1、.直線的參數(shù)方程及應(yīng)用目標(biāo)點(diǎn)擊：1掌握直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式，理解參數(shù)的幾何意義；2熟悉直線的參數(shù)方程與普通方程之間的互化；3利用直線的參數(shù)方程求線段的長，求距離、求軌跡、與中點(diǎn)有關(guān)等問題；基礎(chǔ)知識點(diǎn)擊 ：1、直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式的直線 l 的參數(shù)方程是(1)過點(diǎn) P ( x0 , y0 )，傾斜角為0xx0t cos（t 為參數(shù)） t 的幾何意義： t 表示有向線段P0 P 的數(shù)量， P( x , y )yy0t sinP0P=tP0P =t為直線上任意一點(diǎn) .(2)若 P、P 是直線上兩點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為 t 、 t2，12 P P =t t 1則 P P =t t11221
2、221t、t、t(3)若 P 、 P 、P 是直線上的點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為312312則 P1P2 中點(diǎn) P3 的參數(shù)為 t3t1 t2,P0P3=t1t 222<0(4)若 P 為 P P 的中點(diǎn)，則 t t 0， t · t01212122、直線參數(shù)方程的一般式b 的直線的參數(shù)方程是過點(diǎn) P0( x0 , y0 )，斜率為 kaxx0at（ t 為參數(shù)）yy0bt點(diǎn)擊直線參數(shù)方程：一、直線的參數(shù)方程問題 1：（直線由點(diǎn)和方向確定）求經(jīng)過點(diǎn) P ( x0 , y0 )，傾斜角為 的直線 l 的參數(shù)方程 .0y設(shè)點(diǎn) P(x , y)是直線 l 上任意一點(diǎn) （規(guī)定向上的，方向?yàn)?/p>
3、直線 L 的正方向） 過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線，過P0P0 作 x 軸的平行線，兩條直線相交于Q 點(diǎn) .01)當(dāng) P0 P 與直線 l 同方向或 P0 和 P 重合時(shí)，lP( x , y )QxP0P| P0P|則 P0Q P0PcosQ PP0Psin2)當(dāng)P0 P與直線 l 反方向時(shí)， P0 、 0 、Q P同時(shí)改變符號P P QP0P| P0P|P0QP0PcosQ P P0Psin 仍成立設(shè)P0 ，為參數(shù)，Ptt又 P0Q xx0 ，xx0 tcos0lP0yP( x , y )Qx'.Q P yy0y y0 =t sin即 xx0t cos是所求的直線 l 的參數(shù)方程yy
4、0t sinP0P t，t 為參數(shù)， t 的幾何意義是： 有向直線 l 上從已知點(diǎn) P0( x0 , y0 )到點(diǎn)P( x , y )的有向線段的數(shù)量，且 | P0P| |t|當(dāng) t>0 時(shí)，點(diǎn) P 在點(diǎn) P 的上方；0當(dāng) t 0 時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) P0 重合；當(dāng) t<0 時(shí)，點(diǎn) P 在點(diǎn) P0 的下方；xx0 t特別地，若直線 l 的傾斜角 0 時(shí)，直線 l 的參數(shù)方程為y0yy當(dāng) t>0 時(shí)，點(diǎn) P 在點(diǎn) P0 的右側(cè)；lP0P( x, y )當(dāng) t 0 時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) P0 重合；當(dāng) t<0 時(shí)，點(diǎn) P 在點(diǎn) P0 的左側(cè)；0x問題 2：直線 l 上的點(diǎn)與對應(yīng)的
5、 參數(shù) t 是不是一l對應(yīng)關(guān)系？y我們把直線 l 看作是實(shí)數(shù)軸，P0以直線 l 向上的方向?yàn)檎较颍远c(diǎn)0P為原點(diǎn)，以原坐標(biāo)系的單位長為單位長，Px這樣參數(shù) t 便和這條實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)P 建立了0一一對應(yīng)關(guān)系 .問題 3：P1、2 為直線l上兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、2，Pt則 P1P2？， P1P2=？P1P2P1P0 P0P2 t1 t2 t2 t1， P1P2=問題 4：若 P0為直線l上兩點(diǎn) 1、 2的中點(diǎn)， 1、2所對應(yīng)的、tPPPP參數(shù)分別為 t2，則 t 、t之間有何關(guān)系？112y根據(jù)直線 l 參數(shù)方程 t 的幾何意義，P1Pt1，P2Pt2， P0 為直線 l上兩點(diǎn) P 、P
