2.1.4數(shù)乘向量

1、平面向量測試題（A卷）第I卷（選擇題，共30分） 10小題，每小題3分，共30分）（）一、選擇題（本大題共1. 下列命題中正確的是a.單位向量都相等B. 長度相等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C. 若a, b滿足|a|>| b|且a與b同向，貝U a>bD. 對于任意向量 a、b,必有| a+b| < | a|+| b|解析：向量既有大小又有方向；向量不能比較大小,或相反的非零向量叫平行向量（即共線向量）.答案：D2. 兩個非零向量的模相等是兩個向量相等的什么條件a.充分不必要C.充要解析：向量相等答案：bB.必要不充分D.既不充分也不必要=向量的模相等，但向量的模相等

2、3.在四邊形ABCDKAC=AB +AD，則()向量的模可以比較大??；方向相同矜向量相等.A.ABCDI 矩形c.abcdi正方形B.D.ABCD!菱形ABCD!平行四邊形解析：由AC = AB + AD可知AC就是以AB AD為鄰邊的平行四邊形的對角線，所以四邊形ABCD平行四邊形.答案：D4.已知 AB =a+5b, BC =-2 a+8b.cd =3( a-b)，則()A. A、C.BB D三點共線B.AC D三點共線D.AB、C三點共線C、D三點共線解析:AC = AB + BC =-a+13b,AD = AC +CD =2a+10b=2( a+5b)=2 AB , AD 與ab共線，

3、且共點A.a b、d三點共線.答案：a5. 當(dāng)|a|=| b|豐0且a、b不共線時，a+b與a-b的關(guān)系是（）a.平行B.C.相交但不垂直D.解析：當(dāng)a與b不共線時，線，由|a|=| b|工0可知該平行四邊形為菱形，答案：B6. 在口ABCD，錯誤的式子是（）垂直相等a+b與a-b分別是以a, b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角 a+b與a-b垂直.a. ad - ab =bdB.AD - AB = DBC. AB + BC = ACD.AD + AB = AC答案：B7.設(shè)a是非零向量，A.a與-入a的方向相反C.a與入2a的方向相同解析：(1)|入a|=|入| 方向相反.答案：C入是非零實數(shù)，

4、下列命題中是真命題的是()B.I-D.I-|a| ,(2)入 a| I a|入 a|=| 入 I a當(dāng)入0時，入a與a方向相同，當(dāng)入0時，入a與a8.已知正方形的邊長為 1, AB =a, BC =b, AC =c,則| a+b+c|等于()A.0B.3C.D.2解析:I a+b+c|=|2 c|=2| c|= 2J12 +12 =272.答案:9.已知OA=a, OB=b, OC =c, OD =d,且四邊形 ABCD平行四邊形，貝U ()A. a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C. a+ b- c- d= 0D. a- b- c+ d=0解析：如圖，OD =0B + BD =0B +

5、(BA+AD)=OB +BA + BC=OB +(OA-OB) +(OC -OB) =a+c- b=d答案：B10.已知D E、F分別是 ABD的邊BC CA AB的中點，F(xiàn)F 11且 BC =a, CA =b, AB =c,則下列各式： EF = c - b 2 21 ' 1 BE=a+b CF = a+2 2其中正確的等式的個數(shù)為A.1B.2C.3n-b AD+BE+CF=02)D.4解析：EF =ED +DF.1BE =BC +CE =a+b2 1 1CF =CE +EF = b- a2 2AD +BE + CF =(AC +CD) +(BC +CE)+(CB + BF)=(-b

6、- 1a)+( a+1 b)+(- a- - c)=- 1(a+b+c)=02 2 2 2答案：C第n卷（非選擇題，共70分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）11.設(shè)a表示“向東走 4 km” , b表示“向北走 3 km” ,則 a+b表示.解析：如圖，|a+b|= J|a|2 +|b |2 = J42 +32 =5 km.3答案：向東偏北 arcsin 方向走5 km.512. a與b方向相反，且| a|>| b|,貝U a+b的方向與 a方向;此時I a+bI a|-| b|.解析：如圖，作OA =a, AB=b,則OB =a+b，由圖可知a+b 與 a 方向相

