淺談向量在幾何中的應用學士學位論文

1、. . . . 師大學學士學位論文題 目 淺談向量在幾何中的應用哈 爾 濱 師 大 學學士學位論文開題報告論文題目 淺談向量在幾何中的應用學生 XX指導教師 XXX 副教授年 級 XXX級專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學XXXX年XX月XX日課題來源：題目自擬課題研究的目的和意義：作為新課程改革，高中數(shù)學教材的一個顯著變化就是“向量”的引入。它的目的也很明確：為研究函數(shù)、空間圖形，提供新的研究手段，即充分體現(xiàn)它們的工具性。但這種“工具性”，只有在深刻理解的基礎上才能用好，而要想用活，這又需要我們在實踐中不斷“開發(fā)”新的認識，豐富知識網(wǎng)絡，形成較完善的“認知模塊”、“知識體系”。我們發(fā)現(xiàn)向量在立體幾何中有

2、很大的用處：有關空間問題中的“三大角度”和“兩大基本距離”的坐標法的研究中有著奇妙無窮的用途。國外同類課題研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢：向量進入中學數(shù)學教材，是近幾十年來國外教學改革的一個主要特征向量引入立體幾何是數(shù)學課程改革的重點之一，它是一個具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念，具有特別廣泛的教育價值它來解決部分立體幾何問題，可以大大降低難度，激發(fā)學生的學習興趣，有利于學生在學習中獲得成功的體驗教師在這一部分的教學中的難點和焦點在于：向量在立體幾何中如何運用？如何在立體幾何的教學中，正確處理好向量和傳統(tǒng)方法的關系?怎樣設計這部分知識的教學才能幫助學生更好地理解本部分的容?課題研究的主要容和方法，研究過程中的

3、主要問題和解決辦法：向量具有代數(shù)和幾何雙重身份，在幾何問題的研究中起了重大的作用。本文主要研究向量在解決幾何問題中的應用，如何用向量的知識解決幾何中的“面積問題”、“兩大位置關系”、“三大角”、“四大距離”的相關問題。在研究過程中發(fā)現(xiàn)有一些計算公式以與具體的敘述上有一些問題。于是通過閱讀中學教材，翻看大量的數(shù)學刊物，以與上網(wǎng)閱覽向量在解決高中數(shù)學問題的論文，解決了在課題研究方面的困難。課題研究起止時間和進度安排：1.2012.11-2012.12 根據(jù)導師指導，查閱資料，確定研究題目。2.2012.12-2013.01 查閱資料，構思論文框架，填寫開題報告。3.2013.01-2013.02

4、資料搜集與整理、歸納、分析.充分與導師進行溝通，完成論文初稿，并 完成論文中期報告。4.2013.02-2013.03 對論文的二稿進行修改和完善，并完成論文的最終定稿。5.2013.03-2013.04 打印論文；撰寫論文答辯提綱，完成論文答辯。指導教師審查意見：同意開題指導教師 （簽字） 年 月 教研室（研究室）評審意見：同意開題_教研室（研究室）主任 （簽字） 年 月院（系）審查意見：同意開題_院（系）主任 （簽字） 年 月32 / 32學 士 學 位 論 文題 目 淺談向量在幾何中的應用 學 生 XXXX 指導教師 XXXXXX 副教授 年 級 XXXX級 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 系

5、別 數(shù)學系 學 院 數(shù)學科學學院師大學XXXX年X月淺談向量在幾何中的應用XX摘 要:在新一代的課改中，向量作為現(xiàn)代數(shù)學標志之一，已經(jīng)進入了高中數(shù)學教材中。向量是溝通幾何與代數(shù)的重要工具，促進了幾何的代數(shù)化。有些幾何問題用常規(guī)的幾何證明方法去解決往往會比較復雜，那么運用向量把“幾何問題”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)運算”，會使解題過程大大的簡化，同時也更容易理解，體現(xiàn)了數(shù)學中常提到的“數(shù)形結合”的思想。向量普遍用于處理平面幾何中的“面積問題”，以與空間幾何中“兩大位置關系”、“三大角”、“四大距離”。關鍵詞：向量 平面幾何 空間幾何1、 向量在研究幾何方面的作用從數(shù)學發(fā)展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量

6、結構并未被數(shù)學家們所認識，在18世紀末期人們運用復數(shù)的運算來定義向量的運算，把坐標平面上的點用向量來進行表示，人們利用復數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣進入了數(shù)學。但是復數(shù)的利用是受限制的，一個復數(shù)所能對應的點只能在平面上，而向量卻有平面向量和空間向量之分。高中教材中引入向量的主要目的是為研究空間幾何提供一種新的方法，它是一種非常強大的工具，它能將“幾何形式”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)形式”，極大的促進了幾何的代數(shù)化。但是要想用好向量只有在深刻理解的基礎上才能用好，而要想靈活運用又需要我們熟練的掌握它可以用來計算什么以與與向量有聯(lián)系的知識容，豐富知識網(wǎng)絡，形成比較完善的“認知模塊”、“知識體系”，在腦

