基本不等式新題培優(yōu)練

1、A. ,2B. 2刷好題融級(jí)基礎(chǔ)題組練若 a, b R，且 ab0,則下列不等式中，恒成立的是解析：選 D.因?yàn)?a2+ b2- 2ab= (a b)2 0,所以明顯錯(cuò)誤.21lg x2+ 4 lg x(x0)1sin x+ snx2(XMkn,kZ)x2+ 1 2|x|(x R)D.1(x R)1解析：選 C.對(duì)于選項(xiàng) A，當(dāng) x0 時(shí)，x2+ - x=4C, x2+ 1 =xi2+ 1 2|x|, 一定成立;對(duì)于 D，因?yàn)閍b0,所以予2b.a= 2. ab2.F 列不等式一定成立的是()對(duì)于選項(xiàng)B ,當(dāng) sin x 1,1w1故選 C.3.已知f(x) =x22x+ 11，則 f(x)在

2、$ 3 上的最小值為A.4B. 4x2 2x+ 11解析：選 D.f(x)=-=x+ - 2 2 2= 0，當(dāng)且僅當(dāng)xx= x 即x=1時(shí)取等號(hào).又1 11 2, 3，所以 f(x)在，3 上的最小值是 0.4.若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足1+b=ab，則ab的最小值為()C.a2+ b22aba+ b 2 aba b-JabD.A 錯(cuò)誤.對(duì)于 B, C,當(dāng) a0, b 0,所以 lg x2+- lg x;對(duì)于選項(xiàng)C . 2 2D . 412解析：選 C.因?yàn)橐灰?+2= ab,所以 a 0, b 0,a bv所以 ab 的最小值為 2 2.115 .已知 x0, y0, lg 2x+ Ig 8y= Ig

3、 2，則-+ -的最小值是()x 3yA . 2B. 2 _2C . 4D . 2 .3解析：選 C.因?yàn)?lg 2x+ lg 8y= lg 2 ,所以 lg(2x 8y) = lg 2 ,所以 2x+3y= 2,所以 x+ 3y= 1.因?yàn)?x0 , y0,所以丄+ 丁 = (x+ 3y) -+ + = 2 +迥+右2+ 2“回占=4,當(dāng)且僅當(dāng) x= 3y= 時(shí)取等x 3yx 3yx 3y討 x 3y2號(hào).所以 x+護(hù)最小值為4.故選 C.16 .若正實(shí)數(shù) x, y 滿(mǎn)足 x+ y= 2，且齊M 恒成立，則 M 的最大值為解析：因?yàn)檎龑?shí)數(shù) x, y 滿(mǎn)足 x+ y= 2,所以丄 1;xy1又

4、一一 M 恒成立，xy所以 M 0, b0, a+ 2b= 3,則；+ 的最小值為 _解析：由 a+ 2b= 3 得 3a+ 3b= 1,3321 1 2 2,1所以 2+1= 1a+2b2+b=4+ a +並4+2宀覽=833b 3a 3 3b 3a 3.所以 xyw(x+ y)24由 ab=所以 ab 2 2（當(dāng)且僅當(dāng) b = 2a 時(shí)取等號(hào)）,3當(dāng)且僅當(dāng) a= 2b=號(hào)號(hào)時(shí)取等號(hào).答案：8&已知正數(shù) x, y 滿(mǎn)足 x+22xy入(x+ y)恒成立，則實(shí)數(shù) 入的最小值為 _等號(hào))，即X+22xy的最大值為 2又入X+2.2xy恒成立，因此有 入2，即入的最小值為 2. x+y x

5、+y答案：23o9.(1)當(dāng) x3時(shí)，求函數(shù) y= x+ -的最大值；(2)設(shè) 0 x0,即 x= $時(shí)取等號(hào).35于是 yw 4+3= 2,故函數(shù)的最大值為一5因?yàn)?0 x0,所以 y= x (4 2x)= 2 x (2 x)w2 x+ ；-x= 2，當(dāng)且僅當(dāng) x= 2 x, 即 x= 1 時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng) x = 1 時(shí)，函數(shù) y = .x (4 2x)的最大值為.2.10.已知 x0, y0，且 2x+ 8y xy= 0,求(1)xy 的最小值；(2)x+ y 的最小值.解：(1)由 2x+ 8y xy= 0,解析：依題意得2y 時(shí)取得 X+2= 1,x y又 x0, y0.則 1 =8

