【KS5U解析】河南省頂級(jí)名校2020屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題 Word版含解析

1、2020屆高三年級(jí)開(kāi)學(xué)摸底考試文數(shù)試卷第i卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】可以求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可【詳解】解：，.故選：.【點(diǎn)睛】考查描述法的定義，絕對(duì)值不等式的解法，以及交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（ ）a. b. c. d. 1【答案】d【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可得解；【詳解】解：，的虛部為1.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，關(guān)鍵是將其分母實(shí)數(shù)化，化為的形式，進(jìn)

2、行判斷，屬于基礎(chǔ)題3.在等差數(shù)列中，則其公差為（ ）a. 2b. 1c. d. 【答案】d【解析】【分析】等差數(shù)列中，根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)解得：、，即可得出公差【詳解】解：在等差數(shù)列中，又，公差為.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，化簡(jiǎn)要求的式子，可得結(jié)果【詳解】解：，.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5.如圖所示的中，點(diǎn)d、e分別在邊bc、ad上，且.，則向量（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【

3、分析】根據(jù)題目條件，結(jié)合平面向量運(yùn)算的三角形法則，進(jìn)行推導(dǎo)即可【詳解】解：，又，又，.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量運(yùn)算的三角形法則，難度不大，屬于基礎(chǔ)題6.在九章算術(shù)中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑.若某個(gè)鱉臑的三視圖均為直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形（如圖所示）.則該鰲臑的中最大面積為（ ） a. b. 1c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用三視圖畫(huà)出幾何體的直觀圖，判斷各個(gè)面的面積的最大者，求解即可得到結(jié)果【詳解】解：根據(jù)三視圖畫(huà)出該幾何體的直觀圖為如圖所示的四面體，其中pa垂直于等腰直角三角形abc所在的平面.將其放置于正方體中（如圖所示），可知該正方體的棱長(zhǎng)為1，

4、所以，所以表面中最大面的面積為.故選：a. 【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖的應(yīng)用，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，則滿足的x的取值范圍為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，分兩種情況討論，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】解：由題易知在上單調(diào)遞增，且，則由，得，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且有，則由，得，所以滿足的x的取值范圍為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)

5、題8.已知函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值可以為（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】b【解析】【分析】由，求出，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求出的值【詳解】解：，又，從而.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即，令，得.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題，9.已知三個(gè)村莊所處的位置恰好位于三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，且.現(xiàn)在內(nèi)任取一點(diǎn)建一大型的超市，則點(diǎn)到三個(gè)村莊的距離都不小于的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】采用數(shù)形結(jié)合，計(jì)算，以及“點(diǎn)到三個(gè)村莊的距離都不小于”這部分區(qū)域的面積，然后結(jié)合幾何概型，可得結(jié)果.【詳解】由題可知

6、：所以該三角形為直角三角形分別以作為圓心，作半徑為2的圓如圖所以則 “點(diǎn)到三個(gè)村莊距離都不小于”該部分即上圖陰影部分，記該部分面積為又三角形內(nèi)角和為，所以設(shè)點(diǎn)到三個(gè)村莊的距離都不小于的概率為所以故選：d【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型問(wèn)題，重點(diǎn)在于計(jì)算面積，難點(diǎn)在于計(jì)算陰影部分面積，考驗(yàn)理解能力，屬基礎(chǔ)題.10.在正方體abcd-a1b1c1d1中，點(diǎn)m為棱a1b1的中點(diǎn)，則異面直線am與bd所成角的余弦值為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】取a1d1的中點(diǎn)n，連結(jié)mn，b1d1，易得mnbd，故異面直線am與bd所成角的余弦值為直線am與mn所成角的余弦值.【詳解】如圖所