7、同，且 I a+b|=| a|-| b|. 答案：相同 =a, b表示AB為13.已知ABCDE為正六邊形，且 AC =a, AD =b,則用解析：如圖， AB = AC - BC =a-丄 AD =a- - b.2 2C1答案：a- b214. e1, e2不共線，當(dāng) k=時，a=ke1+e2, b=e1+ke2 共線.解析：設(shè) a= b,則有ke1+e2 =入e1+k入e2有(Vk - k=± 1Ik2 =1答案：± 1三、解答題（本大題共5小題，共54分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（本小題滿分8分）化簡：(AB -CD) =(AC -BD).解法一：

8、（統(tǒng)一成加法）(AB -CD) -(AC -BD) = AB CD -AC + BD = AB+ DC +CA+ BD=AB +BD +DC + CA =0.解法二：（利用OA-OB=BA）(AB -CD) - (AC - BD) = AB - CD - AC + BD = (AB - AC) - CD + BD=CB CD + BD = DB + BD= 0.解法三：（利用AB=OB-OA）設(shè)O是平面內(nèi)任一點，則(AB -CD) - (AC -BD) = AB -CD - AC +BD= (OB -OA) (OD -OC) -(OC -OA) + (OD - OB) =0.16.（本小題滿分

9、10分）已知ABCD是等腰梯形，E、F分別是兩腰BC AD的中點，MN是線段EF上的兩個點，且EMtMNNF,下底長是上底長的2倍,若 AB =a, BC =b,求 AM .1- 1 F F1 r- 1 - 3 解法一： EF =(AB +CD)=(AB +丄 AB)=上 AB2224"3"3"2"1- FE = AB = a, FM = FE = a .4 432IIdI過C作CGI AD交AB于點G貝u AG = GB =丄AB 2AD =GC =GB + BC =a+b 21 AF = AD =211 Aa+ b 421b.2,1EF = (AB

10、+CD)=-(AB +-AB),222丄一 11.13+ FM =(-a+-b)+ a=-a+-42241 12 '233=一 AB = - a44"1 1FM =-FE =-a34AM =AF解法二：= 3AB, FE4- AM = AB + BE + EM =a+1 b- 1 a= a+1 b.244217.（本小題滿分12分）如圖，若G是 ABC的重心，求證： GA+GB+GC=O.證法一：如圖，以Ga、Gc為鄰邊作口AGCH連結(jié)GH易知GH過點E,且GE,則 GA +GC =萌=2G? = -Gb/ GA +GB +GC =0.證法二： GA =GE +EA =GE

11、+丄 CA2II1GB =GF +F B =G F + AB 2 1 GC =GD +DC =GD +BC 2 GA +GB +GC =(GE +GF + G5)+1(CA +AB +BC)=(GB+GA+GC) +03HH- (GA +GB +GC)=O 2:.GA +GB +GC =018.（本小題滿分12分）已知e1, e2是兩個不共線的向量， AB=e1+e2,CB =-入 e1-8 e2, CD =3&-3 a,若 A B、D三點在同一條直線上，求實數(shù)入的值.解法一： A、B D三點共線 AB與AD共線，.存在實數(shù)k,使AB =k AD又 AD = AB + BC +CD =

12、 ABCB +CD=(入 +4)8+602.有 e1+e2=k(入 +4)e1+6ke2.有嚴(yán)心6k = 1kJ6 "=2解法二： A、B D三點共線 AB與BD共線,存在實數(shù)m使AB=mBD又；BD = CD CB =（3+ 入）ei+5e2 （3+ 入）nei+5ne2=ei+e2.有（3 + A）m =1儷=1r1im =-5申：=219.（本小題滿分12分）某人在靜水中游泳， 速度為4j3公里/小時，他在水流速度為4公里/小時的河中游泳.（1）若他垂直游向河對岸，則他實際沿什么方向前進(jìn)？實際前進(jìn)的速度為多少？ 他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實際前進(jìn)的速度為多少?解：（1）如圖，設(shè)人游泳的速度為 OB，水流的速度為OA，以O(shè)A、OB為鄰邊作口 OAC,則此人的實際速度為 OA +OB = OC由勾股定理知I OC |=860。的夾角順著水流的方向前進(jìn)，