二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題

1、2017中考數(shù)學(xué)全國試題匯編二次函數(shù)中三角形面積最大值綜合題28. (2017甘肅白銀)如圖，已知二次函數(shù) y ax2 bx 4的圖象與x軸交于點(diǎn)B 2,0，點(diǎn)C 8,0 ,與y軸交于點(diǎn)A .(1)求二次函數(shù)y ax2 bx 4的表達(dá)式；(2)連接AC, AB ,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B,C重合)，過點(diǎn)N作NM / /AC ,交AB于點(diǎn)M ,當(dāng) AMN面積最大時(shí)，求 N點(diǎn)的坐標(biāo); (3)連接OM ,在(2)的結(jié)論下，求OM與AC的數(shù)量關(guān)系.解：(1)將點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y ax2 bx 4,/曰 4a 2b64a 8b解得：a 1, b 3. 42該二次函數(shù)的表達(dá)式為y-x2 3

2、x 4 . 3分42(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n, 0) ( 2<n<8),貝U BN n 2, CN 8 n .- B (-2, 0) ,C (8, 0) .BC=10.點(diǎn) A (0, 4) , OA=4, v MN / AC,AM NCAB. OA=4,BCSv ABC-SV AMNBC=10,1-BC OA28 n1014 102當(dāng)n=3時(shí)，即N1(8 n)(n 2)(n 3)2 5 . 6 分55(3, 0)時(shí)，AAMN的面積最大.7分(3)當(dāng)N (3, 0)時(shí)，N為BC邊中點(diǎn).1 .M 為 AB 邊中點(diǎn)，OM 5 AB.8 分 AB 4OB_OA2 J4 16 2 娓,AC

3、VOCOA2 J64 16 445,1 . AB -AC, 9 分21. OM AC. 10 分 424 (2017海南).拋物線y ax2 bx 3經(jīng)過點(diǎn)A 1,0和點(diǎn)B 5,0 。(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)該拋物線與直線y 3x 3相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位5于x軸下方。直線PM /y軸，分別與x軸和直線CD交與點(diǎn)M、N。連結(jié)PC、PD ,如圖12-1,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由；連結(jié)PB ,過點(diǎn)C作CQ PM ,垂足為點(diǎn)Q ,如圖12-2。是否存在點(diǎn)P ,使得CNQ與PBM相似？若存在，求出滿足

4、條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。【分析】(1)由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(2)可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出M、N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線解析式 可求得G D的坐標(biāo)，過G D作PN的垂線，可用t表示出 PCD的面積，利用 二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；當(dāng)4CNQ與4PBM相似時(shí)有篙T或黑哥兩種情況，利用P點(diǎn)坐標(biāo)，可分Uy1 Din LU rm別表示出線段的長，可得到關(guān)于 P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo).【解答】解:(1)二.拋物線 y=ax2+bx+3 經(jīng)過點(diǎn) A (1, 0)和點(diǎn) B (5, 0)25a+5b+3=0.該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為 y=|&quo

5、t;x2 -卷x+3;(2)二點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方, .可設(shè) P (t, t2-畢t+3) (1<t<5), b 5直線PM/y軸，分別與x軸和直線GD交于點(diǎn)M、N,M (t, 0) , N (t,t+3),PN=1t+3- (t255言+3)聯(lián)立直線GD與拋物線解析式可得 .G (0, 3) , D (7,),分別過G、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F,如圖1, 則 GE=t DF=7- t,. SPGD=Skpgn+S)aPDN=yPNGEyPNDF=rPN- - (t ) 2+ = -(t )2 1029 40，7i qoq；當(dāng)1=不時(shí)，PUD的面積有最大值

6、，最大值為U導(dǎo)；存在./ GQN之 PMB=90 , 當(dāng)4GNQ與4PBM相似時(shí)，有帶號或甯號兩種情況， LU Dfl |LU rJrl . GQlPM,垂足為 Q, Q (t, 3),且 G (0, 3) , N (t, Bt+3),J33GQ=t NQ=t+3-3=t,.二''NQ"5，318. P (t, -t2 一木+3) , M (t, 0) , B (5, 0), 183 i g .BM=5t, PM=0一(二t2 一-t+3) =-7_t2+7_t - 3,當(dāng)魯器時(shí)，則PMBM,即一42喈t 3=1 (5-t),解得t=2或t=5 (舍, 一 9去)，此

