常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案_0

1、2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)1 / 22常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答 案篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案習(xí)題1-11.驗證下列函數(shù)是右側(cè)相應(yīng)微分方程的解或通解：（1）y?c2x1e?c2e?2x, y?4y?0.證明y?cx1e2?c?2x2e,則y?2c2x1e2x?2c2e?,y?4cx1e2?4cx2e?2,y?4y?0.y?sinxx,xy?y?cosx.證明：y?sinx2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)2 / 22,y?xcosx?s inxx則x2xy?y?xcosx?s in xx?s inxx?co

2、sx(3)y?x(?exxdx?c), xy?y?xex證明：Ty?x(?exxdx?c),x?c?xx, exex xy?y?x?x?c?x xx(?ex?x?c)?xex ?(x?2)(4)?4,?x?c1,y?O,cy則y?exex2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)3 / 221?x?c2,?(x?2)?4,c2?x?,證明:(1)當(dāng)?x?c1時2y=?(x?)14,y=?x?2其他情況類似.2.求下列初值問題的解：(1)y?x, y(O)?aO, y?(0)?a1, y?(0)?a2解：Ty?x,二y?12x2?c1,vy?(0)?a2，二c1?a2,.y?x

3、2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)4 / 2216x3?a2x?c2,vy?(0)?a1,c2?a1,(2),y?124x4?12a2x2?a1x?c,vy(O)?aO,滿足初值問題的解為：y?14124x?2a22x?a1x?a0. dydx?f(x), y(0)?0,(這里f(x)是一個已知的連續(xù)函數(shù))解：dydx?f(x),即dy?f(x)dx,.xx?dy?f(t)dt?c,x.y(x)?y(0)?f(t)dt?c,vy(0)?0,c?0 0.滿足初值問題的解為：y(x)?,y(n) )?02016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)5 / 2

4、2(3)dRdt?aR, R(0)?1,解：若R?0,貝 SvdRR?adt, 兩邊積分得：InR?at?cvR(0)?1 /. c?1滿足初值問題的解為：R?e?at(4)dydx?1?y2,y(xO)?yO，解：vdydx?1?y2,dy1?y2?dx，兩邊積分得：arctgy?x?c.vy(x0)?y0,c?arctgy0?x0.滿足初值問題的解為：y?tg(x?arctgyO?xO).(1)函數(shù)y?(x,c1,c2,cn)是微分方程F(x,y,y?,的通解，其中c1,c2,cn是獨立的任意常數(shù)，(2)存在一組常數(shù)(1,2,cn)?Rn和空間中的點0(0,0,0,y(n?1)0)(3)滿

5、足3.假設(shè)?0?(0,1,c n) ?0?(0,1,c n)?x?(n ?1)?( n?1)?0?xn ?1(0,1,cn)試證明：存在點0的某一鄰域U，使得對任意一點M0(x?,( n?1)0,y0,y0,y0),可確定一組數(shù)ci?ci(M0),i?1,2,2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)6 / 222016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)7 / 22,n，使得y?(x,c1(M0),c2(M0),cn (MO)是初值問題?y(x,y?(x,y(n ?1)(x1)O)?yOO)?yO,O)?y( n?O?F(x,y,y?,y(n ?1)?0的解

6、.證明：因為y?(x,c1,c2,cn)是微分方程F(x,y,y?,y( n)?0的通解，所以初值問題?y(x( n?1)O)?yO,y?(xO)?yO,y(x(n ?1)0)?y0 ?F(x,y,y?,y(n ?1)?0的解應(yīng)具有形式y(tǒng)?(x,c?1,c2,c?，其中(c?n)1,c2,c?n)應(yīng)滿足：?yO?(xO,c?1,c ?n)?y?(x,c?1?xO n2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)8 / 22),(*)?(n?1)?( n?1)?y0?xn?1(x0,c?1,c?n)如何確定(c?1,c?2,c?n)呢？由條件(2)及隱函數(shù)定理知，存在點0的某一鄰域

