《8.3簡單幾何體的表面積與體積》獲獎說課導學案

1、第2課時球的表面積和體積謖程標準:逋過對球詼的研究.了解球的表面稅及體積公式.教學童點：球的表面枳、惇枳公式及其置用.教學難點；與球有關的匚何位的表直和配體積的土算.核心概念掌握知識導學知識點球的表面積和體積1 .球的表面積如果球的半徑為R,那么它的表面積S=014TR22 .球的體積如果球的半徑為R,那么它的體積V=0247R33口評價自利1 .判一判(正確的打,錯誤的打“X”)(1)決定球的大小的因素是球的半徑.()(2)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑.()(3)球的體積V與球的表面積S的關系為V= RS.()3答案(1)，(2)，2 .做一做(1)若球的過球心的圓面圓周長

2、是 c,則這個球白表面積是()c2c2C22A.石B.2； C' D-2必(2)表面積為4冗的球的半徑是.直徑為2的球的體積是.4 兀 ,(4)已知一個球的體積為不，則此球的表面積為.3答案(1)C (2)1 43t (4)4 九核心素養(yǎng)彩成題型一球的表面積與體積例1 (1)已知球的直徑為6 cm,求它的表面積和體積；(2)已知球的表面積為64冗，求它的體積；500 P (3)已知球的體積為 不一，求它的表面積.3解(1) :球的直徑為6 cm, 球的半徑R=3 cm.球的表面積S球=4 R2= 36幾(cm球的體積v球=.病3=36冗(cm， 3(2) .S球=4/ = 64彳.-.

3、R2=16,即 R=4.一 4 7 4、一3 256 幾V 球=.tR =3 ttX 4 =-. 333-4 r3 500 兀f3 r(3) V球=atR3=, .R3=125, R=5. 33金版點睛. S球=4 R2=100 兀.求球的體積與表面積的方法(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑 R,然后代入體積或表面積公式求解.(2)半徑和球心是球的關鍵要素，把握住這兩點，計算球的表面積或體積的相關題目也就易如反掌了.兩個球的半徑相差1,表面積之差為28 %則它們的體積和為; 已知球的大圓周長為16冗cm求這個球的表面積.答案33" (2)見解析解析(1)

4、設大、小兩球半徑分別為 R, r,則由題意可得Rr = 1,R=4,4 tR2 4 f2= 28 g r=3.643 3-3力4一3+ 3小4一3它們的體積和為設球的半徑為R cm,由題意可知2聲=16冗，解得R=8, 則 S球=4 #=256 兀(cm題型二球的截面問題例2 平面截球。的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為”, 則此球的體積為（）A.乖兀 B. 4437t C. 4、/6 兀 D.6/3 九解析利用截面圓的性質(zhì)先求得球的半徑長.如圖，設截面圓的圓心為 O' , M為截面圓上任一點，則 OO'=隹 O' M = 1,.om= Y啦2+i =<

5、;3,即球的半徑為V3, ；V= 3 兀x (V3)3= 4y3 兀.答案B球的截面的性質(zhì)（1）球的軸截面（過球心的截面）是將球的問題（立體幾何問題）轉(zhuǎn)化為平面問題 （圓的問題）的關鍵，因此在解決球的有關問題時，我們必須抓住球的軸截面，并 充分利用它來分析解決問題.（2）用一個平面去截一個球，截面是圓面，如圖，球的截面有以下性質(zhì)：球心和截面圓圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足關系d=R2r2.(1)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器， 容器高8 cm,將一個球 放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,若不計容器厚度，則球的

6、體積為()A.矍 cm3866 7r 331372 7t 3C. -3- cm2048 7r 33球的表面積為 400冗，一個截面白面積為 64九，則球心到截面的距離為答案(1)A (2)6解析 (1)如圖，作出球的一個截面，則MC = 8 6 = 2(cm), BM = 2aB = ：X8= 4(cm).設球的半徑為 R cm,則 R2 = OM2 +MB2= (R2)2 + 42,. R= 5,(cm).V 球=，53=530 冗(2)如圖，由已知條件知球的半徑 R= 10,截面圓的半徑r = 8,球心到截面的距離卜=7隹一產(chǎn)=6.題型三球的組合體問題例3設長方體的長、寬、高分別為 2a,

7、 a, a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()A. 3舊2 B. 6舊2 C. 12舊2 D. 24舊2解析作出圖形的軸截面如圖所示，點 。即為該球的球心，線段 AB即為長方體底面的對角線，長度為a2+ 2a2= J5a,線段BC即為長方體的高，長度 為a,線段AC即為長方體的體對角線，長度為 7才+乖a 2 =V6a,則球的半徑R=AC=16a,所以球的表面積答案B條件探究將本例中長方體改為棱長為 a的正四面體，則球的表面積如何求？解 如圖，過A作底面BCD的垂線，垂足為E,則E為9CD的中心，連接BE.棱長為a, .BE=ax3 = W3a.2 a26在RtABE 中，AE=Ja2

8、§= 3 a.設球心為O,半徑為R,則(AER)2+BE2=R2,.6 R= 4 a,- S球=4啟乎a 2=2必2金版點睛1.正方體的內(nèi)切球a球與正萬體的K個面都相切，稱球為正萬體的內(nèi)切球，此時球的半徑為ri=1 過在一個平面上的四個切點作截面如圖（1）.2 .長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知,長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長分別為a, b, c,過球心作長方體的對角線，則球的半徑為+ b2 + c2,如圖(2).3 .正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球的半徑6R的關系為：2R= a.跟探訓練21設三棱柱

9、的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a,頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A.者 B.7Tia2 C.g g2 D. 5舊2 33答案 B解析 由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，。為球心，易知AP = 2x33a=33a, OP=1a, 3232所以球白半徑R=OA滿足R2= Wa 2+ Qa 2 = %a2,故S球=4長2=鼻陽2. 31123p隨堂水平達標1 .將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為 （）A 4九答案di4- 3是 積 體 其解析 由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方

10、體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2,所以球的半徑為X TtX 13=¥32 .正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為（）A.815 B. 16 兀 C. 9 兀 D.27-544答案 A解析 如圖，設球心為O,半徑為r,則在Rt*OE中，（4r）2+N2）2 = r2,_9 29 2 81 兀解得r=4，該球的表面積為47r=4啟4 =4.3.三個球的半徑之比為1 ： 2 ： 3,那么最大球的表面積是其余兩個球的表面 積之和的（）A. 1倍 B. 2倍 C.9倍 D.4倍答案 C解析設最小球的半徑為r,則另外兩個球的半徑分別為2r,3r,其表面積分別為4覺2,16，,36作2,故最大球是其余兩個球的表面積之和的36 /9 -4/+ 16 15 0,答案32幾34 . 一個距離球心為小的平面截球所得的圓面面積為冗，則球的體積為解析設所得的圓面的半徑為r,球的半徑為R,又 r2+($)2 = R2, . R=2.一 4-3 32 冗.V = 3 卡=3 .5 .有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑 為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水 的深度.解 由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面.根據(jù)切線的