6、+22A/82=-x y x y pxy得xy 64,當(dāng)且僅當(dāng) x= 16, y = 4 時(shí)，等號(hào)成立. 所以 xy 的最小值為 64.8 2由 2x+ 8y- xy= 0,得】+ y= 1，小8 2則 x+ y=+ - - (x+ y)x y=10 + 空 +8y 10+ 2 - ：空戲=18.y x y x當(dāng)且僅當(dāng) x= 12, y= 6 時(shí)等號(hào)成立， 所以 x+ y 的最小值為 18.綜合題組練1-（應(yīng)用型）已知ao,b0，若不等式 a+1爲(wèi)恒成立，則m的最大值為（）A . 9C. 18解析：選 B.由3+1a+m3b，得m29+6=12,即 a= 3b 時(shí)等號(hào)成立,所以 mW12,所以

7、 m 的最大值為 12.142.（應(yīng)用型）若正數(shù) a, b 滿(mǎn)足 a + b= 2,則 a+1 + 齊勺最小值是（B. 12D . 24當(dāng)且僅當(dāng)乎=bD . 16解析：14選 B. +49C. 93.(創(chuàng)新型)規(guī)定：“？”表示一種運(yùn)算，即 a?b= ,ab+ a + b(a, b 為正實(shí)數(shù)).若 1?k = 3,k?x則 k 的值為_(kāi) ，此時(shí)函數(shù) f(x)= 丁的最小值為 _.寸 x解析：由題意得 1?k= jk+ 1 + k= 3，即 k+ k 2 = 0，解得 k= 1 或寸 k= 2(舍去)，所 以 k= 1,故 k 的值為 1,口 1?x x/x + x+ 1r-1又 f(x)= 1

8、+Jx+ 1 + 2= 3,Vx寸 X7x當(dāng)且僅當(dāng) x=：,即 x = 1 時(shí)取等號(hào)，故函數(shù) f(x)的最小值為 3.答案：134.已知 x0, y0,且 2x+ 5y= 20.求：(1)u= lg x+ Ig y 的最大值；(2)1+1的最小值.x y解：因?yàn)?x0, y0,所以由基本不等式，得2x+ 5y 2,10 xy.因?yàn)?2x+ 5y= 20,所以 2 10 xy0, y0,=丄 7 + 5y+空丄 7+2. 5y2x = 7+2.10207十 x y 207十2: x y20當(dāng)且僅當(dāng)5y=空時(shí)，等號(hào)成立.x y2x+ 5y= 20,由 5y 2xx y10 10 - 20 x=3解

9、得20 -4J10y=3.所以 x+1 的最小值為 管.k萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m（m 0）萬(wàn)元滿(mǎn)足 x= 3 （k 為常數(shù)）.如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，那么該產(chǎn)m+ 1品的年銷(xiāo)量只能是 1 萬(wàn)件.已知 2019 年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為 8 萬(wàn)元，每生產(chǎn) 1 萬(wàn)件該產(chǎn) 品需要再投入 16 萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5 倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將2019年該產(chǎn)品的利潤(rùn) y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m 萬(wàn)元的函數(shù);（2）該廠家 2019 年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？解：（1）由題意知，當(dāng) m= 0 時(shí)，x= 1（萬(wàn)件），2所以 1 = 3 k? k= 2,所以 x= 3 （m0）,m+ 1每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5X吐迪（元）,x所以 2019 年的利潤(rùn) y= 1.5xX8+16x 8 16x mx16所以 yw 8+ 29 = 21,當(dāng)且僅當(dāng)= m+ 1? m= 3(萬(wàn)元)時(shí)，ymax= 21(萬(wàn)元).所以1+1=1+1x y x y2x+