九年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱

1、九年級(jí)上冊(cè)：第二十一章一元二次方程第二十二章二次函數(shù)第二十三章旋轉(zhuǎn)第二十四章圓第二十五章概率初步九年級(jí)下冊(cè)：第二十六章反比例函數(shù)第二十七章相似第二十八章 銳角三角函數(shù)第二十九章投影與視圖學(xué)習(xí)幫手第二十一章一元二次方程1) 一元二次方程的定義及一般形式：(1) 等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù) (一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)式2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。2(2) 一兀二次萬程的一般形式：ax +bx + c = 0(a#0)。其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。注意：三個(gè)要點(diǎn)，只含有一個(gè)未知數(shù)；所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2；是整式方程。2) 一元二次方程的解法(1 )直接開平

2、方法：形如(x + a)2 = b(b2 0的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平方得x a = . b 或者 xa-.b,. x-a：、b。注意：若b<0 ,方程無解(2)因式分解法：一般步驟如下：將方程右邊得各項(xiàng)移到方程左邊，使方程右邊為0;將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式相乘的形式；令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程，他們的解就是原方程的解。3) ) 配方法：用配方法解一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a豐0)的一般步驟二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù) ；移項(xiàng)：使方程左邊為二次項(xiàng)與一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一般

3、的平方，把方程化為2(x+m) =n(n，0)的形式；用直接開平方法解變形后的方程。注意：當(dāng)n <0時(shí)，方程無解4) ) 公式法：22一兀一次萬程ax +bx+c=0(a#0)根的判別式：* = b -4acb 二.b2 -4ac 2_>0u 萬程有兩個(gè)不相等的實(shí)根 ：x = (b 4ac至0) u f(x)的圖像2a與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)A =0。方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 u f (x)的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn) <0u方程無實(shí)根 u f(x)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)3.韋達(dá)定理(根與系數(shù)關(guān)系)我們將一兀次方程化成一般式ax2+bx+c = 0之后，設(shè)它的兩個(gè)根是 x1和x ,則x1和x2與

4、方程的系數(shù)a, b, c之間有如下關(guān)系：bcxi + x2 = 一 一 ；xi x2 = 一aa4.一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題，其步驟和二元一次方程組解應(yīng)用題類似審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關(guān)系；設(shè)”指設(shè)元，即設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)元和間接設(shè)元； 列”指列方程，找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程。解”就是求出說列方程的解； 答”就是書寫答案，檢驗(yàn)得出的方程解，舍去不符合實(shí)際意義的方程。注意：一元二次方程考點(diǎn)：定義的考察；解方程及一元二次方程的應(yīng)用。第二十二章 二次函數(shù)、二次函數(shù)概念21 . 一次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax +bx

5、+c （a, b, c是常數(shù)，a#0）的函數(shù)，叫 做二次函數(shù)。強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a#0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域 是全體實(shí)數(shù).2 .二次函數(shù)y =ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a, b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：y=ax2的性質(zhì)：a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(0, 0)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x的增大而減小；x =0時(shí)，y有最小值0 .a <0問卜(0, 0)y軸x&g

6、t;0時(shí)，y隨x的增大而減小；x <0時(shí)，y隨x的增大而增大；x =0時(shí)，y有最大值0 .一22. y =ax +c的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(0, c)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x <0時(shí)，y隨x的增大而減??；x = 0時(shí)，y有最小值c.a <0問卜(0, c)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減小；x <0時(shí)，y隨x的增大而增大；x = 0時(shí)，y有最大值c.3. y =a (x -h 2 的性質(zhì)：左加右減a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(h, 0 )X=hx > h時(shí)，y隨x的增大而

7、增大；x < h時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 = h時(shí)，y有最小值0 .a <0問卜(h, 0 )X=hx > h時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 < h時(shí)，y隨x的增大而增大；x =h時(shí)，y有最大值0 .24. y =a (x h ) +k 的性質(zhì)：a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(h , k)X=hx >h時(shí)，y隨x的增大而增大；x <h時(shí)，y隨x的增大而減小；x = h時(shí)，y有最小值k .a <0問卜(h, k)X=hx Ah時(shí)，y隨x的增大而減小；x ch時(shí)，y隨x的增大而增大；x = h時(shí)，y有最大值k .5. 二次函數(shù)的圖象與性