7、海中形成比較完善的知識鏈。首先，它可以用于研究“平行”和“垂直”兩大位置關系，主要包括“線線平行”、“線面平行”、“線線垂直”、“線面垂直”。其次，它對于求“三大角”也有很好的應用，主要包括“線線角”、“線面角”“二面角”。這里的“空間角”的求法，完全與直角三角形中的三角函數(shù)“正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的定義”發(fā)生了對接對邊或鄰邊就是斜邊的向量在此邊向量的投影，我們可以利用直角三角函數(shù)的定義來掌握向量在求“空間角”方面的應用。再次，它可以有效的計算“四大距離”，主要包括“點點距離”、“點線距離”、“點面距離”、“異面直線的距離”。最后，它還可以處理平面幾何中圖形的面積計算等。2、 向量在平面幾何中的應

8、用 例1.四邊形是正方形，是的中點，將正方形折起使點與重合，設折痕為（在上），若正方形面積為64，試用向量的方法求的面積。 解:如圖，建立直角坐標系， 顯然是的中垂線， 所以是的中點。 因為正方形的邊長為8， 所以，。 設點，則，。， 由， 得:。 即:。 解之:，即。 所以。例2. 已知:，其中， ，與的夾角為，求平行四邊形的面積。解:， 同理:， 設與的夾角為， 所以， 所以。3、 向量在空間幾何中的應用(1） 兩大位置關系1.平行關系 1.1證明兩條直線平行設直線、的方向向量分別為、，若，則與平行或者共線。例3:已知有兩條直線分別為，的方向向量，的方向向量，試判斷兩條直線是否平行？解:因

9、為， 所以兩條直線與不平行。1.2證明直線與平面平行設直線的方向向量為，平面的法向量為，、是與平行的兩個不共線向量，那么或存在兩個實數(shù)、，使。例4：在正方體中，、分別為、的中點，求證：平面。 證明：方法1：如上圖所示，以為原點，、所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系， 設正方體的棱長為1，則可求得，于是， 設平面的法向量是，則,且， 所以 。 取，得，所以。 又，所以。 又因為平面， 所以平面。 方法2：因為， 所以。 又因為平面， 所以平面。 1.3證明平面與平面平行設平面、的法向量分別為、，那么或與重合存在實數(shù)，使。例5：在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，在底面中，是上一點，且面，為的中

10、點，求證面面。 證明：以為原點，如圖建立坐標系， 設， 則， 所以，設， 所以， 設面的法向量為，則且， 解得， 所以。 設面的法向量為，則且。 取，則，則， 所以，所以， 所以面面。2.垂直關系 2.1證明兩條直線垂直設直線、的方向向量分別為和，那么，當，時，若，則。例6：現(xiàn)有兩條直線，的方向向量為，的方向向量為，是判斷兩條直線是否垂直？解：因為， 所以和不垂直。2.2證明直線和平面垂直設直線的方向向量為，平面的法向量為，則。若，則，。當，時，。例7：在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點，試在棱上找一點，使得平面。證明：分別以、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系， 則，。 所以， 又

11、因為、分別為、的中點， 所以， 又因為， 由于平面， 所以且。 即，。 所以， 所以。 故取的中點就能滿足平面。2.3證明平面與平面垂直設平面、的法向量分別為、，那么。若、是與平行的兩個不共線向量，是平面的法向量，則。例8：在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形平面，,、分別為、的中點，且。求證：平面平面。證明：以為原點，向量,分別為軸、軸、軸的正方向， 如圖建立坐標系，設，則， 則,，。 則， 所以， 設平面的法向量，則且。 取，則，所以。 易證平面的法向量為, 因為, 所以，。 所以，平面平面。（2） 三大角1. 線線角，是兩異面直線，所成的角為，則有，所以。例9：在棱長為1的正方體中，分別

12、為和的中點，那么直線與所成的角是多少？解：因為，, 所以。 又因為 同理可得：。 設與所成的角為，則, 所以。2. 線面角設直線的方向向量為，平面的法向量為，則。例10：如圖，正三棱柱的底邊長為，側(cè)棱長為，求與側(cè)面所成的角。解：根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，。 取的中點，則， 連,則有，。 由于， 所以平面， 所以是與側(cè)面所成的角。 因為， 所以， 而， 所以， 所以，即與側(cè)面所成的角為。3. 二面角設平面，的法向量分別為，則。例11：已知平面，且，求二面角的大小。解：過作于，過作于， 則二面角的大小等于向量與的夾角大小。 令,由平面， 知為的中點，且。 由，知。 由三