6、 的中點(diǎn)， | P P| | P P|121 212P12，即t12PP Pt ,tt <0一般地，若 P1、 P2、P3 是直線 l 上的點(diǎn)，0所對應(yīng)的參數(shù)分別為 t1、t2、t3，P3 為 P1、 P2 的中點(diǎn)t2 t1lP2P0P1x則 t3 t1 t2（ P1P3 P2P3, 根據(jù)直線 l 參數(shù)方程 t 的幾何意義，2 P1P3= t3t 1, P2P3= t 3t 2, t3t1= (t 3t 2,) ）基礎(chǔ)知識點(diǎn)撥：1、參數(shù)方程與普通方程的互化'.例 1：化直線 l 1 的普通方程 x 3y 1 0 為參數(shù)方程，并說明參數(shù)的幾何意義,說明 t的幾何意義 .解：令 y=
7、0,得 x 1，直線 l1 過定點(diǎn) (1,0). k 1= 333設(shè)傾斜角為， tg= 3,= 5 , cos = 3 , sin= 13622l1 的參數(shù)方程為x 13 t（ t 為參數(shù)）2y1 t2t 是直線 l 1 上定點(diǎn) M 0（ 1， 0）到 t 對應(yīng)的點(diǎn) M( x , y )的有向線段 M 0 M 的數(shù)量.由 x13t(1)12y(2)t2(1)、(2)兩式平方相加 ,得 ( x1)2y 2t 2 t(x1) 2y2t是定點(diǎn) M 0 （1，0）到 t 對應(yīng)的點(diǎn) M( x , y )的有向線段 M0M 的長.點(diǎn)撥： 求直線的參數(shù)方程先確定定點(diǎn)，再求傾斜角, 注意參數(shù)的幾何意義 .例
8、2：化直線 l 2 的參數(shù)方程x3t（t 為參數(shù)）為普通方程，并求傾斜角，y13 t說明 t的幾何意義 .解：原方程組變形為x3t(1)(1) 代入 (2)消去參數(shù) t ，13 t(2)y得 y 13( x 3)(點(diǎn)斜式 )可見 k=3 , tg=3, 傾斜角=3普通方程為3x y3 310(1)、(2)兩式平方相加 ,得 ( x3) 2( y 1)24t 2 t=( x3) 2( y1) 22 t是定點(diǎn) M 0（3，1）到 t 對應(yīng)的點(diǎn) M( x , y )的有向線段 M 0 M 的長的一半 . 點(diǎn)撥： 注意在例 1、例 2 中，參數(shù) t 的幾何意義是不同的，直線 l 1 的參數(shù)方程為 x
9、13 t 即 x1 t cos5是直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式， (-3)2+(1 ) 2 =1, t 的幾何2622y1y5tt sin26意義是有向線段 M 0 M 的數(shù)量 . 直線 l 2 的參數(shù)方程為x3t 是非標(biāo)準(zhǔn)的形y 13 t式， 12 (3 ) 2=41，此時(shí) t 的幾何意義是有向線段 M 0 M的數(shù)量的一半 .你會區(qū)分直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式？'.例 3：已知直線 l 過點(diǎn) M（ ， ），傾斜角為，判斷方程x11 t （ t 為參數(shù)）01332y33 t2和方程x 1t （ t 為參數(shù)） 是否為直線 l 的參數(shù)方程？如果是直線 l 的參數(shù)方y(tǒng)33 t程，指出方程中的參數(shù)t是否具有
10、標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù) t 的幾何意義 .解：由于以上兩個(gè)參數(shù)方程消去參數(shù)后，均可以得到直線l 的的普通方程3x y33 0，所以，以上兩個(gè)方程都是直線l 的參數(shù)方程，其中x11t2y33 t2cos= 1 , sin=3 ，是標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù) t 是有向線段 M 0 M 的22數(shù)量 .，而方程x1 t是非標(biāo)準(zhǔn)形式 ，參數(shù) t 不具有上述的幾何意義 .y 33 t點(diǎn)撥：直線的參數(shù)方程不唯一，對于給定的參數(shù)方程能辨別其標(biāo)準(zhǔn)形式，會利用參數(shù) t 的幾何意義解決有關(guān)問題 .問題 5：直線的參數(shù)方程x1 t能否化為標(biāo)準(zhǔn)形式？y 33 t是可以的，只需作參數(shù)t 的代換 .(構(gòu)造勾股數(shù)，實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化 )x1ty33
