不等式恒成立問題解法完美歸納學生版

1、不等式恒成立與有解問題解法歸納一、分離變換法：(一)分離參數法若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，即分離參數法?；静襟E為：第一步首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數的系數正負的情況下，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式；第二步先求出含變量一邊的式子的最值；第三步由此推出參數的取值范圍即可得出結論.分離參數法有以下幾種類型：I .常規(guī)法分離參數所謂常規(guī)法分離參數，就是通過解不等式或解方程把參數解出來，再研究分離出來的函數的值域或最值，從而 求出

2、參數取值范圍。例、若函數f(x)= x3tx2+3x在區(qū)間1,4上單調遞減，則實數 t的取值范圍是()5151A. -00, 8 B. ( £ 3 C. 8 , + 00 D. 3, + 8)【例】已知函數 H(x)= xlnx- x2-1),若對任意xC1, +8)不等式H(x)WQ求實數 入的取值范圍.【分析】H(x) W0=H(1)恒成立轉化為H'x)= ln x+1 2入W0恒成立，再分離參數求解【變式訓練】81、已知不等式2x+m + x1>0對一切xC(1, + 8恒成立，則實數 m的取值范圍是 2、設 f(x) lg1 2x a4x »-，其中a

3、 R,如果3x (.1)時，f(x)恒有意義，求a的取值范圍。II .倒數法分離參數一g x一 一g x對于用常規(guī)法af x g x能分離參數，得a 彳一，但如果f x有零點，則函數1一有鉛錘漸近g x八線，對于學生來說，就不容易求出函數 的值域，怎么辦？此時應該注意到如果g x。恒成立，則f x一1 f x對于af x g x ,可這樣分離一 ，求函數的值域就容易多了(因為其圖象是連續(xù)的曲線)。這種a g x分離參數的方法，我們就稱為倒數法分離參數。?(?= ?2 ?(?) 1/ -J 七?、, 、,J (2)若函數？?(?知兩個零點？?？?？且？?< ?,求實數？的取值范圍；【變式訓

4、練】已知a是實數，函數f(x) 2ax2 2x3 a,如果函數y=f(x)在1,1上有零點，求實數a的取值范圍。III .分類法分離參數對于形如af x g x的不等式如果f x的符號不確定，要分離參數，需要根據f x的符號分類討論?！纠咳魧τ谌我鈱崝?x>0,函數f(x)=ex+ax恒大于零，則實數 a的取值范圍是 ?！咀兪接柧殹慨攟m| 2時，不等式2x 1 m(x2 1)恒成立，求x的范圍?！痉治觥恳蛛x出 m,需要根據x2 1的符號進行討論IV .換元法分離參數有時參數含在復合函數中，直接分離行不通，可通過換元，再分離參數。1_,1.一【例】已知不等式ln( x) 2ax0在區(qū)

5、間(,)上恒成立，求實數 a的取值范圍?！咀兪接柧殹恳阎?f x ln ax 1 ax 1,若f x a,則a的取值范圍 二、分類討論法：直接分類討論法，就是對題中給定的函數，直接求導，通過對參數的分類討論，確定函數的單調性, 從而求出參數取值范圍.(大題用的比較多)大致如下：(1)首先可以把含參不等式整理成適當形式如f(x,a) 0、f(x, a)。等；(3)得出結論.(2)從研究函數的性質入手，轉化為討論函數的單調性和極值;類型一、直接構造函數，導函數的零點在不在定義域內引起的分類討論,【例1】已知常數awQf(x)= aln x + 2x.(2)當f(x)的最小值不小于一a時，求實數a的

6、取值范圍.【變式訓練】已知函數f(x)= m(x1)ex+x2(m e R).(2)若對任意的x<0,不等式x2+(m + 2)x>f' x()恒成立，求 m的取值范圍.類型二：直接構造形如 f x,a的二次函數，根據對稱軸與給定區(qū)間的位置關系進行討論例2已知函數f(x)= x3ax2+10。(2)在區(qū)間1,2內至少存在一個實數 x,使得f(x)<0成立，求實數a的取值范圍?！咀兪接柧殹咳?xC 2,2時，不等式x2+ax+3a>0恒成立,求實數a的取值范圍.【分析】根據對稱性 x=與區(qū)間的位置關系分 3類討論。三、數形結合法:數形結合法就是作出所給函數的圖象，