8、質(zhì)附圖如下函數(shù)的圖象圖象特點(diǎn)函數(shù)性質(zhì)當(dāng)a>O時(shí)向上無限伸展；當(dāng)a<O時(shí)向卜無限伸展.自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù).a>O時(shí)開口向上；a<O時(shí)開口向卜；丁否上小 / b 4ac b2、頂點(diǎn)為（,）.2a 4a一.bna>O時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，2a2y有最小值為4ac b ;4aa<O時(shí)，當(dāng)x=時(shí), 2a/一 ,2,4ac by有版'人侑為.4a對(duì)稱軸為x=-, 2aa>O時(shí)，當(dāng)*< 上時(shí)，2aa>O 時(shí)，y隨x的增大而減??；/對(duì)稱軸左側(cè)圖象從左到右卜當(dāng)x> - -b"時(shí)，y隨x的增大而增2a1J1*1,1 b 尸降，大；對(duì)稱

9、軸右側(cè)圖象從左到右上bna<O時(shí)，當(dāng)*<時(shí)，2a升；y隨x的增大而增大；a<O 時(shí)，當(dāng)x>-b>時(shí)，y隨x的增大而減2a對(duì)稱軸左側(cè)圖象從左到右上小.升，對(duì)稱軸右側(cè)圖象從左到右卜降.三、二次函數(shù)圖象的平移1 .平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) =a(x-h 2 +k ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h, k );保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(h, k)處，具體平移方法如下y=ax向上(k>0)【或向T(k<0)】平科k由單位y=a(x-h)2向上(k>0)【或嚇(k<0)l 平移k|個(gè)單位向右(h>0)或左h<0)l平

10、移|k|個(gè)單位向右(h>0)或Ah<0)】平移|k件單位-r »向上(k>0)或下(k<0)】平移|k|個(gè)單位y= y=a)2+k向右(h>0)或左h<0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2+k2 .平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移概括成八個(gè)字左加右減，上加下減四、二次函數(shù)y =a （x-h）+k與y =ax2+bx+c的比較2 2 2-,-t2從解析式上看，y =a（xh ） +卜與y=ax +bx+c是兩種不同的表達(dá)形式 ，后者通過配方222可以得到前者，即丫=2：，+9 |+絲9±,其中h = _

11、-b, k=4ac-b2a 4a2a 4a五、二次函數(shù)y =ax2 +bx+c圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y=ax2.頂點(diǎn)式：y =a（xh） +k （ a , h , k為常數(shù)，a *0）；3.兩根式：y =a（xxj（xx2） （ a#0 , x1 , x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以+bx+c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的 五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)（0,c）、以及（0, c ）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（2h,

12、c）、與x軸的 交點(diǎn)（xi, 0 ）, （x2, 0 ）（若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn) ：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)y =ax2+bx+c的性質(zhì)b. b 4ac b21.當(dāng)a>0時(shí),拋物線開口向上,對(duì)稱軸為x=-,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.-2， b2a12a 4a J當(dāng)x < 時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x > 時(shí)，y隨x的增大而增大；2a2aw b4ac -b2當(dāng)x =時(shí)，y有取小值.2a4ab b 4_b2 ）2.當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,2a12a 4al當(dāng) x <

13、 一-b-時(shí), 2a當(dāng)x =-時(shí), 2ay隨x的增大而增大；當(dāng)x>時(shí),2ay隨x的增大而減?。粂有最大值4ac -b24a七、二次函數(shù)解析式的表示方法21. 一般式：y =ax +bx +c （ a , b , c 為常數(shù)，a =0 ）；寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與X軸有交點(diǎn)，即b2_4ac之0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1 .二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y =ax2 +bx +c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a 00 .當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大； 當(dāng)a<0時(shí)

14、，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2 . 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.在a >0的前提下,當(dāng)b >o時(shí)，葛。，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)b=0時(shí)，2=0,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2a當(dāng)b <0時(shí)，-包>0 ,即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的右側(cè).2a在a <0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b >0時(shí)，一2 >0 ,即拋物線的對(duì)稱軸在 y軸右側(cè)；2a當(dāng)b=0時(shí)，旦=0,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2a

15、當(dāng)b <0時(shí)，2 <0 ,即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的左側(cè).2a總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.3 .常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0; 當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目