11、tx11( 12( 3 ) 2 t)22令 t = 12( 3) 2 t1( 3)y33( 12( 3 )2 t )12( 3)2得到直線 l 參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式x11 t2t 的幾何意義是有向線段y33 t2M0M 的數(shù)量.2、直線非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)化M 0一般地，對于傾斜角為、過點(diǎn)( x0 , y0 )直線 l 參數(shù)方程的一般式為， .xx0at（ t 為參數(shù)），斜率為 ktgbyy0bta(1)當(dāng) a 2b 2 1 時(shí)，則 t 的幾何意義是有向線段 M 0 M 的數(shù)量 .(2)當(dāng) a 2b 2 1 時(shí)，則 t 不具有上述的幾何意義 .xx0atx x0a(a 2b2 t)b 2 t可化
12、為a 2b 2令 t = a2y y0 bty y0b( a 2b2 t)a 2b2'.xx0at則可得到 標(biāo)準(zhǔn)式a2b 2t 的幾何意義是有向線段 M 0 M 的數(shù)量 .yy 0btb 2a 2例 4：寫出經(jīng)過點(diǎn) M 0（ 2，3），傾斜角為 3 的直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，并且4求出直線 l 上與點(diǎn) M 0 相距為 2 的點(diǎn)的坐標(biāo) .x232解：直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為t cos即 x22t （ t 為參數(shù)）（ 1）4y33y32 tt sin42設(shè)直線 l 上與已知點(diǎn) M 0 相距為 2 的點(diǎn)為 M 點(diǎn)，且 M 點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為t,則| M 0M| |t| =2,t= ±
13、;2將 t的值代入 (1) 式當(dāng) t=2 時(shí)， M 點(diǎn)在 M 0 點(diǎn)的上方，其坐標(biāo)為（ 2 2 ， 3 2 ）；當(dāng) t=-2 時(shí)， M 點(diǎn)在 M 0 點(diǎn)的下方，其坐標(biāo)為（ 2 2 ，3 2 ） .點(diǎn)撥： 若使用直線的普通方程利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩，而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t 的幾何意義求 M點(diǎn)的坐標(biāo)較容易 .例 5：直線x3t sin 20 （t 為參數(shù)）的傾斜角.y4t cos 20y 4解法 1：消參數(shù) t, 的 x 3 ctg20 °=tg110 °解法 2：化為標(biāo)準(zhǔn)形式：x3( t)t cos110（ t 為參數(shù)）y4( t ) sin11
14、0此直線的傾斜角為110°基礎(chǔ)知識測試1：1、 求過點(diǎn) (6,7), 傾斜角的余弦值是3 的直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程 .22、 直線 l 的方程：x1t sin 25（ t 為參數(shù)），那么直線 l 的傾斜角 ()y2t cos25A 65°B 25°C155°D115°x11 t3、 直線5（ t 為參數(shù)）的斜率和傾斜角分別是()2y1t5A) 2 和 arctg( 2)B) 1 和 arctg( 1 )22'.C) 2 和 arctg2D) 1和 arctg 122xx0t cos（ t 為參數(shù)） 上的點(diǎn) A 、B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t
15、 ,t ，點(diǎn) P4、 已知直線yy0t sin12分線段 BA 所成的比為（ 1），則 P 所對應(yīng)的參數(shù)是.5、直線 l 的方程：x x0at（ t 為參數(shù)） A、 B 是直線 l 上的兩個(gè)點(diǎn)，分別對應(yīng)參數(shù)y y0 bt值 t1、 t2，那么 |AB| 等于 ( )A t 1 t 2 Ba 2b2t1t2D t 1 + t 2 t 1 t 2 Cb2a 2x1t2 3 0交于 P 點(diǎn)，求點(diǎn)6、 已知直線 l ：5(t 為參數(shù) ) 與直線 m： x yy3 tM(1, 5)到點(diǎn) P 的距離 .二、直線參數(shù)方程的應(yīng)用例 6：已知直線 l 過點(diǎn) P（2，0），斜率為 4 ，直線 ly和拋物線 y 2