7、根據函數圖象進行求解或轉化,操作時，常常等價轉為對臨界狀態(tài)進行研究；或畫出符合題意的一種狀態(tài)，再確定限制條件。(選填題用的多)(一)f x f a 型此種類型一般是直接求出f x的最值，再整理出關于a的不等式【例】cos xt,已知f(x)為偶函數,當xno時，f(x) =0,12'則不等式f(x1)名的解集為()1A. 4,43'B.34'13U14'D.34'-x2+x,x<l,【例】【安徽省江南十校 2020屆高三聯(lián)考】已知函數f(x)= 10glx, x> 1,若對任意的 xC R,都有 f(x)*31|成立，則實數k的取值范圍為【變

8、式訓練】已知 f x x2 2x ex,若不等式f x a有解，則實數a的取值范圍是 (二)f x g x型淇中g x的圖象為直線【例】 若關于x的不等式4ax 1<3x- 4(a>0,且aw例于任意的x>2恒成立，則a的取值范圍是(). 八11A. 0, 2D. 0,萬C. 2, + oo)D. (2, + 8)-x2+ 2x, xWQ若|f(x)| ax,則a的取值范圍是【例】已知函數f(x) =ln x+ 1 , x>0.A. (8, 0B. (8, 1 C. 2,1D. -2,0【變式訓練1】f xx 2 Inx ax 1,若存在唯一整數x0,使得f x00成立

9、,求實數a的取值范圍.【變式訓練2】對任意實數?> ?關于？酌不等式？? > ? (?+oo )上恒成立，則？的最大整數值為 ?(三)f xg x型淇中f x ,g x的圖象均為曲線【例】當xC(1,2)時，不等式(x-1)2<|oga x恒成立，則實數a的取值范圍是1【例】已知a>0且awl f(x)=x2ax,當xC(1, 1)時，均有f(x)<1,則實數a的取值范圍是()c 1一、A. 0, 2 U 2, +8)_ 1B. 4，1 U (1 , 4 C. 2，1 U (1, 2r 八 1 一一、D. 0, 4 U 4, + 8)【變式訓練1】若存在正數x使2

10、x(xa)<1成立，則a的取值范圍是 (四)f x f x a 型【例】已知定義域為 R的函數f(x)是奇函數，當x>0時，f(x)= |xa2|a2,且對xC R,恒有f(x+1)f(x),則實數a的取值范圍為()1 1-A. 0,2B. 2，2C. -1,1 D. 2,0【變式訓練】設函數 f(x)=|x+a|, g(x) = x 1,對于任意的xCR,不等式f(x)福(x)恒成立，則實數 a的取 值范圍是.四、洛必達法則法：洛必達法則”是高等數學中的一個重要定理，用分離參數法(避免分類討論)解決成立、或恒成立命題時，經常需要求在區(qū)間端點處的函數(最)值，若出現(xiàn)法則1若函數f(

11、x)和g(x)滿足下列條件：-型或一型可以考慮使用洛必達法則。0 lim f x 0 及 lim g x 0 ；x ax a(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)乎0limx alim f x = lim x a g x x a g法則2若函數f(x)和g(x)滿足下列條件: lim f x 0 及 lim g x 0 ；xx上可導，且g'(x)專0(2) Af 0, f(x)和 g(x)在 ，A 與 A,(3)lim -l ,那么 lim ' ' = lim -xg xx g x xg x法則3若函數f(x)和g(x)滿足下列條件:(I)