16、的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來說，有如下幾種情況：1 .已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2 .已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般選用頂點(diǎn)式；3 .已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4 .已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1 .關(guān)于x軸對(duì)稱2 .，一 .一 .一2y=ax +bx+釜于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是 y=-ax -bx-c；y=a（xhj +次于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=a（x+h）k；4 .關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱22H2ay = ax +bx+C于頂

17、點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 y=-ax -bx + c-一；y=a（x-hj +跌于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 y=-a（x-hj+k.5 .關(guān)于點(diǎn)（m , n ）對(duì)稱22y=a（xhj +跌于點(diǎn)（m, n ）對(duì)稱后，得到的解析式是 y=-a（x + h-2mj +2n-k根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方

18、程 ：1 .二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程 ax2 +bx +c =0是二次函數(shù) y =ax2+bx十c當(dāng)函數(shù)值y = 0時(shí)的特殊情況. 圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)Zk=b2 4acA0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn) A（xi,0 1 B（x2, 0 ）（用¥ x2）,其中的X , x2 是一元二次方程 ax2 +bx +c =0（a =0 ）的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB = x2 -xi.b2 -4aca 當(dāng)占=0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) <0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1當(dāng)a>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有yA0；2當(dāng)

19、a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y<0.2 .拋物線y =ax2+bx+c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0, c);3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程 ；求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y =ax2 +bx+c中a , b , c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a , b , c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；(4)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo) 與二次函

20、數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a *0)本身就是所含字母 x的二次函數(shù)；下面以a>0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系： >0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次二項(xiàng)式的值可止、可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0 =0拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 <0拋物線與x軸尢交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.I一、實(shí)際問題與二次函數(shù)1 .利用二次函數(shù)求幾何圖形面積的最值問題2 .利用二次函數(shù)求最大利潤問題3 .建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解決實(shí)際問題4 .利用二次函數(shù)解決圖形運(yùn)動(dòng)問題第二十三章旋轉(zhuǎn)

21、一、圖形的旋轉(zhuǎn)1 .圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的概念2 .旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及其應(yīng)用3 .圖形旋轉(zhuǎn)的作圖步驟4 .旋轉(zhuǎn)、平移和軸對(duì)稱的異同點(diǎn)5 .利用旋轉(zhuǎn)巧添輔助線解題6 .旋轉(zhuǎn)問題中的常見圖形二、中心對(duì)稱1 .中心對(duì)稱的概念2 .中心對(duì)稱的性質(zhì)3 .中心對(duì)稱的作圖方法4 .中心對(duì)稱圖形5 .關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)6 .中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系7 .對(duì)稱圖形在平面直角系中的綜合應(yīng)用第二十四章圓一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)

22、的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；固定的端點(diǎn) O為圓心。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦 ，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi) 二d <r = 點(diǎn)C在圓內(nèi)；2、點(diǎn)在圓上 二d = r 二 點(diǎn)B在圓上；3、點(diǎn)在圓外

23、二 dr 二 點(diǎn)A在圓外； 三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離二2、直線與圓相切二d = r = 有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交= d < r = 有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）; 無交點(diǎn)外切（圖2）二有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖3）口 有兩個(gè)交點(diǎn)內(nèi)切（圖4）=有一個(gè)交點(diǎn)內(nèi)含（圖5）二無交點(diǎn) 一d ： R - r ；圖4圖5學(xué)習(xí)幫手五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧 推論1: (1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以

24、上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即:AB是直徑 AB_LCD CE = DE 弧 BC =弧 BD 弧 AC AD中任意2個(gè)條件推出其他 3個(gè)結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等 c即：在。中，.AB /CD.弧 AC =弧 BD六、圓心角定理頂點(diǎn)到圓心的角，叫圓心角。圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等 ，所對(duì)的弧相等，弦心距相 等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論，即： ZAOB =NDOE ; AB =DE ;OC = OF ； 弧BA =弧BD七、圓周角

25、定理頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角 ，叫圓周角。1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半即：NAOB和/ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB =2 ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在。中，NC、/D都是所對(duì)的圓周角C -D推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角 ；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在。中，.AB是直徑或.NC=90°./C =901. .AB是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在4ABC 中，. OC=O

