初中幾何輔助線——由角平線或中點想到的輔助線

1、初中幾何輔助線由角平分線或中點想到輔助線一、由角平線想到輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希 望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī) 律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以介紹。例 1 如圖 1，Z AOC= / BOC，如取 0E=0F,并連接 DE、DF,則有 OEDOFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。CE平分/ BCD，點E在AD上，求圖1-2例 2 如圖 1-2，AB/CD，BE 平分/ BCD， 證：BC=AB+CD o簡證：在此題中可在長線段 BC上截取BF=AB，再證

2、明CF=CD，從而達到證明 的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造 全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長 BE與CD的延長 線交于一點來證明。自已試一試。（二八 角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì) 來證明問題。例 3 如圖 2-1，已知 AB>AD, / BAC= / FAC,CD=BC。求證：/ ADC+ / B=180圖2-1分析：可由C向/ BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC與/ B之和為平角。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交，則截得一個等

3、腰 三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中 位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例 4 如圖 3-1，/ BAD= / DAC，AB>AC,CD 丄AD 于 D，H 是 BC 中點。求證：DH= 2 （AB-AC）分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造等腰三角 形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交， 從而 也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1

4、和圖4-2所示。CFB四由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點， 那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角 形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等 腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形£即如圖1, AD是 ABC的中線，則Saabd=Saacd=Saabc（因為 ABD與 ACD 是等底同高的）。例5如圖2，A ABC中，AD是中線，延長 AD至U E,使DE=AD，DF是A DCE 的中線。已知A ABC

5、的面積為2,求：A CDF的面積。1 1解：因為AD是A ABC的中線，所以Saacd=Saabc=X 2=1又因CD是A ACE 的中線，故 Sacde=SaacdfI，丄 11因 DF 是 A CDE的中線，所以 Sacdf= Sacdefj X 1=。J. A CDF的面積為-。（二八由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例6如圖3,在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、 CD的延長線分別交 EF的延長線G、H。求證：/ BGE= / CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF， ME是 A BCD的中位線，1/ 5 ME- - CD,/ MEF=

6、/ CHE， MF是A ABD的中位線，1/ ? MF- - AB ,/ MFE= / BGE, AB=CD，二 ME=MF， MEF= / MFE ,從而/ BGE=Z CHE0例7圖4,已知 ABC中，AB=5 , AC=3 ,連BC上的中線 AD=2 ,求BC的長。 解：延長 AD 至U E,使 DE=AD，貝U AE=2AD=Z2=4 。在 ACD和 EBD中， AD=ED，/ ADC= / EDB , CD=BD , ACD A EBD,二 AC=BE，從而 BE=AC=3 o在 A ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故/ E=90° , BD= &

7、quot;:'：二' =），故 BC=2BD=2 丿-。例9如圖5,已知A ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。 求證：A ABC是等腰三角形。證明：延長AD到E,使DE=AD。仿例3可證：A BED A CAD, 故 EB=AC，/ E=Z 2,又/仁/2, / 仁/ E, AB=EB，從而AB=AC，即A ABC是等腰三角形（四八 直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例10如圖6,已知梯形 ABCD中，AB/DC , AC丄BC,AD丄BD ,求證：AC=BD。 證明：取 AB的中點E,連結(jié)DE、CE,貝U DE、CE分別為Rt A ABD, Rt A ABC斜邊AB上的中線，故DE=CE二AB ,因此/ CDE= / DCE AB/