【KS5U解析】浙江省寧波市十校2020屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、浙江省寧波市十校2020屆高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考公式：如果事件，互斥，那么如果事件，相互獨(dú)立，那么如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率臺(tái)體的體積公式其中分別表示臺(tái)體的上、下底面積，表示臺(tái)體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】直接根據(jù)交集的定義計(jì)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?故選：

2、b.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于容易題.2.雙曲線離心率（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由標(biāo)準(zhǔn)方程求出和，繼而可求離心率.【詳解】解：，所以. 由 可知.故選:a.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了離心率的求解.3.若滿足約束條件，則的最小值是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由約束條件畫出可行域，通過(guò)平移 分析即可得最優(yōu)解，代回中即可求出最小值.【詳解】解：畫出可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分.由可知.則當(dāng)過(guò)時(shí)，.故選:b.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃.一般情況下，首先畫出可行域，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，分析出最優(yōu)

3、解.這里在畫可行域時(shí)應(yīng)注意，邊界線是實(shí)線還是虛線.4.已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：），可得這個(gè)幾何體的體積是（ ） a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由三視圖還原出幾何體，依據(jù)錐體體積的公式即可求解.【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形的四棱錐，高為2.所以體積為.故選:c.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體體積求解，考查了三視圖.5.函數(shù)的圖像如圖所示，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由解析式及圖像判斷出，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可知.【詳解】解：由可知， ，所以函數(shù)對(duì)稱軸為，由圖可知.設(shè) ，則.由圖可知，函數(shù)先增后減.因?yàn)閱?/p>

4、調(diào)遞增，所以應(yīng)先增后減，故.故選:d.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖像，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.若，則該函數(shù)的對(duì)稱軸為；對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，遵循同增異減的原則.6.設(shè)，則“”關(guān)于的方程“有實(shí)數(shù)根”的（ ）a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】以為條件，判斷有實(shí)數(shù)根是否成立；以有實(shí)數(shù)根為條件，判斷是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)有實(shí)數(shù)根時(shí)，即.故選:a.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的充分必要條件的判斷.一般此類問(wèn)題分為兩步，若，則 是 的充分條件；若，則 是 的必要條件.7.正方體，是線段（不含端點(diǎn)

5、）上的點(diǎn).記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】不妨設(shè) 為 的中點(diǎn)，連接交于，做 的中點(diǎn)為 ，連接,經(jīng)過(guò)分析，從而可求出，進(jìn)而可比較三個(gè)角的大小.【詳解】解：如圖，不妨設(shè) 為 的中點(diǎn)，連接交于，做 的中點(diǎn)為 ，連接，則面.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為.由題意知.， ，則； 則；.因?yàn)?，所?故選:a.【點(diǎn)睛】本題考查了線線角，考查了線面角，考查了二面角.對(duì)于空間中角的問(wèn)題，在求解時(shí)有兩種思路，一是按定義直接找到所求角，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等求解；二是結(jié)合空間向量求解.8.已知隨機(jī)變量的分布列如下：則（ ）a. 有最

6、小值b. 有最大值c. 有最小值0d. 有最大值【答案】d【解析】【分析】由所有概率之和為1求出,進(jìn)而可求，結(jié)合，可求最值.【詳解】解：由題意知，即.則，所以沒(méi)有最值. .由可知，當(dāng)時(shí)，有最大值為.故選:d.【點(diǎn)睛】本題考查了分布列，考查了數(shù)學(xué)期望，考查了方差.對(duì)于分布列的題目，隱藏條件為，所有概率之和為1.本題的難點(diǎn)是計(jì)算化簡(jiǎn).9.從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有（ ）個(gè).a. 576b. 1296c. 1632d. 2020【答案】b【解析】【分析】分成兩種情況：取出數(shù)字中無(wú)0和取出數(shù)字中有0.第一種情況全排列

7、即可；第二種情況下，千位有3種可能，再乘對(duì)剩余數(shù)字的全排列.兩種情況的結(jié)果相加即可.【詳解】解：當(dāng)取出的4個(gè)數(shù)字中沒(méi)0時(shí)，再組成四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有個(gè)；當(dāng)取出的4個(gè)數(shù)字中有0時(shí)，共有中組合，這四位數(shù)字所組成的四位數(shù)有個(gè)，所以這種情況下的四位數(shù)共有個(gè). 故選:b.【點(diǎn)睛】本題考查了排列與組合的綜合應(yīng)用.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忽略這個(gè)四位數(shù)，千位不能為零.10.數(shù)列滿足，則（ ）a. 存在，使b. 存在，c. 存在，d. 【答案】d【解析】【分析】由數(shù)列單調(diào)性的定義作差可得，可得為遞增數(shù)列，又，兩邊取到數(shù)，結(jié)合裂項(xiàng)求和以及不等式的性質(zhì)可選出正確選項(xiàng).【詳解】解：由題意知， .由于 ，所以，則，所以為遞增

