八年級(jí)同步第10講：二次三項(xiàng)式的因式分解及一元二次方程的應(yīng)用(一)-教師版(1)

1、3 / 15二次三項(xiàng)式的因式分解及一元二次方程的應(yīng)用內(nèi)容分析本節(jié)涉及的二次三項(xiàng)式的因式分解，是不能直接運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分 解，針對此類的二次三項(xiàng)式要借助一元二次方程的知識(shí)進(jìn)行解答.同時(shí)，通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，充分了解二次三項(xiàng)式與其相對應(yīng)的一元二次方程之間的聯(lián)系.其次， 會(huì)運(yùn)用方程思想解決實(shí)際問題，重點(diǎn)問題找到題目中的等量關(guān)系，其中列方程思 想是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容.知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：二次三項(xiàng)式因式分解知識(shí)精講1、二次三項(xiàng)式的因式分解(1)形如ax2 bx c a, b, c都不為零 的多項(xiàng)式稱為二次三項(xiàng)式；(2)如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是Xi和x2,那么二次三項(xiàng)式的分解

2、公式為： ax2 bx c a x xi x x2.例題解析【例1】若方程4y2 2y 1 0的兩個(gè)根是y1-5,V275,則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式 4y2 2y 1 44【解析】如果一元二次方程2ax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是Xi和X2 ,那么二次二項(xiàng)式22ax bx c 可分解為： ax bx c a x Xi x X2本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【例2】 將4x2 4x 1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式 【難度】因?yàn)榉匠?x24x 1 0的兩個(gè)根為:xi所以 4x2 4x 1 =4【總結(jié)】考查如果一元二次方程2ax bx c 0 (a0)的兩個(gè)根是X和x ,那么二

3、次三項(xiàng)式2ax bx c可分解為:2ax bx c a x x1 x x2【例3】 將3x2 5x 2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，正確的結(jié)果是().22A. (x 1)(x )B. (x 1)(x )33C. 3(x 1)(x 2)D. (3x 2)(x 1)3【難度】【答案】D2【解析】考查如果一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是 x1和x2，那么二次二項(xiàng)式的分解公式為：ax1 2 bxc a x x1 x x2 .【解析】如果一元二次方程2解公式為：ax bxc a x x1 x x2 .【總結(jié)】本題可以利用公式進(jìn)行分解，也可以根據(jù)選項(xiàng)，將每一個(gè)選項(xiàng)乘開之后進(jìn)行判定.【例4】若二

4、次三項(xiàng)式ax，x2bx c(a 0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解因式為1.21.223(x LX)(x L2),則一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 22【總結(jié)】本題主要考查二次三項(xiàng)式的因式分解與相對應(yīng)的一元二次方程的根的關(guān)系.【例5】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：23(1)x8;(2) x5x ;22(3)x3x28;(4) x11x30 .【難度】【答案】(1)x28x 2d2 x 2v2；(2)x22ax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是 x1和x2,那么二次二項(xiàng)式的分5x x x75x V5；22(3)x3x28x 7 x 4 ;(4)x11x 30x5 x 6【解析】(1) (

5、2)中不能夠用十字相乘法；(3) (4)可以用十字相乘法.【總結(jié)】本題主要考查利用適當(dāng)?shù)姆椒▽Χ囗?xiàng)式進(jìn)行因式分解.【例6】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x4 x2 6;(2) 3x4 4x2 1.【難度】【答案】(1 ) x4 x2 6 x2 2 x 73 x 召；4.233(2) 3x 4x 1 3 x 1 x 1 x x -.33【解析】將表達(dá)式中的 x2看成一個(gè)整體，則可以進(jìn)行十字相乘法或者求根公式法分解.【總結(jié)】本題主要考查在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底.【例7】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：22(1) x 4x 1 ;(2) x 4x 2.【難度】【答案】(1) x2 4x 1x 2

6、J3x2Q;(2) x2 4x 2 x2 而x276.【解析】如果一元二次方程ax2bx c 0 (a0)的兩個(gè)根是x1和x2,那么二次三項(xiàng)式22.ax bx c 可分解為：axbx c a xx1x x2 .【總結(jié)】本題主要考查利用元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【例8】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)2x2 3x 1;(3) 3x2 6x 1;【難度】【答案】(1) 2x2 3x 1 2 x(2) 4x2 2x 3 4 x 2(2) 4x 2x 3；(4) 6x2 瓜 3 .317317x ；4413113x ；442(3) 3x 6x 1 3 x(4) 6x23x 3 6【解析】如果二次