16、3B2x 相交于 A 、B 兩點(diǎn)，設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 M, 求：Mx(1)P、M 兩點(diǎn)間的距離 |PM|；0P (2,0)(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)；A(3)線段 AB的長 |AB|解： (1)直線 l 過點(diǎn) P（2，0），斜率為 4 設(shè)直線的傾斜角為，tg =4,333cos= 3 , sin= 4 直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為x2t （t 為參數(shù)） *555y4 t5直線 l 和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y 22x 中，整理得8t2 15t50 0 15=152+4× 8× 50>0, 設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根為 t1、2由韋達(dá)定理得t1t21 2 25，由
17、M為線段AB的中點(diǎn)，t ,8, t t4根據(jù) t 的幾何意義，得 | PM| t1t2 15216中點(diǎn) M 所對應(yīng)的參數(shù)為 t M = 15 ,將此值代入直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程* ，16M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 x 23?1541即M （41，3）51616y4 ?1531645164'.(3)|AB| t 2t 1(t1t 2 ) 24t 1 t 2 5738點(diǎn)撥：利用直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t 的幾何意義， 在解決諸如直線 l上兩點(diǎn)間的距離、 直線 l 上某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問題時(shí)，比用直線 l 的普通方程來解決顯得比較靈活和簡捷 .例 7：已知直線 l 經(jīng)過點(diǎn) P（ 1,33
18、）, 傾斜角為，3(1)求直線 l 與直線 l ： yx 23的交點(diǎn) Q與 P點(diǎn)的距離 |PQ| ；(2)求直線 l 和圓 x2y 2 16 的兩個(gè)交點(diǎn) A ，B 與 P 點(diǎn)的距離之積 .解： (1)直線 l 經(jīng)過點(diǎn) P（1,33 ）, 傾斜角為,直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方13x1t cosx程為3，即1t（t 為參數(shù)）代入直線 l ：2y33 t sin3y3 33 t2y x2 3得 (11 t )( 333 t)2 30 整理，解得 t=4+2322t=4+23 即為直線 l 與直線 l的交點(diǎn) Q 所對應(yīng)的參數(shù)值，根據(jù)參數(shù) t 的幾何意義可知： | t| =|PQ|,| PQ|= 4+23
19、.x1t(2)把直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為1（ t 為參數(shù)）代入圓的方程23y33t2x 2y2 16，得 (11 t )2(3 33 t) 216 ,整理得： t2 8t+12=0，222 -4 ×12>0, 設(shè)此二次方程的兩個(gè)根為t1、t2則1 2=8t t =12根據(jù)參數(shù) t 的幾何意義， t1、 t2 分別為直線和圓 x 2y2 16 的兩個(gè)交點(diǎn)A, B 所對應(yīng)的參數(shù)值，則 | t1| =| PA|,| t2| =| PB|, 所以 | PA| ·| PB| =| t1 t2|=12點(diǎn)撥： 利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù) t 的幾何意義解決距離問題、距離的乘積（
20、或商）的問題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點(diǎn)坐標(biāo)再利用兩點(diǎn)間的距離公式簡便 .例 8：設(shè)拋物線過兩點(diǎn)A( 1,6)和 B( 1,2)，對稱軸與 x 軸平行，開口向右，直線 y=2 x +7 被拋物線截得的線段長是410 ，求拋物線方程 .解：由題意，得拋物線的對稱軸方程為y=2.設(shè)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a ，2）方程為 (y2) 2=2P(x a ) (P>0)點(diǎn) B(1, 2)在拋物線上， ( 2 2) 2=2P(1 a )a P= 8 P代入 得(y 2) 2=2Px 2P+16將直線方程 y=2 x +7 化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程tg=2,為銳角，'.12x11t
