五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)難點(diǎn)解析附34個(gè)必考公式

1、五年級(jí)奧數(shù)五年級(jí)下學(xué)期是小升初前的最后一個(gè)學(xué)期，對(duì)于整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，只有這一關(guān)過(guò)好了，才可能在小升初的備考中游刃有余。所以這學(xué)期的奧數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)該有更強(qiáng)的針對(duì)性，針對(duì)自己的實(shí)際情況和目標(biāo)選擇合適的班型。學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：五年級(jí)屬于小學(xué)高年級(jí)，孩子進(jìn)入五年級(jí)以后，隨著年齡的增長(zhǎng)，孩子的計(jì)算能力，認(rèn)知能力，邏輯分析能力都比以前有很大的提高，這個(gè)時(shí)期是奧數(shù)思維形成的關(guān)鍵時(shí)期，是學(xué)奧數(shù)的黃金時(shí)段，所以是否把握住五年級(jí)這個(gè)黃金時(shí)段，關(guān)系到以后小升初的成與敗。那么在整個(gè)五年級(jí)階段都有哪些重點(diǎn)知識(shí)呢？為了孩子更好的把握五年級(jí)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，下面就介紹一下五年級(jí)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。1 .進(jìn)入數(shù)學(xué)寶

2、庫(kù)的分析方法一一遞推方法：任何事物的發(fā)展總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，奧數(shù)也是一樣，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，我們不妨先從最簡(jiǎn)單的情況入手，通過(guò)處理簡(jiǎn)單的問(wèn)題，我們可以從中得到規(guī)律或者訣竅，從而來(lái)解決復(fù)雜的問(wèn)題，這就是遞推方法。比如說(shuō)：平面上2008條直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)？同學(xué)們第一眼看到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，肯定會(huì)想畫 2008條直線相交然后再數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，那該是多麻煩?。∑鋵?shí)我們可以先來(lái)解決簡(jiǎn)單點(diǎn)的情況，分別找到1條、2條、3條、4條這些直線有多少個(gè)交點(diǎn)。1條直線最多有 0個(gè)交點(diǎn)2條直線最多有 1個(gè)交點(diǎn)3條直線最多有 3個(gè)交點(diǎn)4條直線最多有 6個(gè)交點(diǎn)5條直線最多有 10個(gè)交點(diǎn)6條直線最多有 15個(gè)交點(diǎn)所以2008 條直線有 1

3、+2+3+4+5+2007=2015028個(gè)交點(diǎn)。那么聰明的你，你能算出2008條直線最多可以把圓分成幾部分么？2 .變化無(wú)窮、形跡不定的行程問(wèn)題：提到行程問(wèn)題，同學(xué)們可能就感到頭疼，的確不錯(cuò)，因?yàn)樾谐虇?wèn)題中各個(gè)物體的速度、時(shí)間、路程都在變化，而且各個(gè)物體都是在運(yùn)動(dòng)中，位置是隨著時(shí)間在變化，所以分析起來(lái)就很麻煩。為了更好的解決這個(gè)問(wèn)題，我們把行程問(wèn)題進(jìn)行了細(xì)分：基本行程（單個(gè)物體）、平均速度、相遇、追及、流水行船、火車過(guò)橋、火車錯(cuò)車、鐘表問(wèn)題、環(huán)形線路上行程。只要我們掌握這些每個(gè)小類型中的訣竅，形成一種分析思路，復(fù)雜的行程問(wèn)題無(wú)非是這些類型的變形而已，解決起來(lái)就容易多了。3 .抽象而又雜亂的數(shù)

4、論問(wèn)題：數(shù)論是從五年級(jí)的核心知識(shí)，無(wú)論是在哪本教材里，都用了很多的章節(jié)來(lái)講解數(shù)論。要想解決復(fù)雜的數(shù)論問(wèn)題，我們首先得掌握數(shù)論的基本知識(shí)：數(shù)的奇偶性、約數(shù)（現(xiàn)在叫因數(shù)）、倍數(shù)、公約數(shù)及最大公約數(shù)、公倍數(shù)及最小公倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)、整除、余數(shù)及同余等。這些基本知識(shí)點(diǎn)里又有些非常有代表性的例題，只要能掌握好這些知識(shí)點(diǎn)，然后做一定量的數(shù)論綜合習(xí)題，碰到難的數(shù)論問(wèn)題我們就容易 解決了。4 .有趣的抽屜原理：生活中有很多有趣的事情，比如說(shuō)：把4個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜里，無(wú)論你怎么放，總有某個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果，這就是抽屜原理。對(duì)于抽屜原理我們只要找到蘋果的個(gè)數(shù)a與抽屜的個(gè)數(shù) b,我們就可以得到下面