7、方程2.ax bx0 (a 0)的兩個(gè)根是xi和X2 ,那么二次三項(xiàng)式2 axbx c可分解為:2.ax bxa xx1x x2 .本題主要考查利用二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【例9】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1) 6x2 2x 1;【難度】2(2) 4x 4x 11 .9 / 15【解析】如果一元二次方程2ax bx c可分解為:2ax bx c a x x1 x x2【總結(jié)】本題主要考查利用元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【例10在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1) x2 2ax a2 ;(3) 4x2y2 xy 1；22(2) 3x 12xy 11y ；22(4) 2x 8xy 5y .

8、【答案】(1) x2 2ax a242a x a 42a ；【答案】(1) 6x2 2x1c 21 2 31 2. 3(2) 4x 4x 114 x x 22(2) 3xax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是 x1和x2 ,那么二次二項(xiàng)式 12xy 11y2 3 x(3) 4x2y2 xy1 4 xy1178xy，2(4) 2x 8xy25y 2 x4 .6 ky【解析】如果二次方程2.ax bx2ax bx c可分解為:2.ax bx【總結(jié)】本題主要考查利用隅年八c 0 (a 0)的兩個(gè)根是xi和x2 ,那么二次三項(xiàng)式c a x x1 x x2 .二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【例11

9、】二次三項(xiàng)式3x2 4x 2k,當(dāng)k取何值時(shí)，(1)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一個(gè)完全平方式，這個(gè)完全平方式是什么？【難度】22 22-2【目木】(1) k- ;(2)k-；(3)k- ,元全平方式為【總結(jié)】當(dāng)一個(gè)二次三項(xiàng)不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí)，則說明該二次三項(xiàng)式所對應(yīng)的一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，反之，則說明該二次三項(xiàng)式所對應(yīng)的一元二次方程有實(shí)數(shù)解.x-.3 333【解析】(1)要使二次三項(xiàng)式3x2 4x 2k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解，則方程3x2 4x 2k 0要有實(shí)數(shù)根，則需要滿足4 2此時(shí)，完全平方式為3 x -. 12 2k 0,解得：k 2；3(2)要使二次

10、三項(xiàng)式3x2 4x 2k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解，則方程3x2 4x 2k 0沒有實(shí)2數(shù)根，則需要滿足4 2 12 2k 0,解得：k ；3(3)要使二次三項(xiàng)式3x2 4x 2k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解成一個(gè)完全平方式，則方程22.23x 4x 2k 0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根， 則需要滿足412 2k 0 ,解得：k -.3一元二次方程應(yīng)用：利率問題知識(shí)精講1、列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審題，設(shè)元，列方程，解方程，檢驗(yàn)，寫答句.注：解得一元二次方程的解后，一定需檢驗(yàn)是否符合應(yīng)用題的題意，若不合題意則舍去.2、利率問題：利息=本金X年利率 利數(shù)X （1-利息稅）；本利和=本金+利息=本金+本金利率 刈數(shù)X

11、（ 1-利息稅）=本金X 1年利率測數(shù)X （ 1-利息稅）.例題解析【例12】某人想把10000元錢存入銀行，存兩年.一年定期年利率6%,兩年定期年利率為6.2%.方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存兩年再取出，問兩種方式哪種劃算？【難度】【答案】方式一劃算.【解析】方式一：兩年后可取出：100001 6% 2 11236 ；方式二：兩年后可取出：100001 6.2% 10062；11236>10062,，方式一劃算.【總結(jié)】本題主要考查利率的應(yīng)用，注意對兩種不同存款方式的區(qū)分.【例13】某人將1000元人民幣按一年期存入銀行，到期后將本金和利息再按一年期