8、數(shù)列. ，.即，則.由為遞增數(shù)列，可得，則.即故選:d.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查了裂項(xiàng)求和，考查了化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力.本題的難點(diǎn)是對(duì)遞推公式進(jìn)行處理.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，多空題每小題6分，共36分11.歐拉公式（是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)字中的天橋”根據(jù)歐拉公式可知，_【答案】1【解析】【分析】由已知可知，運(yùn)用誘導(dǎo)公式可求出，以及，繼而可求.【詳解】解：由題意知，同理，.故.故答案為:1.【點(diǎn)睛

9、】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了三角函數(shù)求值，考查了推理能力和計(jì)算能力.12.的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)【答案】14【解析】【分析】由二項(xiàng)式定理寫出通向，求出通項(xiàng)中，即可求系數(shù).【詳解】解： 展開(kāi)式中的第 項(xiàng)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故答案為：14.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理.做題關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式.13.在四邊形中，且，則_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用余弦定理求出 的值，利用勾股定理逆定理判斷，由正弦定理和誘導(dǎo)公式即可求出的值.【詳解】解：在中，由余弦定理可知 即，.又，所以.由，可知 .故答案為: ;.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了誘導(dǎo)公式.本

10、題的關(guān)鍵是判斷.在解三角形時(shí)，已知兩邊及其夾角或已知三邊，一般套用余弦定理求解；已知兩角及一角的對(duì)邊，常用正弦定理解三角形.14.已知直線，橢圓，點(diǎn)，若直線和橢圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則周長(zhǎng)是_，的重心縱坐標(biāo)的最大值是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由橢圓的定義可求出三角形的周長(zhǎng)為；設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去，即可求出，進(jìn)而可知重心縱坐標(biāo)為，分 兩種情況，結(jié)合基本不等式，即可求出，從而可求出重心縱坐標(biāo)的最大值.【詳解】解：由題意知，可知恒過(guò)定點(diǎn)，此點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，記為.則.所以周長(zhǎng)為.設(shè) 設(shè)的重心縱坐標(biāo)為.則 .聯(lián)立直線與橢圓方程得 ，整理得.則， 所以.當(dāng) 時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即

11、時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí).綜上所述：.所以的重心縱坐標(biāo)的最大值是.故答案為: ;.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了基本不等式.對(duì)于橢圓中的三角形問(wèn)題，常結(jié)合橢圓的定義、性質(zhì)以及解三角形的思路求解.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是求出重心縱坐標(biāo)的表達(dá)式時(shí)，未對(duì) 進(jìn)行討論.應(yīng)用基本不等式時(shí)，一定要注意一正二定三相等.15.的值域?yàn)開(kāi)；若函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，作出圖像，即可求出值域；依題意，的零點(diǎn)必然在和上或者和上，分類討論結(jié)合已知即可求出.【詳解】解：，作出

12、圖像如下，由圖像可知，函數(shù)的值域?yàn)?由得，顯然，零點(diǎn)必然在和上或和上，令，解得，又，則，由，可得；令，解得，又，則，同時(shí)，得.綜上所述：.故答案為：;.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值域的求法，考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查不等式的求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查分類討論思想以及運(yùn)算求解的能力.求函數(shù)的值域時(shí)，一般采用的思路有：圖像法、導(dǎo)數(shù)法、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)等.16.已知雙曲線，曲線，則曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_個(gè)，原點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)之間的距離最小值是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】聯(lián)立曲線的方程，通過(guò)配方法，解方程可判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；由兩點(diǎn)的距離公式和三角換元，結(jié)合同角公式和二倍角公式，以及正弦函