5、的結(jié)論：若 a+b=r 當(dāng)q=0時(shí)，我們就說(shuō)總有某個(gè)抽屜里至少有r個(gè)蘋果；當(dāng)q0時(shí)，我們就說(shuō)總有某個(gè)抽屜里至少有（r+1 ）個(gè)蘋果。比如說(shuō)把 32個(gè)蘋果放進(jìn) 8個(gè)抽屜里，因?yàn)?2 +8 = 4,無(wú)論怎么放，總有某個(gè)抽屜里有4個(gè)蘋果。如果把35個(gè)蘋果放進(jìn) 8個(gè)抽屜里，因?yàn)?5 -8=43,無(wú)論怎么放，總有某個(gè)抽屜里有4+1=5個(gè)蘋果。但是大部分的奧數(shù)題是沒(méi)有告訴我們抽屜的個(gè)數(shù)的，那樣我們就得自己構(gòu)造抽屜，從而找出抽屜的個(gè)數(shù)。5 .圖形面積計(jì)算：求圖形的面積也是奧數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于這類題我們首先要掌握好各種基本圖形的面積計(jì)算公式，然后記住一些重要的結(jié)論：比如說(shuō)三角形的等積變形、直角三角形中30度

6、所對(duì)的邊是斜邊的一半、勾股定理、梯形中蝴蝶翅膀原理、相似三角形中邊與面積的關(guān)系。在計(jì)算面積時(shí)的方法有：直接計(jì)算法、割補(bǔ)法、方程法等。在圖形面積計(jì)算中，難題往往得添加輔助線，這個(gè)就是難點(diǎn)所在，因?yàn)樘砑虞o助線非常靈活，這就要我們多做些這方面的題，多積累一些添加輔助 線的技巧，做到心中有數(shù)。34個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)必考公式i、和差倍問(wèn)題:和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式（和差）+2=較小數(shù)較小數(shù)十差=較大數(shù)和較小數(shù)=較大數(shù)（和+差）+2=較大數(shù)較大數(shù)差=較小數(shù)和較大數(shù)=較小數(shù)和+ （倍數(shù)+ 1）=小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=人數(shù)和小

7、數(shù)=人數(shù)差一（倍數(shù)-1）=小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=人數(shù)小數(shù)十差-大數(shù)關(guān)鍵問(wèn)題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2、年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征:兩個(gè)人的年齡差是不變的；兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3、歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度” 等詞語(yǔ)來(lái)表示。關(guān)鍵問(wèn)題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4、植樹(shù)問(wèn)題：基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只后一端植樹(shù)封閉曲線上植樹(shù)基本公式棵數(shù)二段數(shù)+ 1棵數(shù)二段數(shù)1棵數(shù)二段數(shù)棵距X段數(shù)=

8、總長(zhǎng)棵距X段數(shù)=總 棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)長(zhǎng)關(guān)鍵問(wèn)題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5、雞兔同籠問(wèn)題：基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)；基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+ （兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）一 （兔腳數(shù)一雞腳數(shù)） 關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。6、盈虧問(wèn)題：

9、基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一 種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或 對(duì)象的總量。基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求 出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量。基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）+兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）+兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）一兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和

10、總的組數(shù)。7、牛吃草問(wèn)題：基本思路：假設(shè)每頭牛吃草白速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；關(guān)鍵問(wèn)題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù) -較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）+ （長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；總草量=較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間X生長(zhǎng)量；8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律：周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問(wèn)題：確定循環(huán)周期。閏年：一年有 366天；年份能被 4整除；如果年份能被100整除，則年份

