(完整word版)數(shù)列知識點梳理

1、數(shù)列知識點梳理一、數(shù)列的相關(guān)概念（一）數(shù)列的概念1 數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作aa2 a3 an,簡記 an .按照數(shù)列的項數(shù)分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。按照任何一項的絕對值是否不超過某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無界數(shù)列。從函數(shù)角度考慮分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù) 遞增數(shù)列的判斷：比較 f（n +1）與f（n）的大?。ㄗ鞑罨蜃魃蹋ㄋ模?shù)列通項an與前n項和Sn的關(guān)系1 . Sn a1 a2 a3annai 2i 1anS1Sn Sn 12. 數(shù)列an的第n項an與項數(shù)n的關(guān)系若用一個公式 a.f（n）給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。3 .數(shù)列可以看做定義域為 N （或其子集）

2、的函數(shù)，當自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的 一列函數(shù)值，它的圖像是一群孤立的點。（二）數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有：列舉法、解析法（用通項公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）（三）數(shù)列的分類1.2.3.二、等差數(shù)列的相關(guān)知識點1.定義：an 1 an d （常數(shù)）(n N?)或 an an1d （常數(shù)）（nN?且n2)。當d>0時，遞增數(shù)列,d<0時，遞減數(shù)列,d=0時，常數(shù)數(shù)列。2.通項公式：ana1 (n 1)dam(n m)dpn3.ana1 an am是點列（n, an）所在直線的斜率.n項的和：Sn竝2na!(aiAn2 Bn是等差數(shù)列。n4.5、等差中項：若a、b、c等

3、差數(shù)列，則b為a與c的等差中項:2 b=a+c 等差數(shù)列的判定方法（n N*） （1）定義法：a n+1-an=d是常數(shù)（2）等差中項法：2an 1 an an 2通項法：an pn q （4） 前n項和法：SnAn2 Bn6.性質(zhì)：設(shè)an是等差數(shù)列，公差為 d,則(1) m+n=p+q則 am+an=ap+aq 特別地，當 m n 2p 時，則有 am an2ap an, an+m an+2m組成公差為 md的等差數(shù)列.S n, S 2n-Sn, S 3n-S2n組成公差為 fd的等差數(shù)列.p是非零常數(shù))、 若an、bn是等差數(shù)列，則kan、kan pbn ( k、ap nq( p,q N*

4、)均是等差數(shù)列,公差分別為:若等差數(shù)列an、bn的前n和分別為An、 Bn，a且蘭f(n),則Bnanbn(2n 1)anA2n 1(2n 1)bnB2n 1f (2 n1).如設(shè) an與bn是兩個等差數(shù)列，它們的前n項和s分別為Sn和Tn，若S3n4nanbnb7(6) Sn的最值：法1、可求二次函數(shù)Sn2anbn的最值;法2、求出an中的正、負分界項，即：當a10，d0 ,解不等式組an0?？傻肧n達到最大值時的n值.當a10, d 0,由anan0可得Sn達到最小值時的0n值.例：若an是等差數(shù)列，首項a10，a2003a2004a2003 a20040，則使前n項和Sn 0成立的最大正

5、整數(shù)n是(答：4006)7. a1,d,n,an,Sn知三求二,可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個基本量a1,d ；或利用數(shù)列性質(zhì),8、巧設(shè)元：三數(shù):a d, a, ad ,四數(shù)：a 3d, ad, ad,a 3d9、項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an有S偶S奇nd ,S奇anS禺a(chǎn)n 1S2nn(a1a2n )n(a2a2n 1 )n(anan1)(an,an 1為中間兩項)項數(shù)為奇數(shù)2n 1的等差數(shù)列an有S2n 1 (2n 1)an(an為中間項)，S奇S偶an， "Z-3禺.例、項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列an中，奇數(shù)項和為80,偶n 110、如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也

6、是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).注意：公共項僅是公共的項， 其項數(shù)不一定相同，即研究 an bm.a, b(a三、等比數(shù)列的相關(guān)知識點（類比等差數(shù)列）1、定義:q ( q 為常數(shù)，q 0 , a* 0,n N)或 an當C0且 q1;a-i0 且 0 q1時，遞增數(shù)列當C0且 0q 1;a-i0且 q1時，遞減數(shù)列當q0時，擺動數(shù)列當q1時，/常數(shù)數(shù)列2、通項公式：n 1(ana1q= ( a1，q0 ) ann mamq=n q(q 1)3、前n項和：Sna1 1 qn（要注意q的討論）Aqn A（ q 1）(q1)1 q4、等比中項：x、G、y成等比數(shù)列G2

7、xy，或G歷 只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個，如已知兩個正數(shù)b）的等差中項為 A,等比中項為B,則A與B的大小關(guān)系為5、等比數(shù)列的判定方法（n N*）（1）定義法：a n+i/a n=q是常數(shù)（2） 等比中項法：an ,an ?an 2 通項法：an cqn（Gq為非零常數(shù)）.（4） 前n項和法：SnAqn A(1 )若 m n p q，貝Va.ap- aq特別地，當m n 2p時，則有am.an ap2例：在等比數(shù)列a*中，a3 a8 124, a4a7512，公比q是整數(shù)，則a10=（答:6、性質(zhì):an是等比數(shù)列512);各項均為正數(shù)的等 比數(shù)列an中，若a5 a6 9 ,則log3