13、數(shù)的值域，可得所求最小值.【詳解】解：聯(lián)立方程組 ，整理可得，即，由可知方程無(wú)解，即兩條曲線沒(méi)有交點(diǎn).設(shè)曲線上的點(diǎn)為，則原點(diǎn)與上的點(diǎn)之間的距離為.設(shè)，代入得 整理得.由，可得，解得當(dāng) 時(shí)，取最小值為2.故答案為: ;.【點(diǎn)睛】本題考查曲線方程的關(guān)系，考查兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查了兩點(diǎn)的距離公式.應(yīng)注意運(yùn)用方程思想和三角換元.本題計(jì)算量較大，計(jì)算容易出錯(cuò).17.設(shè)向量，記，若圓上的任意三點(diǎn)，且，則的最大值是_【答案】16【解析】【分析】設(shè),根據(jù)條件得,則,所以當(dāng)直線 與圓相切時(shí), 有最大值,利用圓與直線的位置關(guān)系可求出最大值.【詳解】解：由圓的方程得，則圓心，半徑.設(shè)，由得為直徑，由此可得，即.則

14、，為圓上的一點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)， 有最大值.則圓心到直線的距離，解得或.則當(dāng)時(shí)， 有最大值為16.故答案為:16.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查平面向量的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化的思想.本題的難點(diǎn)在于將的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓相切的問(wèn)題.三、解答題18.設(shè)函數(shù).（1）已知，函數(shù)是奇函數(shù)，求的值；（2）若，求.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換求得，再由奇函數(shù)可知，結(jié)合可求出符合題意的的值.（2）由可求出，則所求，即可求出值.【詳解】解：（1），因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，解得當(dāng)或 時(shí)，或.（2）因?yàn)?，所以，即，可得所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式，考查了三角

15、恒等變換，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了正弦函數(shù)的奇偶性.若已知 為奇函數(shù)，則；若已知為偶函數(shù)，則.19.如圖，三棱錐中，是正三角形，是直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，.（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明，則可證面，從而證明線線垂直.（2）由面可知二面角為直二面角，作于，則 平面，連接，則 是 和平面所成的角，由此能求出 和平面所成的角的正弦值.【詳解】解：（1）證明：在和中，.為等腰直角三角形取的中點(diǎn)，連接，則，面，面，（2）面，二面角為直二面角，作于，則平面，連接，則為和平面所成的角.設(shè)，則的邊長(zhǎng)為4，

16、.中，中，為的中點(diǎn)，在中，故與平面所成角的正弦值【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直的證明，考查了線面角的正弦值求法.證明線線垂直時(shí)，可利用勾股定理、等腰三角形三線合一或者線面角的性質(zhì).求二面角時(shí)，有兩種思路，一是直接找到二面角，在三角形內(nèi)進(jìn)行求解；二是建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量進(jìn)行求解.20.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）結(jié)合基本量法，將已知用首項(xiàng)和公差表示出來(lái)，即可求出通項(xiàng)公式；由推出，兩式相減進(jìn)行整理可求出的通項(xiàng)公式.（2）求出，分別討論 為奇數(shù)和偶數(shù)，結(jié)合數(shù)列的分組

17、求和，以及裂項(xiàng)法、放縮法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)可證明.【詳解】解：（1），兩式相減得，則（2）當(dāng)時(shí)，則形，當(dāng)時(shí)，成立.當(dāng)時(shí)，成立.綜上得：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)求和，考查了分組求和，考查了放縮法.本題易錯(cuò)點(diǎn)在于第二問(wèn)沒(méi)對(duì) 取奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論.21.已知點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，且直線交拋物線于另一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線軸于點(diǎn).（1）證明：；（2）記直線，與軸圍成的三角形面積為，的面積為，是否存在實(shí)數(shù)，使？若存在，求實(shí)數(shù)的值若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；【解析】【分析】（1）設(shè)，則可知直線的方程，由

18、在可知，求出在處的切線的方程可得，從而可求出直線的方程，繼而可得，由可證明平行.（2）設(shè)直線 相交于點(diǎn)，則 ,四邊形為平行四邊形，由此推導(dǎo)出存在使得.【詳解】解：（1）證明：設(shè)，則直線的方程為由在可知，又在處的切線的方程為，令可得即.直線的方程為，令可得即即（2）設(shè)和相交于點(diǎn)則，由（1）可知，四邊形為平行四邊形，即存在【點(diǎn)睛】本題考查了線線平行的證明，考查了直線方程，考查了直線與拋物線的關(guān)系.本題計(jì)算量較大，應(yīng)注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，避免出錯(cuò).在解析幾何中，若證明兩條直線平行，通常的思路是利用斜率相等或者兩條直線斜率都不存在.22.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底.（1）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且存在極小值.求實(shí)數(shù)的取值范圍；證明：.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)為，令導(dǎo)數(shù)為零，解方程，結(jié)合函數(shù)的定義域，可探究 隨 的變化情況，即可求出單調(diào)區(qū)間.（