12、存入銀行，兩年后本金和利息共獲1077.44元，則這種存款的年利率是多少？（注：所獲利息應(yīng)扣除5%的利息稅，J1.07744 1.038）.【難度】【答案】4%.【解析】設(shè)這種存款的年利率是x，由題意可列方程：10001 95% x 2 1077.44,2則 1 95% x1.07744,解：1 95% x1.038 （負(fù)值舍去），x 0.04 .答：這種存款白年利率是4%.【總結(jié)】注意要扣除利息稅，則第一年的表達(dá)式為10001 9%x ,而不是10001 x .【例14】王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期存入少兒銀行”，到期后將本利和全部取出，并將其中的500元捐給 希望工程”，剩

13、余的又全部按一年定期存入，這 時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%,這樣到期后，可得本利和共530元，求第一次存款時(shí)的年利率，只列式不計(jì)算.（不計(jì)利息稅）【難度】【答案】設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x ,則可列方程為：10001 x 500 1 90% x 530.【解析】注意年利率的變化.【例15】李立購買了 1500元的債券，定期1年，到期兌換后他用去了 435元，然后把其余的錢又購買了這種債券定期1年（利率不變），再到期后他兌換得到1308元，求這種債券的年利率.【難度】【答案】9%.【解析】設(shè)這種債券的年利率為x ,則可列方程為15001 x 435 1 x 1308,化簡可得

14、：500x2 855x 81 0，9 一一分解可得：5x 9 100x 9 0,解：x1 一（負(fù)值舍去），x2 0.09.5答：這種債券白年利率為 9%.【總結(jié)】本題中需要注意對題意得理解以及解方程的方法.隨堂檢測【習(xí)題1】元二次方程 x2px q 。的兩根為3,4,那么二次三項(xiàng)式 x2px q可分解為()A、(x 3)(x 4)【難度】【答案】C.B、(x 3)(x 4) C、(x 3)(x 4) D、(x 3)(x 4)2ax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是x1和x2,那么二次二項(xiàng)式2一八-rax bx c可分解為:2ax bx ca x xix x2【總結(jié)】本題主要考查利用元二次方程

15、進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【習(xí)題2】若二次三項(xiàng)式x2ax1可分解為(x2)(xb的值為(A、B、D、2又x2ax1可分解為(x 2)(xb)，【解析】如果一元二次方程19 / 1522b解得:3212本題一方面考查多項(xiàng)式的乘法，另一方面考查待定系數(shù)法的應(yīng)用.【習(xí)題3】關(guān)于x的一兀二次方程x2mx n0的兩根為a1,a2,則x2mxn可分解為()A、(x a1)(xa2)B、(x a1)(xa2)C、(xa1)(xa2)D、(xa1)(xa2)【難度】【答案】B【解析】關(guān)于x的一元二次方程x2 mx n 0的兩根為ai ,和，則關(guān)于x的一元二次方程 x2 mx n 0 的兩根為 a1，-a2.【

16、總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【習(xí)題4】已知方程2x2 5x k 0的兩個(gè)根是x i 3, x21，-,那么二次三項(xiàng)式222x 5x k分解因式得().11 一A、(x 3)(x -)B、 2(x 3)(x )C、 (x 3)(x 1)22D、(x 3)(2x 1)【難度】【答案】D【解析】方程2x2 5x.、.-i-ttD，方程 2x 5x k1k 0的兩個(gè)根是x 1 3, x2-,2，一 一 10的兩個(gè)根是x 1 3, x2 一.2【總結(jié)】本題主要考查利用元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【習(xí)題5】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式 2x2 8xy 5y2等于（）,464

17、6A、 2( x )(x ) 224.6 w 46 、C、2 x -y)(x - y) 22【難度】【答案】CB、(4646(x y)(x y)22D、(2x 4y T6y)(2x 4y 娓v)22【斛析】一方程2x 8xy 5y 0的解為:4. 64 . 6xy ， x2 y ，2222 2x 8xy 5y可分解為,462( x 2- y)(x【總結(jié)】如果一元二次方程2ax bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是x1和x2 ,那么二次三項(xiàng)式22.ax bx c 可分解為： ax bx c a x x x x2【習(xí)題6】二次三項(xiàng)式ax2 2x 3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，那么a的取值范圍是 【難度】