11、必須能被400整除;平 年：一年有 365 天。年份不能被 4整除；如果年份能被100整除，但不能被 400整除；9、平均數(shù)：基本公式：平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量+平均數(shù)平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和一總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近 的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所 有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求 的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式10、抽屜原理：抽屜原則一：如果把（n+1 ）

12、個(gè)物體放在 n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在 3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在 m個(gè)抽屜里，其中 nm ,那么必有一個(gè)抽屜至少有卜二加+1個(gè)物體：當(dāng) n不能被 m整除時(shí)。女刃加個(gè)物體：當(dāng) n能被m整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：X表示不超過(guò) X的最大整數(shù)。例4.351=4; 0.321=0; 2.9999=2;關(guān)鍵問(wèn)題：構(gòu)造物體

13、和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11、定義新運(yùn)算：基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。12、數(shù)列求和：等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一al表??；般用n表?。还?

14、數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表小；通項(xiàng):表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表小;數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表不基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：al ,an, d, n,sn, 通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè),就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)?；竟剑和?xiàng)公式： an = a1+(n 1) d；通項(xiàng)=首項(xiàng)+ (項(xiàng)數(shù)一1) x公差；數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)Xn+2 ;數(shù)列和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)+ 2;項(xiàng)數(shù)公式： n= (an+ a1)+d + 1 ;項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))+公差+ 1 ;公差公式：d = ( a

15、n a1 ) ) + ( n 1);公差=(末項(xiàng)首項(xiàng))+ (項(xiàng)數(shù)1);關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13、二進(jìn)制及其應(yīng)用:十進(jìn)制:用09十個(gè)數(shù)字表示，逢 10進(jìn)1 ;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示 20,百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2 X102+3 X10+4 。=An X10n-1+An-1 xi0n-2+An-2 xi0n-3+An-3 x 10n-4+An-4 xi0n-5+An-6 x 10n-7+ +A3 X102+A2 X101+A1 X100注意：N0= 1 ; N 1 =N (其中N是任意自然數(shù))二進(jìn)制：用01兩個(gè)

16、數(shù)字表示，逢 2進(jìn)1 ;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。(2) = An X2n-1+An-1 X2n-2+An-2 X2n-3+An-3 X2n-4+An-4X2n-5+An-6x2n-7 + +A3 X22+A2 X21+A1 X20注意：An不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0,按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫出。14、加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù):加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種

17、不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法 ， 在第n類方法中有 mn種不同方法， 那么完成這件任務(wù)共有： m1+ m2 +mn種不同的方法。關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成 n個(gè)步驟進(jìn)行，做第 1步有ml種方法，不管第 1步用 哪一種方法，第 2步總有 m2種方法不管前面 n-1步用哪種方法，第 n步總有 mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：ml Xm2 Xmn種不同的方法。關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟?；咎卣? 每一步只能完成任務(wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度

18、。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。射線：把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+ + （點(diǎn)數(shù)- 1）;數(shù)角規(guī)律=1+2+3+ （射線數(shù)一 1）;數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)X寬的線段數(shù)：數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1 X1+2 X2+3 X3+-T行數(shù)x列數(shù)15、質(zhì)數(shù)與合數(shù)：質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形

19、式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N二,其中 al、a2、a3an 都是合數(shù) N 的質(zhì)因數(shù)，且a1a2a3V an 。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：P=(r1+1) X(r2+1) X(r3+1) x(rn+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1 ,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16、約數(shù)與倍數(shù)：約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)

20、的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m ,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。例如：12的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12 ;18 的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18 ;那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;那么12和18最大的公約數(shù)是： 6,記作（12 , 18） =6 ;求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫

21、做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48；18的倍數(shù)有：18、36、54、72；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108；那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作12 , 18=36 ;最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17、數(shù)的整除：基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b,得到一個(gè)整數(shù)商 c,而且沒(méi)有余數(shù),那么叫做 a能被b整除或b能整除a ,記作b|a。2、

22、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|，不能整除符號(hào)”；因?yàn)榉?hào)“”，所以的符號(hào)整除判斷方法：1 .能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。2 .能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。3 .能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。4 .能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5 .能被7整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6 .能被11整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。逐次去掉

