角平分線定理使用中的幾種輔助線作法

1、角平分線定理使用中的幾種輔助線作法一、已知角平分線，構(gòu)造三角形例題:如圖所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。 求證：BE=12(AC-AB)證明：延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F。因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是角的平分線所在的直線，所以AD為BAC的對(duì)稱軸，又因?yàn)锽EAD于F，所以點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于AD對(duì)稱，所以BE=FE=12BA12FDCBF，AB=AF，ABF=AFB。因?yàn)锳BFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=12FC=212（ACAF）=12（ACAB）， 所以BE=(AC-AB)。二、已

2、知一個(gè)點(diǎn)到角的一邊的距離，過這個(gè)點(diǎn)作另一邊的垂線段如圖所示，1=2，P為BN上的一點(diǎn)，并且PDBC于D，ABBC=2BD。 求證：BAPBCP=180°。證明：經(jīng)過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E。E因?yàn)镻EAB，PDBC，1=2，N所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中- 1 - BDCBP=BP PE=PD所以RtPBERtPBC（HL），所以BE=BD。因?yàn)锳BBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以AE=CD。因?yàn)镻EAB，PDBC，所以PEB=PDB=90°.在PAE和RtPCD中PE=PDPEB=PDCAE=DC所以PAERtPCD，所以PCB=EAP。因?yàn)锽

3、APEAP=180°，所以BAPBCP=180°。三、已知角平分線和其上面的一點(diǎn)，過這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段例題、如圖所示，在ABC中，PB、PC分別是ABC的外角的平分線，求證：1=2. 證明：過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E，PGAC于點(diǎn)G，PFBC于點(diǎn)F因?yàn)镻在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。A2同理可證PF=PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分線，所以1=2。- 2 - EPBFC妙加輔助線解角平分線問題提到角平分線問題，我們很自然的想到角平分線有關(guān)的定理：1、角平分線性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；2、

4、角平分線判定定理：到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。那么，你知道怎么運(yùn)用它們進(jìn)行解有關(guān)的題目嗎？下面與同學(xué)們談一談如何正確添加輔助線解解有關(guān)的題目。一、作垂線段當(dāng)題目的已知中出現(xiàn)角平分線的時(shí)候，我們立刻想到它的作用有兩種：1、把已知角平分兩個(gè)相等的小角；2、角平分線性質(zhì)定理，若此時(shí)作角的兩邊的垂線，則兩條垂線段相等。例1 如圖，已知：A=90º，ADBC，P是AB的中點(diǎn)，PD平分ADC， 求證：CP平分DCB。分析：因?yàn)橐阎狿D平分ADC，所以我們過P點(diǎn)作PECD，垂足為E，則PA=PE，由P是AB的中點(diǎn)，得PB=PE，即CP平分DCB。證明：作PECD，垂足為E，3

5、=A=90º，PD平分ADC，PA=PE，又B=3=90º，PB=PE，點(diǎn)P在DCB的平分線上，CP平分DCB。二、利用垂線，構(gòu)造等腰三角形例2、如圖，已知：ABC中AD垂直于C的平分線于D，DEBC交AB于E. 求證：EA=EB。- 3 - D 1 E 3 C分析：由AD垂直于C的平分線于D，可以想到等腰三角形 中的三線合一，于是延長(zhǎng)AD交BC與點(diǎn)F，得D是AF的 中點(diǎn)，又因?yàn)镈EBC，由三角形中位線定理得EA=EB。 證明：延長(zhǎng)AD交BC與點(diǎn)F， CD平分ACF， 1=2，又ADCD， ADCFDC， AD=FD， 又DEBC， EA=EB。F C與角平分線相關(guān)的作圖題

6、舉例1、如圖1所示，校園內(nèi)有兩條公路OA、OB，在交叉路口附近有兩塊宣傳牌C、D，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置距離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條公路的距離也一樣遠(yuǎn)。請(qǐng)你畫出燈柱的位置P。分析：線與線相交成點(diǎn)，所以要想作出滿足條件的點(diǎn)，就相當(dāng)于作出相應(yīng)的兩條直線，它們的交點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)。- 4 -解：如圖2所示，作AOB的平分線和線段CD的垂直平分線，相交于點(diǎn)P。點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)。2、如圖3所示，要在兩條公路的中間修建一座加油站，位置選在到兩條公路的距離相等，并且到兩條公路交叉點(diǎn)A處的距離為2cm（指的是圖上距離）。請(qǐng)你設(shè)計(jì)出加油站的位置，并說明你的理由。 分析：在實(shí)際生活中，會(huì)

7、經(jīng)常用到角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，解決此類問題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。解：如圖4所示，作BAC的角平分線AD，在AD上截取AP，使AP=2cm。點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)。3、如圖5所示，有一塊三角形的空地，其三邊長(zhǎng)分別為20m、30m、40m，現(xiàn)在要把它分成面積比為2：3：4的三部分，分別種植不同的花。請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一個(gè)方案，并說明你的理由。A20m20mEPB40mBH40mCAF圖5 圖6分析：要想以長(zhǎng)為20m、30m、40m的邊構(gòu)造三角形，并且使它們的面積之比為2：3：4。如果以長(zhǎng)為20m、30m、40m的邊為三角形的底，那么它們相應(yīng)的高應(yīng)該相等。要想使- 5 -它們的高相等，通過作兩個(gè)內(nèi)角的角平分線就可以，角平分線的交點(diǎn)就是三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)。解：方案：如圖6所示，分別作C和B的角平分線，它們相交于點(diǎn)P，連結(jié)PA。則PAB、PAC、PBC的面積之比就是2：3：4。理由：經(jīng)過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E，PFAC于點(diǎn)F，PHBC于點(diǎn)H。因?yàn)辄c(diǎn)P是C和B