8、a1 log 3 a2 Llog 3 a10（答：10）。（2 ） an, an+m an+2m組成公比為的等比數(shù)列.（3） Sn, S2nSn, Ssn 翁（&0）仍為等比數(shù)列，公比為ql例、在等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和，若S30 13S10,S10 S30 140，則S?。的值為 (答：40)(4)若an是等比數(shù)列，則|an|、kan成等比數(shù)列；若務(wù)、5成等比數(shù)列，則anbn、成等比數(shù)列；公比分別為:7. a1,d, n,an ,Sn知三求二，可考慮統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為兩個基本量a1,d ；或利用數(shù)列性質(zhì)8、巧設(shè)元：三數(shù)：a/d,a,a d , 四數(shù)：a/3d,a/d,a. d,a 3

9、d9、非零常數(shù)列既是等比數(shù)列，又是等差數(shù)列故常數(shù)數(shù)列an是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的 條件例、設(shè)數(shù)列 an的前n項和為Sn ( n N ),關(guān)于數(shù)列 an有下列三個命題：若an an 1 (n N)，則an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若Sn an2 bn a、b R ，貝V a.是等差數(shù)列；若 Sn 11 n，貝U a.是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 10、 正數(shù)列 an成等比，則數(shù)列l(wèi)og aan(a 1)成等差數(shù)列；若數(shù)列an成等差，則數(shù)列 aan成等比數(shù)列；例、已知 a 0且a 1，設(shè)數(shù)列Xn滿足loga Xn 1 1 logaXn (n N*), 且人x?LX100100，

10、則X101X102LX200-(答：100a)11、 在等比數(shù)列an中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶 qS奇 ；項數(shù)為 奇數(shù)2n 1時，務(wù) a1 qS偶-12.會從函數(shù)角度理解和處理數(shù)列問題四、求通項1、等差、等比數(shù)列公式法；2 、形如a n+1-a n=f(n)形式，求法：累加法；3、形如an+1=an f(n),求法：累乘法；4、形如an+1=Aan+B (AB豐0),求法：構(gòu)造法例、已知 a1 1,an 3an 1 2，求 an ；已知印 1© 2a“ 1 2n 求 an5、形如 an 1 (k豐0)形式，求法：m=1時求倒數(shù)；另外可能周期數(shù)列或構(gòu)造法kan m例：已知 旦1,an

11、 乩 ，求an (答：an -)；已知數(shù)列滿足 a1 =1,3an 1 13n 2si ,（n 1）6、已知Sn,求an,求法：階差法即利用公式 a =注意a n定不要忘Sn Sn 1，（n 2）記對n取值的討論！最后，還應(yīng)檢驗當n=1的情況是否符合當n 2的關(guān)系式，從而決定能否將其合并。例、已知an的前n項和滿足lOg2(Sn1) n1, 求 an (答:3nnn12）；11數(shù)列an滿足一a12*2222an 2n5，求an （答:an14, nn 12 ,n12)7、已知 a1ga2gL gan f(n)求an，用作商法anf(1),( nf( n)f(n 1)，1)(n2）.例、數(shù)列an

12、 中,a11,對所有的n 2都有a1a?a3ann2，則a3as(61)16五、數(shù)列求和的常用方法:1、公式法：（等差、等比數(shù)列直接用公式）常用公式: 1+2+3 +n = n n 12 12 22 322 n n 1 2n 1 n13n3例、等比數(shù)列an的前n項和 Sn = 2"1,則 a；2a22a32an(答:31）；2、等差數(shù)列的絕對值的和（已知等差數(shù)列前 n項和為Sn） 當 a1>0,d<0 時，右 ak0,a k+1 <0,則:S=|a 1 |+|a 2|+|a k|+|a k+1|+ |a n|= 當 a1<0,d>0 時，若 akW 0,

13、a k+1>0,則：S=|a 1|+|a 2|+ |a k|+|a k+1 |+ |a n|=3、分組求和法：1111例、求數(shù)列 3 ,5 ,7,9, 的前n項和44、并項求和法81632例、Sn1 35、倒序相加法：57 L(1)n (2n1) (答: ( 1)n n )例、求證：C：3C：5CnL(2n1)C；(n 1)0已知f (x)-2x, 2，則f(1)f(2)1f(3) f(4)f(i)f(7)f(-)=1 x2346、裂項相消求和，常見類型 1n(nk)k(n代)2 (2n 1)(2n 1)的)n(n 1)( n 2)(n 1)(n 2)n)1例、求和： 1 4(3n2)

14、(3n 1)(答:在數(shù)列an中，an,且 Sn=9，則1(答:99)7、錯位相減法：適用于anbn其中an是等差數(shù)列,bn是各項不為0的等比數(shù)列。例、an為等比數(shù)列，Tn(n1)a2 L 2an 1 an，已知=1 ,T2 4,求數(shù)列11an的首項和公比；求數(shù)列Tn的通項公式(答：印1 ,q 2 ， 2n 1 n 2 )；8、通項轉(zhuǎn)換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再以上求和法求和。1112n例、求和：1- L-(答：)1 212 31 2 3 L nn 1六、等比數(shù)列的前 n項和公式的常見應(yīng)用題：生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題例如，第一年產(chǎn)量為 a，年增長率為r，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1 r .其中第n年產(chǎn)量為a(1 r)n 1，且過n年后總產(chǎn)量為：2a a(1 r) a(1 r) . a(1、n1 aa