7、U,使得對任意一點M?1)0(x0,y0,y?0,y(n0)可確定一組數(shù)c?i?ci(M0),i?1,2,n，使得(*)成立.得證.4.求出：(1)曲線族y?cx?x2所滿足的微分方程；解：y?cx?x2,y?c?2x,xy?cx?2x2則有：xy?x2?y.2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)9 / 22(2)曲線族y?c1ex?cx2xe所滿足的微分方程；xx解：由y?c?y?c1e?cx2e?c1xe1ex?c2xex?y?cxxx,1e?2c2e?c1xe聯(lián)立消去c1,c2得：y?2y?y?0.(3)平面上以原點為中心的一切圓所滿足的微分方程；解：平面上以原點為

8、中心的圓的方程為x2?y2?r2(r?0)將視y為x的函數(shù)，對x求導(dǎo)得：2x?2yy?0平面上以原點為中心的一切圓所滿足的微分方程為x?yy?0.(4)平面上一切圓所滿足的微分方程.解：平面上圓的方程為：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),將y視為x的 函數(shù)，對x求導(dǎo)得：?2(x?a)?2(y?b)y?0?2?2?2(y?b)y?2?y?0聯(lián)立消去a,b得，?2(y?b)y?4y?01?(y?)2y?3y?(y?)2?0習(xí)題1-2作出如下方程的線素場：2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)10 / 22(1)y?xyxy(2)y?(y?l)2(3)y?x2?y22

9、.利用線素場研究下列微分方程的積分曲線族：(1)y?1?xy篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和練習(xí)第2章習(xí)題 第二章答案習(xí)題2-1判斷下列方程是否為恰當(dāng)方程，并且對恰當(dāng)方程求解：1.(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0解：P(x,y)?3x2?1,Q(x,y)?2x?1,則？P?y?O, ?Q?x?2所以？P?Q?y?x即 原方程不是恰當(dāng)方程.2.(x?2y)dx?(2x?y)dy?0解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,則?P?y?2,?Q?x?2,所以？P?Q?y?xOccAcdc旳堀Fsos況X乙o/nsos乙乙叱d乙砸nuis6（ntl）Otnsoo

10、（|/6乙）乙（M）d:搦Oupnqs憶乙npnsoo （比乙） -g基R樂瓠華土基R團dl xccAcOcdcYal0cqg 乙xq乩心0加乙tAocxqc（Atx）OtAqcxe6（Atx）d:搦（0乙q）0P（乙xq）乙xp（Aq乙xe） - p Qc乙xq比:乙乙xe gppxq乙xpAq乙xpxe砸 屋R樂馴華屋R團dl ” x&心OcdcYag 乙X乙乙tAocxqc（Atx）OtAqcxe6（Atx）d:搦*（W 吐q乜）0P（人xq）乙xp（Aq乙xe） - Zc乙乙乙X:割9逖率團2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)12 / 22（人px況xp

11、）乙xpx砸 屋R樂馴華屋R團di ”?x，即原方程為恰當(dāng)方程則(t2cosudu?2ts in udt)?cosudu?0,兩邊積分得：(t2?1)sinu?C.6.(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0解：P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy,則?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y,所以?P?y?Q?x，即原方程為恰當(dāng)方程貝卩2exdx?(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0,兩邊積分得：(2?y)ex?xy2?C.7.(yx?x2)dx?(lnx?2y)dy?0解：P(x,y)?yx?x2Q(x,y)?l nx?2y,則2016 全新

12、精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)13 / 22?P1?Q?y?x,?x?1x,所以？P?Q?y?x，即原方程為恰當(dāng)方程則(yxdx?l nxdy)?x2dx?2ydy?0兩邊積分得：x33?ylnx?y2?C.8.(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c為常數(shù))解：P(x,y)?ax2?by2,Q(x,y)?cxy,則?P?Q?y?2by,?x?cy,所以 當(dāng)？P?Q?y?x，即方程為恰當(dāng)方程則ax2dx?(by2dx?cxydy)?0兩邊積分得：ax3?bxy23?C.而當(dāng)2b?c時原方程不是恰當(dāng)方程.9.2s?1s?t?s2dst2016 全新精品資料-全新公文范文