12、 lim f xx a及 lim g x ；x a(2)在點a的去心鄰域內,f(x)與g(x)可導且g'(x)乎0(3) lim - l ,那么 lim ' ' = limx a g xx a g x x a利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意:1 .將上面公式中的 x-a , x-x換成x-+8, x-8, x a , x a 洛必達法則也成立。2 .洛必達法則可處理0x a , , 0, 1 ,°, 0°,型。03 .在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足0, , 0, 1 ,0, 00,型定式，否則濫用洛0必達法則會出

13、錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限。4 .若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。【例1】已知函數f(x) an? 月，曲線y f (x)在點(1,f (1)處的切線方程為x 2y 3 0.x 1 x(nil)如果當x 0,且x 1時，f (x) -ln k,求k的取值范圍.x 1 x【例2】設函數f (x) ex,21 x ax o若當x0時f (x) 0 ,求a的取值范圍【變式訓練】設函數 f(x)sin x .如果對任何 x > 0 ,都有f (x) W ax,求a的取值范圍.2 cosx五、差值比較法在解決f

14、 x g x類型問題時常把其轉化為f x g x0來求解，這種方法稱為差值比較法。(一)作差之后構造函數求最值1【例】【2019年高考北京理數】已知函數f(x) -x3 x2 x.4(n)當 x 2,4時，求證：x 6 f (x) x；(出)設F(x) | f(x) (x a)|(a R),記F(x)在區(qū)間2,4上的最大值為 M (a).當M (時，求a的值.a)最小【變式訓練】(2020江西高三(文)一、 2(aCR).f(x) x ax alnx'，(1)若函數f(x)在x= 1處取得極值，求 a的值；x35x211(2)在(1)的條件下，求證：f(x)手工+ 5x- 4x+ .3

15、26(二)作差之后二次構造函數二次求導【變式訓練】已知函數 ？(?= ? ?(1)若函數？?(?物極小值為0,求？的值；(2) ?> ?但?< ?求證：？?(?> ?【變式訓練】【2020河南新鄉(xiāng)市三模】已知函數 ？?？ 二?-?4F (?e ?(1)討論函數？?:？= 鬻在(？?+8 )上的單調性;(2)若？>?不等式? + ?>?- ?e (?+8)恒成立，求？取值范圍(三)作差之后先討論再構造22_2【例】(2020 山西圖二開學考I已知函數fx x axalnxaR,gx 2xlnx x .(2)求證：當a 1時，對于任意x 0, ，都有f x g x .

16、(四)作差之后先求最值在構造2a x【例】(2020河南鶴壁局中局二月考)已知函數f(x) ln x -(a 0,a R)x a(1)討論函數f(x)的單調性；a x 1(2)設 g(x) 2,當 a 0 時，證明：f (x) g(x). x a a(五)作差之后先參變量分離再虛設零點求最值【例】(2020江西高三模擬)已知函數f x x ln x a b,曲線y f x在點1, f 1處的切線為2x y 1 0.(1)求a, b的值；(2)若對任意的x 1, f x m x 1恒成立，求正整數 m的最大值.(六)先放縮再做差構造函數【例】(2020 湖北高三月考(理)已知f (x) cosx

17、 mx2 1(x 0).(1)若f(x) 0在0, 上恒成立，求實數 m的取值范圍；(2)證明：當 x 0時，ex 2 sin x c0sx.【變式訓練】已知函數？(?= ?嗎?(?) 可(1)若？?= ?求？?(?)單調區(qū)間;(2)若?= ?證明?(?,?) ?- ?<(七)作差之后先參變量分離在構造函數:【例】(2020 內蒙古高三)已知函數f(x)xln x(x 0).(1)求f (x)的單調區(qū)間和極值;2(2)若對任意 x (0,), f (x)xmx恒成立，求實數m的最大值.2【變式訓練】【陜西省2020屆高三第三次聯(lián)考數學】已知函數f(x) ln x ax, ?(?=?, ?e?(1)求函數?(?為極值點;(2)若？?(?齊？(?恒成立，求？勺取值范圍.(A)作差之后先討論再參變量分離構造函數【例】(2020北京高三期末)已知函數f x x2ex(1)求f x的單調區(qū)間；(2)過點P 1,0存在幾條直線與曲線 y f x相