平面分析：要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系，就需固定其中一個(gè)平面，找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與第一個(gè)平面垂直.解：因?yàn)榍沂堑闹悬c(diǎn)，所以同理有，于是平面.因?yàn)槠矫?，所以平?/p>

2、平面.又由于平面,所以平面平面.所以選C.說(shuō)明：本題意圖是訓(xùn)練學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)低級(jí)位置關(guān)系以便得到高級(jí)位置關(guān)系.在某一個(gè)平面內(nèi),得到線線垂直的重要途徑是出現(xiàn)等腰三角形底邊的中線,由線線垂直得到線面垂直,由線面垂直可得到面面垂直.典型例題三例如圖，是所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面求證分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直證明：在平面內(nèi)作，交于因?yàn)槠矫嫫矫嬗?，平面，且，所以又因?yàn)槠矫?，于是有另外平面，平面，所以由及，可知平面因?yàn)槠矫?，所以說(shuō)明：在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的

3、垂直關(guān)系，通過(guò)本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直典型例題四例如圖，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上異于、的任意一點(diǎn)，求證：平面平面分析：證明面面垂直的有兩個(gè)依據(jù)，一是證明二面角的平面角為直角，二是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理由于點(diǎn)的任意性，用方法一的可能性不大，所以要尋求線面垂直證明：因?yàn)槭堑闹睆?，是圓周上的點(diǎn)，所以有因?yàn)槠矫?，平面，則由及，得平面因?yàn)槠矫?，有平面平面說(shuō)明：低一級(jí)的垂直關(guān)系是判定高一級(jí)垂直關(guān)系的依據(jù)，根據(jù)條件，由線線垂直線面垂直面面垂直通過(guò)這個(gè)例題展示了空間直線與平面的位置關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)共同構(gòu)成了一個(gè)完整的知識(shí)體系典型例題五例如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上

4、，在面內(nèi)引射線，使與所成的角為，與面所成的角大小為，求二面角的大小分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角，然后將平面角放入一個(gè)可解的三角形中（最好是直角三角形），通過(guò)解三角形使問題得解解：在射線上取一點(diǎn)，作于，連結(jié)，則為射線與平面所成的角，再作，交于，連結(jié)，則為在平面內(nèi)的射影由三垂線定理的逆定理，為二面角的平面角設(shè)，在中，,在中，,是銳角，,即二面角等于說(shuō)明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個(gè)圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個(gè)平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線典型例題六例如圖，將邊長(zhǎng)為的正三角形以它的高為折痕折成一個(gè)二

5、面角（）指出這個(gè)二面角的面、棱、平面角；（）若二面角是直二面角，求的長(zhǎng)；（）求與平面所成的角；（）若二面角的平面角為，求二面角的平面角的正切值分析：根據(jù)問題及圖形依次解決解：（）二面角的面為和面，棱為，二面角的平面角為（）若，（）平面，為與平面所成的角在直角三角形中，于是（）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，為二面角的平面角在直角三角形中，說(shuō)明：這是一個(gè)折疊問題，要不斷地將折疊前后的圖形加以比較，抓住折疊前后的變與不變量典型例題七例7正方體的棱長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn)求二面角的大小分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個(gè)半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡(jiǎn)便，但因與其他條件沒有聯(lián)系，要求這

6、個(gè)平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考慮到垂直于平面，在平面上的射影就是再過(guò)作的垂線，則面，過(guò)作的垂線，即為所求二面角的平面角了解：過(guò)作及的垂線，垂足分別是、，連結(jié)面，面，又，面又，為所求二面角的平面角，而，在中，在中，在中，典型例題八例8在所在平面外有一點(diǎn)，已知，與底面所成角為，二面角的大小為，且求二面角的大小分析：由題設(shè)易證，由已知得平面，顯然所求的二面角是直二面角，此時(shí)只需證明二面有的兩個(gè)面垂直即可在解這種類型題時(shí)，如果去作二面角的平面角，那么可能會(huì)走彎路解：如圖所示，作平面于，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)平面，是與平面所成角，平面，是二