7、時(shí)P (2,后)；當(dāng)器喘時(shí)，則BM=-PM，即5 14（-1ty x 14與其伴隨直線的父點(diǎn)坐標(biāo)為和；（2）如圖，頂點(diǎn)在第一象限的拋物線 y m x 124m與其伴隨直線相交于點(diǎn)A, B （點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)）與x軸交于點(diǎn)C, D.若 CAB 90,求m的值； 如果點(diǎn)P x,y是直線BC上方拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PBC的面積記為S,當(dāng)S取得最大值且時(shí)，求m的值. 【分析】（1）由拋物線的頂點(diǎn)式可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，由伴隨直線的定義可求得 伴隨直線的解析式，聯(lián)立伴隨直線和拋物線解析式可求得其交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可先用m表示出A、B、G D的坐標(biāo)，利用勾股定理可表示出 AC?、AB2 和BC?,在RtAABC中

8、由勾股定理可得到關(guān)于 m的方程，可求得m的值；由B、 C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，過P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q,則可用x表 示出PQ的長，進(jìn)一步表示出 PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得到 m的方 程，可求得m的值.+t-3）,解得t工或t=5 （舍 去），此時(shí)P （學(xué)，-工）；綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為（2,卷）或膏，-舟.【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、二次 函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識.在（1） 中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出 PCD的面積是解題 的關(guān)鍵，在（2）中利用相似三角形的性

9、質(zhì)確定出相應(yīng)線段的比是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大.224.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，規(guī)定：拋物線y a x hk的伴隨直線為2y a x h k.例如：拋物線y 2 x 13的伴隨直線為y 2 x 1 3,即y 2x 1.2（1）在上面規(guī)定下，拋物線y x 1 4的頂點(diǎn)為.伴隨直線為；拋物線【解答】解：，(1) = y= (x+1) 2-4,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, - 4),由伴隨直線的定義可得其伴隨直線為 y= (x+1) -4,即y=x-3,聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得1月：；產(chǎn)-4,解得或二：，其交點(diǎn)坐標(biāo)為(0, - 3)和(-1, - 4),故答案為：(-1,

10、 -4) ; y=x- 3; (0, -3) ; (-1, -4);(2);拋物線解析式為y=m (x-1) 2-4m,其伴隨直線為 y=m (x 1) 4m,即 y=mx- 5m,iszztti f v"I I J 4mV_7=2聯(lián)立拋物線與伴隨直線的解析式可得，k' ),解得 或.y=niK-5m1尸。皿 .A (1, - 4m) , B (2, - 3m),在 y=m (x- 1) 2 - 4m 中，令 y=0 可解得 x=- 1 或 x=3, .C( - 1, 0) , D (3, 0),AC2=4+16m2, AE2=1+m2, BC2=9+9m2, ./ CAB=

11、90,AG+AB2=BG,即4+16m2+1+m2=9+9m2,解得mM連(拋物線開口向下，舍去)或m=一 當(dāng)/ CAB=90時(shí)，m的值為一半;設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,V B (2, - 3m) , C ( T, 0)解得"k=-mLb=-m直線BC解析式為y=-rmx- m,過P作x軸的垂線交BC于點(diǎn)Q,如圖, 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,P (x, m (x- 1) 2 - 4m) , Q (x, - mx - m), .P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，i q . PQ=m (x-1) 2-4m+mx+m=m (x2-x- 2) =m (x-) 2-,13197 S PB(=

12、 (2- (-1) PQ啕(x-卻 2-1m, z上上乜 當(dāng)x耳時(shí)，zPBC的面積有最大值- 4m, ZX .S取得最大值 冬時(shí)，即-m棄，解得m=-2.484【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù) 的圖象的交點(diǎn)、勾股定理、方程思想等知識.在(1)中注意伴隨直線的定義的 理解，在(2)中分別求得A、B、C D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在(2)中用 x表示出4PBC的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度 適中.24 (2017湖北恩施).如圖，已知拋物線 y=ax2+c過點(diǎn)(-2, 2) , (4, 5), 過定點(diǎn)F (0, 2)的直線l: y=kx+

13、2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)， 過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C.(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷線段 BF與BC的數(shù)量關(guān)系(、二), 并證明你的判斷；(3) P為y軸上一點(diǎn)，以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，設(shè)點(diǎn) P (0, m), 求自然數(shù)m的值；(4)若k=1,在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn) Q,使得4QBF的面積最大？ 若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及 QBF的最大面積；若不存在，請說明理由.【考點(diǎn)】HF:二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；(2)設(shè)B (x, x2+1),而F (0, 2),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到 B盧=x2

14、+ (x2+1-2) 2=,再利用配方法可得到 BF=/+1,由于BC=x+1,所以BF=BC(3)如圖1,利用菱形的性質(zhì)得到 CB=CF=P尸力上CB=FB M可判斷 BCF為 等邊三角形，所以/ BCF=60,則/OCF=30,于是可計(jì)算出CF=4所以PF=CF=4 從而得到自然數(shù)m的值為6；(4)作QE/ y軸交AB于E,如圖2,先解方程組得B (1喀，3設(shè)Q (t,*t2+1),則 Et,t+2),貝U EQ=-yt2+t+1$qbf=SLeqf+$eq吟？(1+/1)?EQ/?(1+前)？)(-t2+t+1),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題. ，八、c二2 一 ft"【解答