13、垂線定理知：。 又因為， 所以，從而為的中點。 如圖建立空間直角坐標系，則，, 所以，。 則。 所以， 即二面角的大小為。（3） 四大距離1. 兩點間的距離 例12：在的二面角中，。已知、到的距離分別是和，且，求的長度。解：如圖所示，作， 則，且，。 又因為， 所以，。 因為， 所以，。 即：的長度為。2. 點與線之間的距離例13：設為矩形所在平面外的一點，直線垂直于平面外的一點，直線垂直平面，求點到直線的距離。解：因為， 所以在上的射影長為， 又因為， 所以，點到直線的距離 。3. 點與平面之間的距離例14：如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，分別為與的中點，點在平面上的射影是的

14、重心，求點到平面的距離。 解：如圖，以，分別為軸，軸，軸建立坐標系， 設，則，。 所以，。 因為， 所以， 解得：。 所以有，。 因為， 所以平面，平面平面，為交線，到直線的距離， 即：到平面的距離為。4. 兩異面直線的距離例15：已知正方體的棱長為1，求異面直線與的距離。解：取的中點，的中點，連接， 則，。 由， 所以，。 又因為， 所以為與的公垂線。所以 即：。 所以，異面直線與的距離是。4、 用向量法解決幾何問題的一般步驟用向量法解決幾何問題有兩種方法：一種是用向量的代數(shù)式運算；另外一種是通過建立空間坐標系，用向量的坐標來運算。一般來講，用向量坐標運算，思維量更小，運算技巧更低，更容易掌

15、握，因此這是我們經(jīng)常用的方法。如果所給的圖形不容易建立空間直角坐標系，我們可以用向量的代數(shù)運算來解決問題，但需要我們付出大量思維以與運算量，對學生的邏輯推理能力要求比較高。用向量坐標運算解題步驟：（1）建立空間直角坐標系。注意盡可能用已經(jīng)存在的過同一個點的兩兩垂直的三線，如果沒有三線，也盡量找兩線垂直，然后作出第三線和兩線垂直，按右手系建立坐標系。注意所寫點的坐標要與所建立的坐標系相一致。（2）寫出需要用到的相關點的坐標。注意要仔細再仔細，此步若錯，全題皆錯。（3）寫出所要用到的相關向量坐標。注意必須終點坐標減始點坐標。（4）通過計算解決具體問題。注意運算公式要用對，計算要仔細，以免結果錯誤。

16、參考文獻：1 八芝：向量在中學數(shù)學教學中的應用J，高專學報2003年第2期。2 鄒立佩：直線、平面位置關系證明題的教學J，密山縣考試周刊2003年第1期。3 曉瑜：用空間向量法求角的問題研究J，高中數(shù)學教與學2004年。4 春祥：用空間向量法求距離的問題研究J，中學數(shù)學研究2004年。5 萍：淺談用向量法解立體幾何題J，中學數(shù)學研究2004年。6 周鐘光：空間距離的向量求法J，中學數(shù)學研究2005年。7 郭 健：解析幾何方法與應用M，科學技術1998年。APPLICATION OF VECTOR IN GEOMETRYXXXAbstract:In the new curriculum refo

17、rm of mathematics,as now one of the signs of vector has entered the high school mathematics textbooks.Vector algebra and geometry is an important tool of communication,promote the geometric algebra.Some geometric problems with conventional problem solving method to solve are often more complicated,s

18、o the use of vector the geometry problem is transformed into algebraic operations,will make the problem sovling process is greatly simplified,embodies the mathematics"the number shape union thought".Vector common of processing planar geometry in"aera",as well as in the geometry o

19、f space"two position","three large","four distance".Key words:vector;plane geometry論文評閱人意見論文（設計）題目淺談向量在幾何中的應用作 者XX評閱人評閱人職稱意 見 本論文選題有很強的應用價值，文獻材料收集詳實，運用了所學知識對高中數(shù)學中的幾何問題進行了綜合概括，并且總結出了一套系統(tǒng)的方法，所得的數(shù)據(jù)合理，結論正確。比較有條理性，層次鮮明。評閱人簽字評閱意見論文評閱人意見論文（設計）題目淺談向量在幾何中的應用作 者XX評閱人評閱人職稱意 見 論文思路清晰，語句通順。能很好的講述向量在處理高中幾何問題上的應用。作者對高中幾何問題研究比較透徹，總結全面。本文思路清晰，層次清晰，邏輯結構合理。觀點表達正確，在論證過程中能有效將專業(yè)原理與要研究的主題結合在一起，總體上達到了畢業(yè)論文要求。評閱人簽字評閱意見指導教師評語頁論文（設計）題目淺談向量在幾何中的應用作 者XX指導教師XX職 稱副教授評 語 該生閱讀資料的能力較強，并且有較強的