26、A = OB.ABC是直角三角形或 NC=90*注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一 半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角即：在。中，四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形 . C BAD =180 B D =180DAE "C九、切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：MN，OA且MN過半徑OA外端.MN是。的切線(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 (如上圖)推論1 :過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2 :

27、過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理 即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后 個(gè)。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切A線的夾角。即：PA、PB是的兩條切線.PA = PBPO平分ZBPAH一、圓哥定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在。中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P, .PA PB = PC PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在。中，直徑AB _LCD ,. .CE2 = AE BE(3)切割

28、線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng) 即：在。中，PA是切線，PB是割線_ 2PA =PC PB(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線 ，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等(如上圖)。即：在。中，.PB、PE是割線.PC PB = PD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。即：;©。、。2相交于A、B兩點(diǎn)，0102垂直平分AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式 ：(1)公切線長：RtA0102c 中，AB2 =CO12 = JO1O22 _CO22

29、;(2)外公切線長：C02是半徑之差；內(nèi)公切線長：C02是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算(1)正三角形在。中 ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在 RtBOD中進(jìn)行：0D : BD :0B =1:石:2；(2)正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在 RtAOAE中進(jìn)行，0E : AE:0A =1:1: ,.2 :(3)正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在 RtOAB中進(jìn)行，AB:0B:0A=1: J3:2.學(xué)習(xí)幫手A1、扇形：(1)弧長公式：i ="一；180i»2 _ nn R(2)扇形面積公式：S =360n :圓心角 R ：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑2、圓柱：(1) A圓柱側(cè)面展開圖S表=

30、S +2 Ss = 2nrh +2叮22B圓柱的體積：V = nr2h(2) A圓錐側(cè)曲展開圖22S 表=5側(cè) +5底=nRr +nr12B圓錐的體積：V = nr h 31V-lR2l :扇形弧長 S :扇形面積aUJ _Z>DD D1母線長_11底面 圓周長B<-3C C1.土卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式第二十五章概率初步、概率1 .隨機(jī)事件(1)確定事件 事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的.(2)隨機(jī)事件 在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.(3)事件分為確定事件和

31、不確定事件(隨機(jī)事件)，確定事件又分為必然事件和不可能事件，其中，必然事件發(fā)生的概率為1,即P (必然事件)=1 ;不可能事件發(fā)生的概率為0,即P (不可能事件)=0 ;如果A為不確定事件 (隨機(jī)事件)，那么0<P (A) <1 .隨機(jī)事件發(fā)生的可能性(概率)的計(jì)算方法：2 .可能性大小(1)理論計(jì)算又分為如下兩種情況：第一種：只涉及一步實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：根據(jù)概率的大小與面積的關(guān)系，對(duì)一類概率模型進(jìn)行的計(jì)算；第二種：通過列表法、 列舉法、樹狀圖來計(jì)算涉及兩步或兩步以上實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率，如：配紫色，對(duì)游戲是否公平的計(jì)算.(2)實(shí)驗(yàn)估算又分為如下兩種情況： 第一種：

32、利用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算.要知道當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)非常大時(shí)，實(shí)驗(yàn)頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值 ，即大量實(shí)驗(yàn)頻率穩(wěn)定于理 論概率. 第二種：利用模擬實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行概率估算 .如，利用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模 擬實(shí)驗(yàn).3 .概率的意義(1) 一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率mn會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù) p附近， 那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件 A的概率，記為P (A) =p .(2)概率是頻率(多個(gè))的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)(3)概率取值范圍：Owpwi.(4)必然發(fā)生的事件的概率P (A) =1 ;不可能發(fā)生事件的概率P (A) =0.(4)事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,

33、事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于 0.(5)通過設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的概率模型 ，在不確定的情境中做出合理的決策 ；概率與實(shí)際生活聯(lián)系 密切，通過理解什么是游戲?qū)﹄p方公平 ，用概率的語言說明游戲的公平性 ，并能按要求設(shè) 計(jì)游戲的概率模型，以及結(jié)合具體實(shí)際問題，體會(huì)概率與統(tǒng)計(jì)之間的關(guān)系，可以解決一些 實(shí)際問題.二、用列舉法求概率(1) 率的公式(1)隨機(jī)事件A的概率P (A)=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)(2) P (必然事件)=1 .(3) P (不可能事件)=0 .2 .幾何概型的概率問題是指具有下列特征的一些隨機(jī)現(xiàn)象的概率問題度比，面積比，體積比等.3 .列舉法和樹狀法(1)當(dāng)試驗(yàn)中存

