《正方形》教案湘教版

1、27正方形1掌握正方形的概念、性質，并會運用； (重點 )2理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別； (難點 )3掌握正方形的判定條件；(重點 )4合理地利用正方形的判定進行有關的論證和計算 (難點 )一、情境導入做一做：用一張長方形的紙片(如圖所示 )折出一個正方形學生在動手過程中對正方形產(chǎn)生感性認識， 并感知正方形與矩形的關系問題： 什么樣的四邊形是正方形？二、合作探究探究點一：正方形的性質【類型一】 利用正方形的性質求線段長或證明如圖所示，正方形 ABCD 的邊長為 1，AC 是對角線， AE 平分 BAC，EF AC 于點 F.(1)求證： BECF ；(2)求 BE 的長解析

2、： (1) 由角平分線的性質可得到BE EF ，再證明 CEF 為等腰直角三角形，可證明 BE CF；(2)設 BE x，在 CEF 中可表示出 CE，由 BC 1，可列出方程，可求得 BE.(1)證明： 四邊形ABCD 為正方形， B 90°， EF AC， EFA 90°， AE 平分 BAC， BE EF，又 AC 平分 BCD ， ACB 45°，F(xiàn)EC FCE ， EF FC ， BE CF；(2) 解：設 BE x，則 EFCF x，在Rt CEF 中，CE EF 2 CF 2 2x， BC 1， x 2x 1，解得 x 2 1，即 BE 的長為 21

3、.方法總結： 矩形被每條對角線分成兩個直角三角形， 被兩條對角線分成四個等腰直角三角形， 因此正方形的計算問題可以轉化到直角三角形和等腰直角三角形中去解決【類型二】 利用正方形的性質求角度或證明在正方形 ABCD 中，點 F 是邊 AB 上一點，連接 DF ，點 E 為 DF 中點連接BE、 CE、 AE.(1) 求證： AEB DEC ；(2) 當 EB BC 時，求 AFD 的度數(shù)解析：(1) 根據(jù)正方形的四條邊都相等可得 AB CD ，每一個角都是直角可得 BAD ADC 90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE EF DE12DF ，根據(jù)等邊對等角可得EAD

4、 EDA，再求出 BAE CDE，然后利用 “ 邊角邊 ” 證明即可；(2) 根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EB EC，再求出 BCE 是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得 EBC 60°，然后求出 ABE 30°，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出 BAE，然后根據(jù)等邊對等角可得AFD BAE.(1) 證明：在正方形 ABCD 中，AB CD ，第1頁共4頁 BAD ADC 90°， 點 E 為 DF 的中1點， AE EF DE 2DF ， EAD EDA ， BAE BAD EAD， CDE ADC EDA ， BAE CDE ，在ABCD ， AEB 和 DE

5、C 中， BAE CDE，AE DE ， AEB DEC (SAS) ；(2)解： AEB DEC， EB EC， EB BC， EB BC EC， BCE 是等邊三角形， EBC 60°， ABE90° 60° 30°， EB BC AB，形【類型二】 利用 “ 有一個角是直角的菱形是正方形 ”判定如圖，已知在四邊形 ABFC 中， ACB 90°， BC 的垂直平分線 EF 交 BC 于點 D ，交 AB 于點 E，且 CF AE；(1) 試判斷四邊形 BECF 是什么四邊形？并說明理由；(2) 當 A 的大小滿足什么條件時， 四邊形 BE

6、CF 是正方形？請回答并證明你的結論1BAE 2(180 ° 30° ) 75°，又 AE EF ， AFD BAE 75° .方法總結： 正方形是最特殊的平行四邊形，在正方形中進行計算時，要注意計算出相關的角的度數(shù)， 要注意分析圖形中有哪些相等的線段探究點二：正方形的判定【類型一】 利用 “ 一組鄰邊相等的矩形是正方形 ” 判定已知：如圖，在 Rt ABC 中， ACB 90°，CD 為 ACB 的平分線， DE BC 于點 E，DF AC 于點 F.解析： (1)根據(jù)中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有 BEEC，BF F

7、C ，又因為 CF AE，可得出 BE EC BF FC ，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，所以四邊形 BECF 是菱形；(2) 由菱形的性質知， 對角線平分一組對角，即當 ABC 45°時， EBF 90°，得出菱形 EBFC 為正方形， 根據(jù)直角三角形中兩個銳角互余得 A45° .解：(1) 四邊形 BECF 是菱形理由如下： EF 垂直平分 BC， BF FC ，BE EC， 3 1， ACB 90°， 3 4 90°， 1 2 90°， 2 4，求證：四邊形 CEDF 是正方形EC AE， BE AE， CF AE， BE解析：要