13、-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)14 / 222dt?0解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2,Q(t,st2,則?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2,所以?y?x,方程，s?s2兩邊積分得：t?C. 2b?c時，原即原方程為恰當(dāng)10.xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0,其中f是連續(xù)的可微函 數(shù).解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),則?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?,所以?P?y?Q?x,即原方程為恰當(dāng)方程，兩邊積分得：?f(x2?y2)dx?C,即原方程的解為F(x2?y2)?C (其中F為f的原積分).習(xí)題2-2.1

14、.求解下列微分方程，并指出這些方程在平面上的有意義的區(qū)域：2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)15 / 22dyx2(1)dx?y解：原方程即為：ydy?x2dx兩邊積分得：3y2?2x3?C,y?0.dyx2(2)dx?y(1?x3)解：原方程即為：ydy?x21?x3dx兩邊積分得：3y2?2 In ?x3?C,y?0,x?1.(3)dydx?y2si nx?O解：當(dāng)y?0時原方程為：2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)16 / 22dyy2?sinxdx?0兩邊積分得：1?(c?cosx)y?0.又y=0也是方程的解，包含在通解中，則方程的

15、通解為1?(c?cosx)y?0.(4)dydx?1?x?y2?xy2;解：原方程即為：dy1?y2?(1?x)dx兩邊積分得：arctgy?x?x22?c, 即y?tg(x?x22?c).(5)dydx?(cosxcos2y)2解：當(dāng)cos2y?0時原方程即為：dy(cos2y)2?(cosx)2dx兩邊積分得：2tg2y?2x?2sin2x?c.cos2y=0,即y?2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)17 / 22k?2?4也是方程的解.(6)xdy232016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)仃/ 22dx?y2解：當(dāng)y?1時原方程即為：dyd

16、x?y2?x兩邊積分得：arcsiny?lnx?c.y?1也是方程的解. dyx?e?x(7) .dx?y?ey解.原方程即為：(y?ey)dy?(x?e?x)dxk?N)(22兩邊積分得：y2?ey?x2?e?x?c,原方程的解為：y2?x2?2(ey?e?x)?c.2.解下列微分方程的初值問題.(1)sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)?(3).2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)佃/ 22解：兩邊積分得：？cos2x2?si n3y3?c,即2si n3y?3cos2x?c因為y(?2)?3,所以c?3.所以原方程滿足初值問題的解為：2sin3y?3co

17、s2x?3. (2) .xdx?ye?xdy?0,y(0)?1；解：原方程即為：xexdx?ydy?0,兩邊積分得：(x?1)exdx?y22dy?c,因為y(0)?1,所以c?12,所以原方程滿足初值問題的解為：2(x?1)exdx?y2dy?1?0.dr2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)20 / 22d?r,r(0)?2;解：原方程即為：drr?d?,兩邊積分得：l?c, 因為r(0)?2,所以c?ln2,所以原方程滿足初值問題的解為：l?l n2即r?2e?.(4).dydx? In x1?y2,y(1)?0;解：原方程即為：(1?y2)dy? In xdx,兩

18、邊積分得：y?y33?x?xlnx?c,因為y(1)?0, 所以c?1,所以原方程滿足初值為：y?y33?x?xl nx?1篇三：第2章習(xí)題2第二章答案 常微分方程教程+第二版+丁同 仁+李承志+答案和練習(xí)p(x)ue?2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)21 / 22(1)y?1)3. v?1?2,2v?1In1?u?1?u ?x?c,?8y?c.?3 ,(2), x2z?ce. ?x2?1(v?u)?2.(1)y?cos(x?y)2x?v,y2?u,當(dāng)cosu?11兩邊積分得：ctg2解:令u?x?y當(dāng)cosu?1(2)(3uv?v)du?(u解：方程兩邊同時乘以22?u?1得?， 令v?2?m?z則m?zn令n n，?2x2?y2?3)3.(3u2v?uv2)du?即(3uvdu?u2322,u?y,v?xdy(3)(x?y?3)?dx22?m?n?p(x)ue?2016 全新精品資料-全新公文范文-全程指導(dǎo)寫作-獨家原創(chuàng)22 / 22?udx+udx?q(x)e?udx即有：u2?u?p(x)u5.c?2x).45?.解：設(shè)此曲線為y?y