34、在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率.(2)列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件 A或B的結(jié)果數(shù)目m ,求出概率.(3)列舉法(樹形圖法)求概率的關(guān)鍵在于列舉出所有可能的結(jié)果，列表法是一種，但當(dāng)一個(gè)事件涉及三個(gè)或更多元素時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.(4)樹形圖列舉法一般是選擇一個(gè)元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個(gè)數(shù)就是總的可能的結(jié)果n.(5)當(dāng)有兩個(gè)元素時(shí)，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉.4.游戲公平性(1)判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后

35、比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.(2)概率=所求情況數(shù)總情況數(shù).三、利用頻率估計(jì)概率1 .利用頻率估計(jì)概率(1)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng) ，并且擺動(dòng)的幅度越來越 小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率 ，這個(gè)固定的近似值就 是這個(gè)事件的概率.(2)用頻率估計(jì)概率得到的是近似值 ，隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確.(3)當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果不是有限個(gè)或結(jié)果個(gè)數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率 .2 .模擬實(shí)驗(yàn)(1)在一些有關(guān)抽取實(shí)物實(shí)驗(yàn)中通常用摸取卡片代替了實(shí)際的物品或人抽取，這樣的實(shí)驗(yàn)稱為模擬實(shí)驗(yàn).

36、,或用計(jì)算機(jī)編號(hào)等進(jìn)行(2)模擬實(shí)驗(yàn)是用卡片、小球編號(hào)等形式代替實(shí)物進(jìn)行實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)，目的在于省時(shí)、省力，但能達(dá)到同樣的效果.(3)模擬實(shí)驗(yàn)只能用更簡(jiǎn)便方法完成，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，但不能改變?shí)驗(yàn)?zāi)康?，這部分內(nèi)容根據(jù)新課標(biāo)要求，只要設(shè)計(jì)出一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn)即可.第二十六章反比例函數(shù)一、定義與一般概念kk 1 .一般地，形如y= （k為常數(shù)，k#o）的函數(shù)稱為反比例函數(shù) 。y=還可以寫成xxy = kx2 .反比例函數(shù)解析式的特征 ：等號(hào)左邊是函數(shù)y,等號(hào)右邊是一個(gè)分式。分子是不為零的常數(shù) k （也叫做比例系數(shù)k）,分母中含有自變量 x,且指數(shù)為1.比例系數(shù)k # 0自變量x的取值為一切非零實(shí)數(shù) 。（4）函數(shù)y

37、的取值是一切非零實(shí)數(shù)。二、反比例函數(shù)的圖像圖像的畫法：描點(diǎn)法 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對(duì)或以上互為相反的數(shù)）描點(diǎn)（有小到大的順序）連線（從左到右光滑的曲線）k反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，y= （k為常數(shù)，k/0）中自變量x00,函數(shù)值xy00,所以雙曲線是不經(jīng)過原點(diǎn)，斷開的兩個(gè)分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交 。反比例函數(shù)的圖像是是軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸是y = x或y = x）。.一 . k反比例函數(shù)y =xk（k#0）中比例系數(shù)k的幾何意乂是：過雙曲線y = - x（k。0）上任意引x軸y軸的垂線，所得矩形面積為 k。三、反比例函數(shù)性質(zhì)k的取值圖像所在象限函數(shù)的

38、增減性k >o一、三象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而減小k <o二、四象限在每個(gè)象限內(nèi)，y值隨x的增大而增大四、待定系數(shù)法求解析式反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出k）反比例關(guān)系”與反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù)，但是反比例函數(shù)ky = 一中的兩個(gè)變量必成反比例關(guān)系 。 x五、反比例函數(shù)的應(yīng)用用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題 反比例函數(shù)的應(yīng)用須注意以下幾點(diǎn)：反比例函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在，在應(yīng)用反比例函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要注意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 。針對(duì)一系列相關(guān)數(shù)據(jù)探究函數(shù)自變量與因變量近似滿足的函數(shù)關(guān)系。列出函