7、面角的平面角，又，平面，平面平面，二面角的大小為說(shuō)明：二面角的平面角滿足三個(gè)條件：(1)頂點(diǎn)在棱上，(2)兩邊在面內(nèi)，(3)兩邊與棱垂直應(yīng)注意不滿足第(3)條，不是二面角的平面角在求二面角大小時(shí)，若其平面角不易作出時(shí)，則可考慮判定兩平面是否垂直，如果兩平面垂直，則其二面角為，反之亦然典型例題九例9如果，那么分析：(1)本題是一道高考題，考查線面垂直和面面垂直的性質(zhì)和邏輯推理能力要證，只要證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直就可以了，從而借助平面與平面垂直的性質(zhì)達(dá)到證明的目的；(2)要證，只要證明平行于平面的一條垂線就可以了，這也可以借助面面垂直的性質(zhì)加以考慮；(3)可以用“同一法”來(lái)證明證法一：

8、如圖所示，設(shè)，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作于，作于，又，同理可證且，證法二：如圖所示，設(shè)，在平面內(nèi)作直線，設(shè)，在平面內(nèi)作直線同理可證，因此由于，而，故由知，證法三：如圖所示過(guò)直線上一點(diǎn)作直線，根據(jù)課本第37頁(yè)例2（如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)），同理可證，故椐公理2可知，直線與直線重合說(shuō)明：(1)本例實(shí)際上可作為兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，主要用于判斷直線和平面的垂直，在很多習(xí)題中都可以用到本例的結(jié)論(2)本例的三種證明方法其思維角度不同，但都是圍繞“面面垂直”、“線面面垂直”的判定與性質(zhì)定理來(lái)進(jìn)行思考的，希望同學(xué)們今后在解題中多進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，這對(duì)提高

9、數(shù)學(xué)思維能力是大有裨益的典型例題十例10設(shè)由一點(diǎn)發(fā)出三條射線、，、均為銳角，且求證：平面平面分析：欲證兩平面垂直，只需證明其中一平面內(nèi)有一直線垂直于另一平面即可，此題設(shè)法通過(guò)線段關(guān)系過(guò)渡證明：如圖，任取點(diǎn)，作于，過(guò)作于，連結(jié)，故又由，則，從而可得，即，已作，故平面，即有，已作，從而平面，故平面平面說(shuō)明：本題易犯錯(cuò)誤是：作于，作于，連結(jié)，由三垂線定理得，平面，平面其錯(cuò)誤原因是作后，將誤認(rèn)為是平面的垂線此題的證明也可以作于，于，連結(jié)在中，由余弦定理及條件，證明，從而，面，由此進(jìn)一步證明，平面平面典型例題十一例11如果二面角的平面角是銳角，點(diǎn)到、和棱的距離分別為、，求二面角的大小分析：如果二面角內(nèi)部

10、，也可能在外部，應(yīng)區(qū)別處理解：如圖甲是點(diǎn)在二面角的內(nèi)部時(shí)，乙是點(diǎn)在二面角的外部時(shí)，面同理，面，而面面面與面應(yīng)重合，即、在同一平面內(nèi)，是二面角的平面角在中，在中，故（圖甲）或（圖乙）說(shuō)明：作一個(gè)垂直于棱的平面，此平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角這是本題得到二面平面角的方法，即所謂垂面法典型例題十二例12為的二面角內(nèi)一點(diǎn)，到和的距離均為10，求點(diǎn)到棱的距離分析：本題已知二面角的大小而求點(diǎn)到直線的距離，須做出二面角的平面角，然后將條件揉和在一起，便可解決問題解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，于，設(shè)相交直線、確定的平面為，則，連結(jié)，則，而平面，的長(zhǎng)即為點(diǎn)到直線的距離又，是二面角的平面角，即而四邊形為

