互成角度的兩個(gè)平面鏡成像

1、頁眉內(nèi)容兩個(gè)互成角度的平面鏡成像規(guī)律的研究“、從教學(xué)中引出的問題及思考MiM 2題1:如圖1 ,兩平面鏡 M 1 M 2平行且兩鏡 面相對，兩鏡間一物點(diǎn)S到M 1距離3cm ,到M 2距離7cm ,求離S點(diǎn)最近的5個(gè)像的位置。題2:如圖2,兩平面鏡鏡面的夾角為此60兩鏡面間有一物點(diǎn) S, S一共可成幾個(gè)像？上述兩題，均可以通過作圖法分析得出答案。 但是，作圖難免有誤差，因此，作出像點(diǎn)的位置 就不很準(zhǔn)確，甚至?xí)棺鲌D得到的成像個(gè)數(shù)與實(shí) 際不符，其次，兩鏡面所成夾角的大小有無數(shù)種 情況，不可能對每一角度都作圖分析，特別是當(dāng) 兩鏡面夾角很小時(shí)，所成像的個(gè)數(shù)很多，若采用 作圖法更加困難，且不準(zhǔn)確。如何

2、通過計(jì)算式確定每一像點(diǎn)的位置，每一像點(diǎn)的位置及成像的個(gè) 數(shù)與鏡面夾角有何關(guān)系呢？對此問題，我查閱課本、教參書及其他有關(guān)，國門巾-口) S (K, 2 e + a )5鞏小口） §國飛皆十口）資料，都找不到有關(guān)這一問題的論述。因此，我反復(fù)對這一問題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)和研究。二、對兩平面鏡組合成像規(guī)律的研究通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩 鏡面夾角8在 0°到180°間變化時(shí)，8越大, 像的個(gè)數(shù)越少。對此，我曾試圖應(yīng)用平面幾何有關(guān)邊角關(guān)系、利用平面解析幾何知識，建立平面直角坐標(biāo)系及兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn) 到直線距離公式、兩直線垂直關(guān)系求垂足坐標(biāo)等方法來研究本問題，結(jié)5 鳳一國口 U §

3、; -（2）果都因?yàn)橛?jì)算太繁雜，無法找出其規(guī)律，于是我改用平面解析幾何中的極坐標(biāo)知識來討論，比較簡便地得出其規(guī)律，下面介紹其推導(dǎo)過程設(shè)兩平面鏡 Mi、M 2鏡面夾角為9 （單位為度，本文所述角度均以度為單位，00 < 9 < 180° ）,兩鏡面間有一物點(diǎn)S,分別通過兩鏡面的直線相交于 0點(diǎn)，且使這兩直線及物點(diǎn)S也處于同一平面上，令OS=R, OS與M 1的鏡面夾角為a ,建立如下極坐標(biāo)系：以 O點(diǎn)為極點(diǎn), 以通過M 1的射線OM 1為極軸（如圖 3）,根據(jù)平面鏡成像的特點(diǎn)，則物 點(diǎn)S及各像點(diǎn) Si、S2、S3、S4、.的極坐標(biāo)標(biāo)示如圖（圖中用奇數(shù)下 標(biāo)表小的像點(diǎn) Si、

4、S3、S5、S7、 為通過平面鏡 M 1所成的像點(diǎn)，用偶數(shù)下標(biāo)表示的像點(diǎn)S2、s 4、s 6、S8、為通過平面鏡M2所成的像點(diǎn)）。1、各像點(diǎn)的位置由圖可以看到，物點(diǎn)S和各像點(diǎn)S1、S 2、S3、S 4、都在以O(shè)為圓心，半徑為R的圓 周上，各像點(diǎn)的位置可以用極坐標(biāo)的極徑和極角確定，各像點(diǎn)的極角如下表（表中n =3, 7, 11 , 15,等奇數(shù)）。且像點(diǎn)S n與S n-1的極角互為相反數(shù)。像點(diǎn)極角像點(diǎn)極角S 1一 aS 22 8 aS 3一（2 0 一 a）S 42 8 + aS 5(2 8 + a)S 64 0 一 aS 7一 (40 一 a)S 84 0 + aS 9(4 8 + a )S