23、最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7 .能被13整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。整除的性質(zhì)：1 .如果a、b能被c整除，那么（a+b ）與（a-b ）也能被 c整除。2 .如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么 a乘以c也能被b整除。3 .如果a能被b整除，b又能被c整除，那么 a也能被c整除。4 .如果a能被b、c整除，那么 a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18、余數(shù)及其應(yīng)用：基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得 a+b=q r,且0rb,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不

24、完全商。 余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若a、b除以c的余數(shù)相同，則 c|a-b或c|b-a 。a與b的和除以c的余數(shù)等于 a除以c的余數(shù)加上 b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。a與b的積除以c的余數(shù)等于 a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19、余數(shù)、同余與周期：同余的定義：若兩個(gè)整數(shù) a、b除以m的余數(shù)相同，則稱 a、b對(duì)于模 m同余。已知三個(gè)整數(shù)a、b、m,如果 m|a-b，就稱a、b對(duì)于模 m同余，記作a書(mod m),讀作a同余于 b模m。同余的性質(zhì)：自身性：a N(mod m);對(duì)稱性：若 a書(mod m)，則b刁(mod m);傳遞性： 若 a 書(mod m), b

25、N(mod m) , 則 a =c(mod m) ;和差性： 若 a 斗(mod m),cd(mod m) ,貝U a+c 書+d(mod m),a-c 斗-d(mod m)；相乘性：若 a 三b(mod m) , cN(mod m) ,貝U axc三bxd(mod m)；乘方性：若 a書(mod m) ,貝U an 斗n(mod m);同倍性：若a三b(mod m),整數(shù) c,則 axc三b xc(mod m xc)；關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若 A=a xb ,則 MA=Ma xb= (Ma ) b若 B=c+d 貝U MB=Mc+d=McXMd被3、9、11除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù) M ,

26、n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M司(mod 9) 或(mod 3 );一個(gè)自然數(shù) M, X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 M 今-X 或 M三1- (X-Y) (mod 11);費(fèi)爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且 a不能被p整除，則ap-1 M(mod p)。20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用：基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆

27、向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比 例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成 同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某 種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變

28、。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21、分?jǐn)?shù)大小的比較：基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較?；鶞?zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同

29、時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外,可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22、分?jǐn)?shù)拆分：將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：23、完全平方數(shù):完全平方數(shù)特征：1 .末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。2 .除以3余0或余1 ;反之不成立。3 .除以4余0或余1 ;反之不

30、成立。4 .約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5 .奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6 .奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7 .兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2=( X-Y ) ( X+Y )完全平方和公式：(X+Y ) 2=X2+2XY+Y2完全平方差公式:(X-Y ) 2=X2-2XY+Y224、比和比例：比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例

31、的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘）,ad=bc 。正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25、綜合行程：基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.基本公式：路程=速度x時(shí)間；路程一時(shí)間 =速度；路程+速度 =時(shí)間關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。相遇問(wèn)題：速度和X相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）追及問(wèn)題：追及時(shí)間=路程

32、差+速度差（寫出其他公式）流水問(wèn)題：順?biāo)谐?（船速+水速）X順?biāo)畷r(shí)間逆水彳T程=（船速-水速）X逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+ 2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+ 2流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。26、工程問(wèn)題：基本公式：工作總量=工作效率X工作時(shí)間工作效率=工作總量+工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量+工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1

33、” （和總工作量無(wú)關(guān)）；假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)）：利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。27、邏輯推理：條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾，那么a 一定是奇數(shù)。條件分析一列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表

34、示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析一圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。邏輯計(jì)算：在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。簡(jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問(wèn)題的解決。28、幾何面積：基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公

35、式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1 .連輔助線方法2 .利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3 .大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4 .利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5% 。29、時(shí)鐘問(wèn)題一快慢表問(wèn)題：基本思路：1、按照行程問(wèn)題中的思維方法解題；2、不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；5、合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系；30、時(shí)鐘問(wèn)題一鐘面追及：基本思路：封閉曲線上的追及問(wèn)題。關(guān)鍵問(wèn)題：確定分針與時(shí)針的初始位置；確定分針與時(shí)針的路程差；基本方法：分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，