11、一圓內(nèi)接四邊形，且為該四邊形的外接圓直徑四邊形的外接圓半徑等于由、中任意三點(diǎn)確定的三角形的外接圓半徑，因此求的長(zhǎng)可利用在中，由正弦定理：說(shuō)明：(1)該題尋找的二面角的平面角，所采取的方法即為垂面法，由此可見，若題目可找到與棱垂直的平面，用“垂面法”確定二面角的平面角也是一種可取的方法(2)充分借助于四邊形為一圓內(nèi)接四邊形，即為其外接圓直徑，然后借助于四邊有的外接圓直徑等于其中任一三角形的外接圓直徑進(jìn)行轉(zhuǎn)移，由正弦定理幫助解決了問題典型例題十三例13如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，求：(1)與所成的角；(2)與平面所成角的正切值；(3)平面與平面所成的角解：(1)，與所成的角就是，平面，（三垂線定理）在

12、中，(2)作，平面平面平面，為與平面所成的角在中，(3)，平面又平面，平面平面說(shuō)明：本題包含了線線角、線面角和面面角三類問題求角度問題主要是求兩條異面直線所成角，直線和平面所成角，二面角三種典型例題十四例14如圖，矩形，平面，若，與平面所成的角為，與平面成角，求：(1)的長(zhǎng)；(2)求與所在的角；(3)求二面角的余弦值分析：從圖中可以看出，四面體是一個(gè)基礎(chǔ)四面體，前面已推導(dǎo)出平面與平面所成的二面角的余弦值為，可見，基礎(chǔ)四面體作為一部分，經(jīng)常出現(xiàn)在某些幾何體中解：(1)平面，又平面，為與平面所在的角，即同理：即為與平面所成的角，在中，在中，在中，(2)，與所成的角，即為與所成的角，即為與所成的角平

13、面，（三垂線定理）在中，(3)由點(diǎn)向作垂線，垂足為，由點(diǎn)向作垂線，垂足為，連結(jié)平面，又，平面，為平面的斜線，由于，由三垂線定理：為二面角的平面角在中，在中，二面角的余弦值為說(shuō)明：解空間幾何計(jì)算問題，一般要做兩件事：一件是根據(jù)問題的需要作必要證明，如本題中的線線所成的角、面面所成的角從理認(rèn)上都必須說(shuō)清楚究竟是誰(shuí)；另一件事才是計(jì)算，這兩件事是根據(jù)問題解答邏輯上的需要有機(jī)的結(jié)合在一起的典型例題十五例15過(guò)點(diǎn)引三條不共面的直線、，如圖，若截取(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離分析：要證明平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線(1)證明：，又，和都是等邊

14、三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，在中，在中，平面平面，平面平面或：，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心，又為，在斜邊上，又為等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，平面平面，平面平面(2)解：由前所證：，平面，的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到平面的距離為典型例題十六例16判斷下列命題的真假(1)兩個(gè)平面垂直，過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作與它們交線垂直的直線，必垂直于另一個(gè)平面(2)兩個(gè)平面垂直，分別在兩個(gè)平面內(nèi)且互相垂直的兩直線，一定分別與另一平面垂直；(3)兩平面垂直，分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩直線互相垂直分析：(1)若該點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，則命題是錯(cuò)誤的，如圖，正方體中，平面平面，平面平面，在上取點(diǎn)，連結(jié)，則，即過(guò)棱上一點(diǎn)的直線與

15、棱垂直，但與平面不垂直，其錯(cuò)誤的原因是沒有保證在平面內(nèi)可以看出：線在面內(nèi)這一條件的重要性；(2)該命題注意了直線在平面內(nèi)，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖，在正方體中，平面平面，平面，平面，且，即與相互垂直，但與平面不垂直；(3)如上圖，正方體中，平面平面，平面，平面，與所成的角為，即與不垂直說(shuō)明：必須注意兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理成立的條件：(1)線在面內(nèi)，(2)線垂直于交線，從而可得出線面垂直典型例題十七例17如圖，在二面角內(nèi)有一點(diǎn)，到、的距離分別為3和5，求到交線的距離解：作于，于，設(shè)，所確定的平面為，連，同理，平面，則是到的距離在四邊形中，是圓的內(nèi)接四邊形，且又，說(shuō)明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再證明、四點(diǎn)共面，同時(shí)用到正弦定理和余弦定理典型例題十八例18如圖，四面體中，是等腰三角形，且平面，求點(diǎn)到平面的距離分析：考慮利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理作出點(diǎn)到的垂線，先確定一個(gè)過(guò)點(diǎn)