利用隔板法巧解排列組合問題(四個方面)

1、利用隔板法巧解排列組合問題（四個方面）隔板法就是在n 個元素間，插入b1 個板，把n 個元素分成b 組的方法。一、放球問題。例1、把 8個相同的球放入4 個不同的盒子，有多少種不同的放法？解析：取 3 塊相同隔板，連同8 個相同的小球排成一排，共11 個位置。由隔板法知，在113 個位置排上隔板，共有38 個相同的球放入4 個不同個位置中任取C11 種排法。所以，把3165 種不同方法。的盒子，有C11點評： 相同的球放入不同的盒子，每個盒子放球數(shù)不限，適合隔板法。隔板的塊數(shù)要比盒子數(shù)少1 。二、指標(biāo)分配問題。例 2 、 某校召開學(xué)生會議，要將10 個學(xué)生代表名額，分配到某年級的6 個班中，若

2、每班至少 1 個名額，有多少種不同分法？解析： 名額與名額是沒有差別的，而班級與班級是有差別的，把 10 相同的名額分配到6個不同的班級，適合隔板法。分兩步。第一步：6 個班每班先分配1個名額，只有1 種分法；第二步：將剩下的4 個名額分配給6 個班。取615 塊相同隔板，連同4 個相同名額排成一排，共9 個位置。由隔板法知，在9 個位置中任取5 個位置排上隔板，有C95 種排法。由分步計數(shù)原理知：10 個學(xué)生代表名額，分配到某年級的6 個班中，每班至少1 個名額，共有5C9126 種不同分法。點評：名額與名額是沒有差別的，而班級與班級是有差別的，所以適合隔板法。三、求 n 項展開式的項數(shù)。例

3、 3 、 求 x1 x210x5展開式中共有多少項？解析：用10 個相同的小球代表冪指數(shù)10 ,用 5 個標(biāo)有x1 、 x2 、 x5 的 5 個不同的盒子表示數(shù)x1 、 x2 、 x5 ，將10 個相同的小球放入5 個不同的盒子中，把標(biāo)有xii1，2， ，5 的每個盒子得到的小球數(shù)kii1，2， ，5， kiN，記作xi 的 ki 次方。這樣，將 10 個相同的小球放入5 個不同的盒子中的每一種放法，就對應(yīng)著展開式中的每一項。取 514 塊相同隔板，連同10 個相同的小球排成一排，共14 個位置。由隔板法知，在14利用隔板法巧解排列組合問題（共1頁）1410個位置中任取4 個位置排上隔板，有

4、x1 x2x5 的展開式中共有14 種排法。故C4C141001 項。四、求 n 元一次方程組的非負(fù)整數(shù)解。例4、求方程xxx7的正整數(shù)解的個數(shù)。125解析：用7 個相同的小球代表數(shù)7 ,用 5 個標(biāo)有x1 、 x2 、 x5 的 5 個不同的盒子表示均不能為0 的正整數(shù)未知數(shù)x1 、 x2 、 x5 。要得到方程x1x2x57 的正整數(shù)解的個數(shù)，分兩步。第一步：5 個盒子每個盒子先分配1個小球，只有1種分法；第二步：將剩下的2 個小球分配給5 個盒子。取514 塊相同隔板，連同2 個相同小球排成一排，共 6 個位置。由隔板法知，在6 個位置中任取4 個位置排上隔板，有4C6 種排法。由分步計數(shù) 原 理 知： 共 有 C64 種 放 法。 我 們 把標(biāo) 有 xii12， ，5 的 每 個 盒子 得 到 的小 球數(shù)k i i1，2， ，5， kiN，記作：xiki 。這樣，將7 個相同的小球放入5 個不同的盒子中的每一種放法，就對應(yīng)著方程x1x2x57 的每一組解k1， k 2， ， k5 。所以，方程 x1x2x57 的正整數(shù)解共有C6415 個。例 3 例 4