7、示，取a1d1的中點(diǎn)n，連結(jié)mn，b1d1，m為棱a1b1的中點(diǎn)，mnb1d1，在正方體abcd-a1b1c1d1中，bdb1d1，異面直線am與bd所成角的余弦值為直線am與mn所成角的余弦值，連結(jié)an，則amn（或其補(bǔ)角）為異面直線am與bd所成的角，設(shè)正方體abcd-a1b1c1d1棱長(zhǎng)為2a，則am=an=，mn=，在amn中，由余弦定理得：cosamn=故答案為d【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于?？碱}型.11.已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線，過(guò)定點(diǎn)p作兩直線分別交拋物線c于點(diǎn)a、b，若，則的值為（

8、）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】設(shè)，求得，再求出、的斜率，由斜率和為0求得的值，進(jìn)一步求出的斜率，則答案可求【詳解】解：設(shè)，則，同理.因?yàn)椋?，所以，又，所?故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，屬于中檔題12.若對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在單調(diào)性，并計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】令，則，令若時(shí)，若時(shí)，所以可知函數(shù)在遞減，在遞增所以由對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立所以故選：a【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)，通

9、過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.第ii卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13.在中，則_.【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形的面積公式即可計(jì)算得解詳解】解：，故答案：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14.已知直線與圓，若圓心到直線的距離為，則_.【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式可知，圓心到直線的距離為，結(jié)合已知可求【詳解】解：由點(diǎn)到直線的距離公式可知，圓心到直線的距離為，解可得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用點(diǎn)到直線的距離公式解決直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題15.若x、y滿足約束條件，則的最大值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】作出

10、可行域后,根據(jù)斜率關(guān)系找到最優(yōu)解,代入最優(yōu)解的坐標(biāo)即可求得最大值.【詳解】作出可行域如圖所示:由可得,由圖可知最優(yōu)解為,聯(lián)立 ,解得,所以最優(yōu)解為,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最大值,利用斜率關(guān)系找到最優(yōu)解是答題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16.如下分組的正整數(shù)對(duì)：第1組為，第2組為，第3組為，第4組為，則第40組第21個(gè)數(shù)對(duì)為_(kāi)【答案】【解析】【分析】由題意可得第n組各個(gè)數(shù)和為，且各個(gè)數(shù)對(duì)無(wú)重復(fù)數(shù)字，按照順序排列，即可得到所求數(shù)對(duì)【詳解】由題意可得第一組的各個(gè)數(shù)和為3，第二組各個(gè)數(shù)和為4，第三組各個(gè)數(shù)和為5，第四組各個(gè)數(shù)和為6，第n組各個(gè)數(shù)和為，且各個(gè)數(shù)對(duì)無(wú)重復(fù)數(shù)字，可得第40組各個(gè)

11、數(shù)和為42，則第40組第21個(gè)數(shù)對(duì)為故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，注意總結(jié)各組數(shù)對(duì)的特點(diǎn)，考查簡(jiǎn)單的歸納推等基礎(chǔ)知識(shí)，考查判斷能力、推理能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題，三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式； （2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）根據(jù)和關(guān)系得到答案.（2）首先計(jì)算數(shù)列通項(xiàng)，再根據(jù)裂項(xiàng)求和得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2） 【點(diǎn)睛】本題考查了和關(guān)系，裂項(xiàng)求和，是數(shù)列的?？碱}型.18.為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門(mén)經(jīng)常不定期地抽查產(chǎn)品進(jìn)行

12、檢測(cè)，現(xiàn)在某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對(duì)比，并對(duì)每個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行綜合評(píng)分（滿分100分），將每個(gè)產(chǎn)品所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評(píng)分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.（1）求圖中的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)；（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個(gè)產(chǎn)品，再?gòu)倪@5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個(gè)產(chǎn)品中恰有一個(gè)一等品的概率.【答案】(1) ；中位數(shù)為82.5. (2) 【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，結(jié)合頻率分布直方圖對(duì)應(yīng)矩形區(qū)域面積求解即可；先結(jié)合數(shù)值預(yù)判中位數(shù)所在組距應(yīng)在80到90之間，設(shè)綜合評(píng)分的

