2.4平面向量的數(shù)量積(習(xí)題課)

1、2.4平面向量的數(shù)量積(習(xí)題課)、知識要點(diǎn):1.向量的夾角：已知兩個(gè)向量a和b，作 E，OB =b，貝y NAOB ( 0“ 蘭8 <180 )叫做 向量a與b的夾角。當(dāng)v - 90時(shí)，我們說a與b垂直，記作a _ b .2 向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量 a和b，它們的夾角為v，則數(shù)量| a| | b | cost叫做a與b的數(shù)量4 4 扌4 片 4積(或內(nèi)積，俗稱點(diǎn)乘)，記作a b，即a b =|a | |b| cosv .兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量 ；實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量 ；特別注意：(1) 0 a = 0而0 g = 0 ,后者是向量，前者是數(shù)！ 3 數(shù)量積的幾何意義:a

2、 b的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度|a |與b在a的方向上的投影|b | cos的乘積。4. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律1. 交換律：a b=b a2. ( a) !.(a b) -a ( b)3. (a b) c = a c b c .【注意】：(，號c式a* c) 彳彳(2) a b = 0= a = 0 or b 二 0不成立！a b 二b c= a 二 c不成立！5. 數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b都是非零向量，是a與b的夾角，貝U cos；|a|b| 當(dāng)a與b同向時(shí)，a b =|a |b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a b - -1 a|b |； 特別地：a斗ajaf或| a |a b|_|a|b| ；

3、 a_b：= ab=0 ；6. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示:設(shè) a =(Xi,yJ,b =(X2,y2)，則 axj % j,b=X2i y?j ,2彳呻呻斗叫2 a b =(為 iyij)(X2iy2 j) = XiX2ix°2ijj iy“2 j二X1X2y°2一T T從而得向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式：a b = x,x2 y1y2 .7. 長度、夾角、垂直的坐標(biāo)表示: 長度：a=(x, y)= |a|2=x2 y2= |a|= x2 y2 ； 兩點(diǎn)間的距離公式：若 A(xyj, B(x2, y2)，則 AB = J(x2xj2+(y2 - yj2 ； 夾角：cos” a b

4、=X1X2 yiy2；1 a 1 |b 1 Jx： +y：+ y；44 44 4 垂直的等價(jià)條件：T a_b：=ab = 0,即卩a_b：= x-ix2 y1y 0（注意與向量共線的坐標(biāo)表示的區(qū)別）、典例分析： 題型1.平面向量數(shù)量積的直接運(yùn)算【例 1】(1) (05上海高考)在口 ABC 中，若 NC =90", AC =|BC| =4,求 AB BC .(2)已知 a =4m-n ,c =2m -3n，其中m =2, n = 1, m丄 n ,-3a b -2b c 1 的值?！军c(diǎn)悟】（1）注意根據(jù)向量的方向來確定夾角的大小。（2）正確運(yùn)用運(yùn)算律。題型2.利用平面向量數(shù)量積解決長

5、度問題【例2】已知aa=1,b=J2, （1）若：Lb，求 a b。（2）若 a,b 的夾角為 60 ,a +b ； (3)若 a +b =2,求 a b?！军c(diǎn)悟】利用平面向量數(shù)量積解決長度問題的常用處理方法:2 a =a-a = a 或 ava a : a ±b22'a - 2a b b題型3.兩向量的夾角問題4 IT T I【例3】(1)設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A, B,C,D ,已知(DB DC -2DA) (AB-AC) =0,求L ABC的形狀；彳 T 4 4 M 4-I *, -I 4一(2) 向量a,b滿足(a b)(2a+b) =-4，且a=2, b=4,求a,

6、 b夾角的余弦值；I 44 H i 4444 44 4(3) 向量 a,b滿足(a - 3b) _ (7a -5b)， (a -4b) _ (7a -2b)，求 a,b夾角的余弦值?！军c(diǎn)悟】向量夾角cos 睥的計(jì)算中涉及了多種形式的向量運(yùn)算和數(shù)量運(yùn)算，計(jì)算中|a|b|不僅要防止計(jì)算錯(cuò)誤的發(fā)生，還要區(qū)分運(yùn)算的種類，從而保證運(yùn)算的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確無誤。OA OBOC =OC OA題型4.利用平面向量數(shù)量積解決垂直問題【例4】(1)點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足則點(diǎn)O是 ABC的三條邊的線的交點(diǎn)。(2)P是厶ABC所在平面上一點(diǎn),若PAP-PB- PC PA，則 P 是厶 ABC 的心。(3)

7、 ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H, 0H二m(OA OB OC)，則實(shí)數(shù)m =(4) 已知a =2,b =1, a與b的夾角為一，若向量2a+k b與a + b垂直，求實(shí)數(shù)k的值.3題型5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【例5】已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a =(1,2 ).(1 )若C = 2丿5，且ca，求c的坐標(biāo)；(2)若b二1,m I： m 0且a+2 b與a-2 b垂直，求a與b的夾角二.題型6.利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算解決垂直問題【例 6】(1)在 L ABC 中，A(2, -1),B(3,2), C(-3,-1), BC 邊上的高為 AD。求 AD 的坐標(biāo)。(2) OA =(2,5), BO =(3,1),0C =(6,3),在 OC 上是否存在一點(diǎn) M，使?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。題型7.平面向量的長度、距離和夾角公式的應(yīng)用【例7】已知四邊形 ABCD頂點(diǎn)分別為 A(2,1), B(5,4), C(2,7), D(_1,4),判別四邊形ABCD的形狀。題型8.平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例8】已知=3, a與b的夾角為寸,若向量a +九b與k a+b的夾角為悅角求實(shí)數(shù)的范圍。)，(1)證明：a_b；(2)若存在不同時(shí)為零的2 2實(shí)數(shù)k和