15、】解：(1)把點(diǎn)(-2,2), (4, 5)代入y=ax2+c得-解得彳4 ,t16a+c=5ic=L所以拋物線解析式為y=-x2+1 ；(2) BF=BC理由如下：設(shè) B (x, yx2+1)，而 F (0, 2),BF=x2+ (-x2+1 - 2) 2=x2+ (=x2-1) 2= (/x2+1) 2,BF=-x2+1,v BC±x軸，BC=-x2+1,BF=BC(3)如圖1, m為自然數(shù)，則點(diǎn)P在F點(diǎn)上方， 以B、C F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形， . CB=CF=PF而 CB=FBBC=CF=B F .BCF為等邊三角形，丁. / BCF=60, ./ OCF=30,在 Rt

16、 OCF中，CF=2OF=4PF=CF=4 .P (0, 6),即自然數(shù)m的值為6；(4)作QE/ y軸交AB于E,如圖2,當(dāng)k=1時(shí)，一次函數(shù)解析式為y=x+2,解方程組產(chǎn)肝2x=l+y=Txk+l盧9粕1尸14遍，則 B (1+/5, 3+/5),設(shè) Q (t, -M2+1),則 E (t, t+2),. EQ=+2 1) =- -t2+t +1 ,4SL QBF=S EQF+& EQB=77? (1+/5) ?EQ=T? (1+/5) ) (-b2+t+1)= Ji-2) 2+/5+1,當(dāng)t=2時(shí)，&qbf有最大值，最大值為 ,+1,止匕時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).25 (2

17、017山東東營).如圖，直線y=-*gx+巧分別與x軸、y軸交于B、C兩3點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，/ ACB=90,拋物線y=ax2+bx+/l經(jīng)過A, B兩點(diǎn).(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn) M作MHLBC于點(diǎn)H,作MD / y軸交BC于點(diǎn)D,求 DMH周長的最大值.【分析】(1)由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，在RtABOC中由三角函數(shù)定義 可求得/ OCB=60,則在RtAAOC中可得/ ACO=30,利用三角函數(shù)的定義可求 得OA,則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(3)由平行線的性質(zhì)11

18、可知/ MDH=Z BCO=60°,在RtADMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長, 從而可表示出 DMH的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.【解答】解:擊 L, 一(1)二.直線 y=-*x+/l分別與x軸、y軸父于B、C兩點(diǎn), .B (3, 0) , C (0,后， .OB=3 OC=/1, .tan/ BCO/=/3, ./ BCO=60,./ACB=90, ./ACO=30,A ( 1, 0);(2) ;拋物線y=ax2+bx+/3經(jīng)過A, B兩點(diǎn), rf a-b+V3=Ci 303b+仔O'解行反，拋物線解

19、析式為y=- -x2+-x+f3；(3) .MD/y 軸,MHXBC, 丁. / MDH=/ BCO=60,則/ DMH=30 ,d dh=Ldm, mh=dm, 252 DMH 的周長=DM+DH+MH=DMXDM*DM=DM, 當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長有最大值， 點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)， 可設(shè) M （t,一陰2+4/），則 D （t,-與tg , S-?u*U .DM=-亨t2+tW3）,則 D （t,一序?。?DM=-等t2+t+/5-（-*t+行）=一爭2+同=_除（t-1） 2+p-,當(dāng)t=仔時(shí)，DM有最大值，最大值為2g,此時(shí)竽dm苧x平區(qū)手即 DMH周長的最大值為絲上.

20、Q【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角函數(shù)的定義、二次 函數(shù)的性質(zhì)、方程思想等知識.在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標(biāo)的交點(diǎn)的求法， 在（2）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（3）中找到DH、MH與DM的關(guān)系是解 題的關(guān)鍵.本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中.25 (2017山東聊城).如圖，已知拋物線 y=a/+2x+c與y軸交于點(diǎn)A (0, 6), 與x軸交于點(diǎn)B (6, 0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到拋物線的什么位置時(shí)，使得/ PAB=75,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐 標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB上方的拋物