5、106 8 aS n-1S nS n+1S n+22、成像的個(gè)數(shù)由圖 3 可以看到，/ S 10s 2= 28, /S 3OS4= 4 8 , / S 50 s 6 =6 8, /S 70s8=8 8, /S 90s 10=108,，其余類推。因 此可以得出：當(dāng)兩平 面鏡鏡面夾角 為8 ° （ 0°1800 ）時(shí)，物點(diǎn)S經(jīng)兩平面鏡所成的像的個(gè)數(shù)為m = 2 X 360 20即 m = 360 + 0對上式，有幾點(diǎn)必須說明：（1） .當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，成像個(gè)數(shù)為m,但最后兩個(gè)像重合于同一點(diǎn)，且在SO直線上，該點(diǎn)與 。點(diǎn)距離等于 OS,所以實(shí)際看到的像是（ m 1 ） 個(gè)。例如，當(dāng)

6、8= 60°時(shí)，成6個(gè)像，而實(shí)際看到的像是5個(gè)（如圖4）。圖4圖5（2） .當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，成像個(gè)數(shù)與實(shí)際看到的像的個(gè)數(shù)都為m。例如當(dāng)8 = 7 2 °時(shí)，m = 5 ,所成的像和實(shí)際看到的像都是5個(gè)（如圖5 ）。（3） .當(dāng)m為非整數(shù)時(shí)，成像個(gè)數(shù)與看到的像的個(gè)數(shù)一致，但可能是小于m的最大整數(shù)，也可能是大于m的最小整數(shù)（不能采用四舍五入的規(guī)則），這要根 據(jù)物點(diǎn)的位 置而定。例如，當(dāng)8 =50°時(shí)，m= 7.2,即成 像可能是7個(gè)也可能是8個(gè)，當(dāng)口= 25°時(shí)，成8個(gè)像（如圖6）,當(dāng)a=10°時(shí)，成7個(gè)像（如圖7）。（4） .當(dāng)8 = 0°

7、;時(shí)，R-oo,成像為無限多個(gè)。（5） .當(dāng)8= 180°時(shí)，m=2,即成像為2個(gè)，實(shí)際看到的像是1個(gè)， 相當(dāng)于單塊平面鏡成像的情況。（6）當(dāng)兩鏡面的夾角大于1800時(shí)，當(dāng)物點(diǎn)在兩鏡背面的夾角的對角范圍內(nèi)時(shí)則成兩個(gè)像（否則只是單個(gè)平面鏡成像），因?yàn)榇藭r(shí)從物點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)其中一平面鏡反射后不能再射到另一平面鏡上（如圖8）。圖8三、兩平面鏡組合成像規(guī)律在教學(xué)中的應(yīng)用得出上述規(guī)律之后，我為培優(yōu)小組的學(xué)生講解這個(gè)規(guī)律及推導(dǎo)過程，他們對這個(gè)規(guī)律表現(xiàn)出濃厚的興趣，并應(yīng)用這個(gè)規(guī)律來解決課外練習(xí)上 的同類問題。例如，學(xué)生在末掌握兩平面鏡組合成像的規(guī)律之前采用作 圖法討論兩鏡面成30°角時(shí)的成像個(gè)數(shù)，有的成 10個(gè)像，有的成 11個(gè)像，有的成12個(gè)像（最后兩個(gè)像不重合），到底應(yīng)成多少個(gè)像呢？學(xué)生覺得不可思議， 當(dāng)學(xué)生掌握這一成像規(guī)律后，就輕易地解決了這一問題。對此，學(xué)生的體會是：把作圖法和計(jì)算法結(jié)合起來，解答這類問題便更 加簡單、準(zhǔn)確。由此，我深深體會到，教師在教學(xué)中不但要幫助學(xué)生理解和掌握教 材中已經(jīng)得出的規(guī)律，而且要善于歸納和推導(dǎo)教材中沒有給出的規(guī)律，以指導(dǎo)和幫助學(xué)生解決有關(guān)的問題，這對培養(yǎng)學(xué)生