21、cos=, sin=得25（ t 為參數(shù)）55y5t5直線與拋物線相交于 A，B, 將代入并化簡得：4 t 2122P t 7 0，由=4(P6) 235>0, 可設(shè)方程的兩根為 t1、t2，55521(t1t2 )24t1t 24 10又 |AB|= t t5 (122P)2435=(410) 2化簡，得 (6 P)2=10044 P=16 或 P=-4( 舍去 ) 所求的拋物線方程為 (y 2) 2=32x 48點(diǎn)撥： (1)（對稱性） 由兩點(diǎn) A( 1,6) 和 B( 1, 2) 的對稱性及拋物線的對稱性質(zhì)，設(shè)出拋物線的方程（含 P 一個(gè)未知量，由弦長 AB的值求得 P）.(2)
22、利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程解決弦長問題 . 此題也可以運(yùn)用直線的普通方程與拋物線方程聯(lián)立后，求弦長。對于有些題使用直線的參數(shù)方程相對簡便些 .例 9：已知橢圓(x 1) 2y2，AB 是通過左焦點(diǎn) F1 的弦，2 為右焦點(diǎn)，1F4 3求| F2A| ·| F2B| 的最大值 .解：由橢圓方程知a 2，b=3 ,c=1,F1(0,0),F2(2,0),設(shè)過的弦所在直線的參數(shù)方程為xt cos （t 為參數(shù)）代入橢圓方程整理得yt sin（3sin2）t2 6 t cos 9=0 ，=36cos2 （ 2）>036 3sin此方程的解為 t1、t2，分別為 A 、 B 兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，由
23、韋達(dá)定理 t1 t2= 6 cost1 t293sin 23sin 2根據(jù)參數(shù) t 的幾何意義， t1、 t2 分別為過點(diǎn) F1 的直線和橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A, B 所對應(yīng)的參數(shù)值， |F A| | t| F B| | t|1112|AB|= t 2 t 1(t1t2 )24t1 t 212| F1A| · | F1B| | t1| · | t2|=|t1t2|3sin 24， | F B|+|F B|=2 4由橢圓的第一定義 |FA|FA|2aa| FA|·|F B|=(4-|1212F A|)(4-|FB|)=16-4|AB|+|FA|·|FB|2211
24、11=16-4 t 2t 1 +| t1t2|=16-412+9sin 2sin 23933=16-sin 23'.222有最大值25當(dāng) sin1時(shí)，| F A|·| F B|4點(diǎn)撥： 求過定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交的距離之積，利用直線的參數(shù)方程解1(0,0),F2(2,0),顯然 F1 坐標(biāo)簡單，因此選擇過 F1題，此題中兩定點(diǎn) FFB| 轉(zhuǎn)化為| FA|·|FB|.的直線的參數(shù)方程， 利用橢圓的定義將 | F A| ·|2211例 10：（黃岡習(xí)題冊： P155,第 23 題）（ 2）除書中解法外，補(bǔ)充解法二 .解法二：設(shè)過點(diǎn) P( a ,0) 的直線
25、l 的參數(shù)方程為xa t cos(t為參數(shù)yt sin(0,)，且 )(1)2直線 l 與圓 x2y 2 5 相交于 B,C 將直線 l 的方程 (1)代入圓的方程得 t2+2a t cos+ a 2 50，=( 2a cos) 2-4(a 25)>0.即 a 2 sin2+5>0(2)25t BtC=2 a costBtC=a直線 l 與拋物線 y2= x +7 相交于 A,D 將直線 l 的方程 (1)代入拋物線的方程得 (sin2 ) t2 t cos a 70，= cos2-4 (sin2)(-a 7)>0即 1+(4 a +27) sin2>0(3)costB
26、 tC=a7t AtD =sin 2sin 2又 |AB|=|CD|線段 AD與線段 BC的中點(diǎn)重合，即tAtD=tBtC cos = - 2a cos即 - 2a =1，sin 2sin 2(0,),且 0<sin2<1將 sin21代入 (2) 、(3)22aa100a 必須滿足2a270-10<a < 12a122a點(diǎn)撥： 此題利用直線參數(shù)方程形式比普通方程求 a 的范圍運(yùn)算量相對要小，注意使用直線上兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)的參數(shù) .xx0t cos方法總結(jié)： 利用直線 l 的參數(shù)方程y0（t 為參數(shù)），給研究直線與yt sin圓錐曲線 C：F( x, y )=0 的位置關(guān)系提供了簡便的方法 .一般地，把 l 的參數(shù)方程代入圓錐曲線C
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