39、數(shù)關(guān)系式后，要注意自變量的取值范圍。學(xué)習(xí)幫手第二十七章相似一、相似每組圖形中的兩個(gè)圖形形狀相同 ，大小不同，具有相同形狀的圖形叫相似圖形 。相似圖 形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形 ，也 包括立體圖形相似的情況 。我們可以這樣理解相似形 ：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或 縮小得到的.若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例 一一全等形.二、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形?；橄嗨菩蔚娜切谓凶鱿嗨迫切? .相似形的識(shí)別：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。2 .成比例線段（簡(jiǎn)稱比例線段）：對(duì)于四

40、條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的 比與另兩條線段的長度的比相等 ，即d c ba（或a： b=c ： d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。3 .黃金分割：用一點(diǎn)P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長度之比等于 大段與全長之比，則可得出這一比值等于 0 618。這種分割稱為黃金分割，分割點(diǎn)P叫做 線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長線段叫做較短線段與全線段的比例中項(xiàng)。三、相似三角形的判定方法：一根據(jù)相似圖形的特征來判斷 。（對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等）1 .平行于三角形一邊的直線 （或兩邊的延長線）和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；2 .如果一個(gè)三角形

41、的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；3 .如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等 ，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；4 .如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等 ，那么這兩個(gè)三角形相似；二 直角三角形相似判定定理1 .斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。2 .直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。三一定相似的三角形（1）兩個(gè)全等的三角形一定相似 。（全等三角形是特殊的相似三角形 ，相似比為1）（2）兩個(gè)等腰直角三角形一定相似 （兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似

42、 。）（3）兩個(gè)等邊三角形一定相似 。四 三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似 。推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似 。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。四、相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。(2)相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切 圓半徑等)的比等于相似比。(3)相似三角形周長的比等于相似比。(4)相似三角形面積的

43、比等于相似比的平方。(5)相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方(6)若a:c =c:b ,即c2 =ab,則c叫做a,b的比例中項(xiàng) c/d=a/b 等同于 ad=bc.五、相似的應(yīng)用：位似(1)位似圖形：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.(2)掌握位似圖形概念，需注意：位似是 一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位

44、似中心的一側(cè)；位似比就是相似比.利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似(3)位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì).位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似 比(相似比).(4)兩個(gè)位似圖形的主要特征是：每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.(5)利用位似，可以將一個(gè)圖形放大或縮小，其步驟見下面例題.作圖時(shí)要注意：首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如四邊形有四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即它的四個(gè)頂點(diǎn)；確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個(gè)圖形放大 還是縮??；符合要求的圖形不惟一

45、，因?yàn)樗鞯膱D形與所確定的位似中心的位置有關(guān)，并且同一個(gè)位似中心的兩側(cè)各有一個(gè)符合要求的圖形。第二十八章銳角三角函數(shù)、勾股定理直角三角形兩直角邊 a、b的平方和等于斜邊 c的平方。a2+b2=c2、如下圖，在RtABC中，/C為直角，則”的銳角三角函數(shù)為(4可換成ZB)：定 義表送式取值范圍關(guān)系正弦,A /A的對(duì)邊 sin A =斜邊a sin A =一c0 <sin A <1（“為銳角）sin A = cosB cosA= sin B sin2 A + cos2 A = 1余弦/A的鄰邊 cos A =斜邊八b cos A =一c0 < cosA < 1（“為銳角）正

46、切,NA的對(duì)邊tan A -NA的鄰邊, atan A =一 btan A > 0（“為銳角）tan A = cot Bcot A = tan B1-2，tan A =（倒數(shù)）cot Atan A cot A = 1余切,aNA的鄰邊cot A -,/A的對(duì)邊b cot A = 一acot A A 0（“為銳角）學(xué)習(xí)幫手3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。sin A =cosB cosA = sin Bsin A = cos(90 - A) cosA=sin(90 - A)B4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角

47、的正切值。tan A =cot Bcot A =tan B由.A . B =90得.B =90 AtanA = cot(90 - A)cotA=tan(90 -A)5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）三角函數(shù)0°30°45 °60 °90°sin u0122F22V 321cos"13/32亞 2J_20tanct0V331y-cot«-v;31V 3306、正弦、余弦的增減性當(dāng)0°心W90 °時(shí),sin c（隨a的增大而增大，cos c（隨a的增大而減小。7、正切、余切的增減性：當(dāng)。<