18、1【答案】a -且a 0. 3【解析】要使二次三項(xiàng)式ax,1 2(3) 2y 4y 1 ；(4) -x x 1 .2 2x 3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，則要使一元二次方程 ax2 2x 3 0有實(shí)數(shù)根，1 則22 12a 0且a 0,斛得：a 一且a 0 .3【總結(jié)】當(dāng)一個(gè)二次三項(xiàng)能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí)，則說明該二次三項(xiàng)式所對應(yīng)的一元次方程有實(shí)數(shù)解.【習(xí)題7】多項(xiàng)式x4 4x2 3在有理數(shù)范圍內(nèi)能分解因式得 ,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式得 .【難度】【答案】x 1 x 1 x2 3； x1x1xj3xV3.【解析】注意分解范圍.【習(xí)題8】當(dāng)m 時(shí)，二次三項(xiàng)式2x2 J2x m在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式

19、.【難度】，-1【答案】m 1.4【解析】要使二次三項(xiàng)式 2x2 72x m在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式，則要使一元二次方程 2x2 向m 0有實(shí)數(shù)根，一.21則 亞 8m 0，斛仔：m -.4【總結(jié)】當(dāng)一個(gè)二次三項(xiàng)能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式時(shí)，則說明該二次三項(xiàng)式所對應(yīng)的一元二次方程有實(shí)數(shù)解.【習(xí)題9】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：,、2_ 2_(1) x 7x 6 ;(2) 2x 9x 7 ;【難度】 ,2 c 7 3,77 3 7【答案】(1) x7x 6x 2-x 2；，一、-2(2) 2x 9x 7 2x 7 x 1 ；2222.2(3) 2y4y 12y 一丁y 丁;/、 1 211(4) xx1 x

20、1 J3 x1 J3 .22【解析】如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是x1和x2,那么二次三項(xiàng)式的分解公式為： ax2 bx c a x x1 x x2 .【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【習(xí)題10】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：22(1) 2x 8xy 5y ；2 2(3) a x 5ax 3;【難度】2_2【答案】(1) 2x 8xy 5y_ 22(2) 7x 23xy 6y2 2(3)a x 5ax 3 ax(4) x2 ( 2 4)x 4.2【解析】如果一元二次方程ax2 bx c公式為：ax2 bx c a x x1 x_ 2 _ 2(2

21、)7x 23xy 6y ；(4) x2 (五 4)x 4五.513513ax ；220 (a 0)的兩個(gè)根是x1和，那么二次三項(xiàng)式的分解頭2.本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解,注意方法的選擇，如(4)可以用十字相乘法進(jìn)行分解.課后作業(yè)【作業(yè)1】已知方程3x2 4x 1 0的兩個(gè)根為xi 2 "區(qū) 2 J7 ,則二次三項(xiàng)式333x2 4x 1分解因式的結(jié)果為 .【難度】2 .72 .73【解析】如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是xi和x2,那么二次三項(xiàng)式的分解公式為： ax2 bx c a x xi x x2 -【總結(jié)】本題主要考查利用一元二

22、次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【作業(yè)2】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式2x2 3x 6 .【難度】【解析】如果一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的兩個(gè)根是xi和x2,那么二次三項(xiàng)式的分解公式為：ax2 bx c a x xi x x2 .【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程進(jìn)行二次三項(xiàng)式的因式分解.【作業(yè)3】如果多項(xiàng)式x2 kx 5(k 5)是x的完全平方式，那么 k的值為【難度】【答案】10.【解析】如果多項(xiàng)式 x2 kx 5(k 5)是x的完全平方式，則一元二次方程x2 kx 5(k 5) 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，即k2 20 k 5 0,解得：k 10.【總結(jié)】本題主要考查對完成平方與多項(xiàng)式之間的關(guān)系的理解.【作業(yè)4】把(x2 1)2 (x2 1) 2分解因式的結(jié)果是(A、(x2 1)(x2 2)B、(x21)(x22)C、(x1)(x 1)(x22)D、(x2 1)(xJ2)(x揚(yáng)【難度】【答案】D【解析】注意將代數(shù)式中的x2 1看做一個(gè)整體進(jìn)行分解.【總結(jié)】本題注意在分解的時(shí)候要分解徹底，要在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解.【作業(yè)5】下列二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式的是(),222222A、6x x 15B、3y 7y 3 C、x 2xy 4y D、2x 4xy