8、證四邊形 CEDF 是正方形， 則EC CF BF ，四邊形 BECF 是菱形；要先證明四邊形 DECF 是矩形，再證明一組(2) 當 A 45°時，菱形 BECF 是正方鄰邊相等即可形證明： A 45°， ACB 90°，證明： CD 平分 ACB ， DE BC， CBA 45 °， EBF 2 CBA DF AC ， DE DF ， DFC 90°，90°，菱形 BECF 是正方形DEC 90°，又 ACB 90°，四邊形方法總結： 正方形的判定方法： 先判DECF 是矩形， DE DF ，矩形 DECF定四

9、邊形是矩形， 再判定這個矩形有一組鄰是正方形邊相等；先判定四邊形是菱形，再判定這方法總結： 要注意判定一個四邊形是正個矩形有一個角為直角； 還可以先判定四方形，必須先證明這個四邊形為矩形或菱邊形是平行四邊形，再用或進行判定第2頁共4頁探究點三： 正方形的性質與判定的綜合已知：如圖， ABC 中，點 O 是 AC 上的一動點，過點 O 作直線 MN BC，設 MN 交 BCA 的平分線于點 E，交 BCA 的外角 ACG 的平分線于點 F，連接 AE、 AF .滿足 ACB 為直角時，四邊形 AECF 是正方形由 (2) 知，當點 O 運動到 AC 的中點時，四邊形 AECF 是矩形，已知 MN

10、 BC，當 ACB 90°，則 AOF COE COF AOE 90°，即 AC EF ，四邊形 AECF 是正方形 故答案為： ACB 為直角方法總結： 此題考查的是正方形和矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識 解題的關鍵是由已知得出 EO FO，確定 (2)(3) 的條件(1)求證： ECF 90°；(2)當點 O 運動到何處時， 四邊形 AECF是矩形？請說明理由；(3)在 (2)的條件下， ABC 應該滿足條件： _ ，則四邊形如圖， AE 是正方形ABCD 中AECF 為正方形 (直接添加條件， 無需證明 ) BAC 的平分線

11、， AE 分別交 BD、BC 于 F、解析： (1) 由已知 CE 、 CF 分別平分E，AC、 BD 相交于 O.求證： BCO 和 GCO，可推出 BCE OCE，(1) BE BF ； GCF OCF ，所以得 ECF 90°；1(2)由 (1)可得出 EOCO FO，點 O 運(2)OF 2CE.動到 AC 的中點時，則有 EO COFO 解析： (1) 根據(jù)正方形的性質可求得AO，所以這時四邊形 AECF 是矩形； ABE AOF 90° .由于 AE 是正方形( 3)由已知和 (2)得到的結論，點 O 運動ABCD 中 BAC 的平分線， 根據(jù) “ 等角的余到

12、AC 的中點時， 且 ABC 滿足 ACB 為直角相等”即可求得 AFOAEB.根據(jù)角的直角三角形時， 則推出四邊形 AECF 是“ 對頂角相等 ” 即可求得 BFE AEB ，矩形且對角線垂直， 所以四邊形 AECF 是正BE BF； (2)連接 O 和 AE 的中點 G.根據(jù)三方形角形的中位線的性質即可證得OGBC ，(1)證明： CE 平分 BCO， CF 平分1GCO，OCEBCE， OCFOG2CE.根據(jù)平行線的性質即可求得 GCF ， ECF 12× 180° 90°；(2)解：當點 O 運動到 AC 的中點時， 四邊形 AECF 是矩形理由如下： M

13、N BC， OEC BCE ， OFC GCF ，又 CE 平分 BCO， CF 平分 GCO ，OCE BCE， OCF GCF， OCE OEC， OCF OFC ， EO CO，F(xiàn)O CO， OEOF .又當點 O 運動到 AC 的中點時， AO CO，四邊形 AECF 是平行四邊形， ECF 90°，四邊形 AECF 是矩形； OGFFEB，從而證得OGF1 AFO， OG OF ，進而證得OF 2CE.證明： (1)四邊形ABCD 是正方形， AC BD， ABE AOF 90° .CAE BAE， AFO AEB，又 AFO BFE ， BFE AEB ，BE BF；(2) 連接 O 和 AE 的中點 G. AO CO，1AG EG， OG BC，OG 2CE， OGF FEB . AFO AEB ， OGF (3)解：當點 O 運動到 AC 的中點時， 且第3頁共4頁1 AFO ， OG OF， OF 2CE.方法總結： 在正方形的條件下證明線段的關系， 通常的方法是連接對角線構造垂直平分線，利用垂直平分線的性質、中位線定理、角平分線、等腰三角形等知識來證明，有時也利用全等三角形來解決三、板書設計