21、線向終點(diǎn)B移動(dòng)，在移動(dòng)中，點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)以每秒1個(gè)單位長度的速度變動(dòng)，與此同時(shí)點(diǎn) M以每秒1個(gè)單位長度 的速度沿AO向終點(diǎn)。移動(dòng)，點(diǎn)P, M移動(dòng)到各自終點(diǎn)時(shí)停止，當(dāng)兩個(gè)移點(diǎn)移動(dòng) t秒時(shí)，求四邊形PAMB的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求t為何值時(shí)，S有最 大值，最大值是多少？【考點(diǎn)】HF:二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)由A、B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式，化為頂 點(diǎn)式可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過P作PCXy軸于點(diǎn)C,由條件可求得/ PAC=60,可設(shè)AC=m,在RtAPAC 中，可表示出PC的長，從而可用m表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得 m的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)用t可表示

22、出P、M的坐標(biāo)，過P作PEE±x軸于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,則可 表示出F的坐標(biāo)，從而可用t表示出PF的長，從而可表示出 PAB的面積，利 用S四邊形pamb=Sxpab+Saamb,可得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可 求得其最大值.【解答】解:36a+124c-0(1)根據(jù)題意，把A (0, 6) , B (6, 0)代入拋物線解析式可得解得拋物線的表達(dá)式為y= - -x2+2x+6,1v=一水2,C C 1+2x+6=一(x- 2) 2+8,.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 8);(2)如圖1,過P作PC!y軸于點(diǎn)C,v OA=OB=6丁. / OAB=45 ,當(dāng) / PAB=

23、75時(shí)，/ PAC=60,tan/PAC=,即總 AC AC設(shè) AC=m,則 PC=/3m, . P (V3m, 6+m),把P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式可得 6+m=-y (/lm) 2+2用m+6,解得m=0或m4 6七,經(jīng)檢驗(yàn)，P (0, 6)與點(diǎn)A重合，不合題意，舍去，所求的P點(diǎn)坐標(biāo)為(43號仃)；(3)當(dāng)兩個(gè)支點(diǎn)移動(dòng)t秒時(shí)，則P (t, -yt2+2t+6) , M (0, 6-t),如圖2,作PEE±x軸于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,則EF=EB=6t,F (t, 6-t),FP=rt2+2t+6- (6-t) =-77t2+3t,點(diǎn)A到PE的距離竽OE,點(diǎn)B到PE的距離等于BE.

24、& pab=|tFP?O+/ FP?BE=FP ?OE+BE)4fp?ob=x(-1t2+3t) X6=-t2+9t,且 SaAMB=yAM?OB=X t X 6=3t,(t-4) 2+24,33二 S=Sra邊形 PAMB=SPAB+SAMB= - -t2+12t=2 z當(dāng)t=4時(shí)，S有最大值，最大值為24.24. (2017山東濱州)如圖，直線v= kx+ b (k、b為常數(shù))分別與x軸、y軸 交于點(diǎn)A(-4, 0)、B(0, 3),拋物線y= x2+2x+1與y軸交于點(diǎn)C.(1)求直線y= kx+ b的解析式；(2)若點(diǎn)P(x, y)是拋物線y= x2+2x+1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)

25、P到直線AB的 距離為d,求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)E在拋物線y=-x2+2x+1的對稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng),求C日EF的最小值.A=kx+bOy=P(xx2+J2x+1思路分析：(1)將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+ b中，求出k、b的值；(2)作 出點(diǎn)P到直線AB的距離后，由于/ AHC= 90° ,考慮構(gòu)造“ K形”相似，得到 MAH、ZXOBA NHP三個(gè)三角形兩兩相似，三邊之比都是 3 ： 4 ： 5.由3 C、 ，2 c .、(m 3) ( x 2x 1).“ NH CN 空”可得-4 d ,整理可得d關(guān)于x的二345345次函

26、數(shù)，配方可求出d的最小值；設(shè) H(m, 3m + 3),則 M(4, 3m + 3), N(x, 3m+3), P(x, -x2+2x+1). 4'"'，4v PH±AB, ；/CHN+ /AHM=90° , v AMXMN, / MAH + / AHM= 90° . ./MAH=/CHN, . /AMH=/CNH= 90° , . . AMH HNP. MA/ y 軸，.MAHs/XOBA. . .OBAANHP.NH CN CH .345(3m 3) ( x2 2x 1). .x m 4d .345整理得：d 4x2 x 8

27、,所以當(dāng)x= 5,即P(j"). 558864(3)作點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)C'，過點(diǎn)C作CFL AB于F.過點(diǎn)F作JK/ x軸，分別過點(diǎn) A、C作AJ±JK于點(diǎn)J, CKJ_JK于點(diǎn)K.則C，(2 1)J(Bkk =E1 KC設(shè) F(m, m 3). CF± AB, /AFJ+ /C' FK= 90° , v CKL JK . . / C' + / C' FK=90 °= /AFJ . /J= /K= 900 , . .AFS AFCZ K. AJFK3m 3444,解得m2 m 3m 24=_8或4 （不符合題意）.25喝片)，C' (2 1),.FCJ 14 - 255.CEE-