13、中位數(shù)為，結(jié)合頻率計(jì)算公式求解即可；（2）先結(jié)合分層抽樣計(jì)算出一等品所占比例，再采用列舉法表示出所有基本事件，結(jié)合古典概率公式求解即可【詳解】（1）由頻率和為1，得，；設(shè)綜合評(píng)分的中位數(shù)為，則，解得，所以綜合評(píng)分的中位數(shù)為82.5.（2）由頻率分布直方圖知，一等品的頻率為，即概率為0.6；所以100個(gè)產(chǎn)品中一等品有60個(gè)，非一等品有40個(gè)，則一等品與非一等品的抽樣比為3：2；所以現(xiàn)抽取5個(gè)產(chǎn)品，一等品有3個(gè)，記為、，非一等品2個(gè)，記為、；從這5個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個(gè)，基本事件為：、共10種；抽取的這2個(gè)產(chǎn)品中恰有一個(gè)一等品的事件為：、共6種，所以所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖中具體

14、數(shù)值的求解，中位數(shù)的計(jì)算，求解具體事件對(duì)應(yīng)的概率，屬于中檔題19.如圖所示，在四棱錐中，底面bcde為正方形.且， .（1）證明：平面bcde；（2）若點(diǎn)p在線段ad上，且，求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，由此能證明平面（2）由，得平面，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，推導(dǎo)出為點(diǎn)到平面的距離，由此能求出三棱錐的體積【詳解】解：（1）因?yàn)榈酌鎎cde為正方形，且，所以，所以，又，平面bcde，平面，所以平面bcde.（2）由（1）知，又底面bcde為正方形，所以，又，平面，平面，所以平面.過(guò)點(diǎn)p作交ac于點(diǎn)f.因?yàn)?，所以，所以平面?所以pf為點(diǎn)p到平面的距離.由，

15、知， 所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題20.已知橢圓的中心為原點(diǎn)o，過(guò)o作兩條相互垂直的射線分別交橢圓于p、q兩點(diǎn).（1）證明：為定值；（2）若橢圓，過(guò)原點(diǎn)o作直線pq的垂線，垂足為d，求.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）分類討論，當(dāng)，斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，求得，同理求得，即可求證為定值；（2）根據(jù)（1）及三角形面積相等，即可求得的值【詳解】解：（1）當(dāng)射線或在軸上時(shí)，顯然有； 當(dāng)射線，不在軸上時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程，則，所以. 用是代替上式中的

16、，可得， 所以.綜上為定值. （2）由（1）的證明，可知， 即， 所以所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中定值問(wèn)題，考查三角形的面積相等，考查計(jì)算能力，屬于中檔題21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得時(shí)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得所求切線方程；（2）求得的導(dǎo)數(shù)，討論，的單調(diào)區(qū)間，考慮在，的單調(diào)性，求得最小值，可令其不小于，解不等式可得所求范圍【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即. （2）由，得

17、當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增. 時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以對(duì)任意的，都有等價(jià)于，即，解得，又，所以； 當(dāng)時(shí)，所以在上的最小值為.又當(dāng)時(shí)，顯然成立. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)性、極值和最值，考查分類討論思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的普通方程和曲線c的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與

18、曲線c相交于a，b兩點(diǎn).求【答案】（1）.；（2）5.【解析】【分析】（1）將（t為參數(shù)）中的參數(shù)t消去，即可求得直線l的普通方程，再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得曲線c的直角坐標(biāo)方程；（2）令，得到直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），代入，結(jié)合直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】（1）由題意，將（t為參數(shù)）中的參數(shù)t消去，可得即直線l的普通方程為，由，可得，又由，代入可得，所以曲線c的直角坐標(biāo)方程為.（2）令，則有（為參數(shù)）.將其代入方程中，得，其中.設(shè)點(diǎn)a，b對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，熟練應(yīng)用直線的參數(shù)方程