向量的坐標及其運算

1、中職數(shù)學高考數(shù)學復習學案向量的坐標及其運算考點解析及例題講解1 .向量的直角坐標在直角坐標系內，我們分別:(1)取基向量：取與x軸和y軸的正方向相同的兩個單位向量 e1, e2作為基向量.(2)得到實數(shù)對：任作一個向量使得 a= a1 e1 + a2e2，我們把(aj,a,由平面向量基本定理,有且只有一對實數(shù)a1, a2,a2)叫做向量a的坐標，記作a = (a1, a2),其中a1叫做a在X軸上的坐標, 的基向量.a2叫做a在y軸上的坐標.e1, e2叫做直角坐標平面上式叫做向量的坐標表示探究:(1)如圖，e 1, e2是直角坐標平面上的基向量，你能寫出0, ei, e2的坐標嗎?eie 1

2、= (1,0), e2= (0, 1), 0 = (0, 0).向量的坐標與點的坐標之間有何關系?y).反之，點 A的坐標也是點A即點A的位置向量6A的坐標(X, y)，也就是點A的坐標;相對于坐標原點的位置向量 6A的坐標.例1如圖，用基向量e1, e2分別表示向量a, b, c, d,并求出它們的坐標.-r-i * 41 UiJ I I jl II hrlLFb-L_ hr bp-rbr-.i e23eixd2解由圖可知a= 3ei + 202= (3, 2 ),b= 2e 1+ 302= ( 2, 3),c= 2ei 3e2= ( 2，一 3),d= 2ei 3 02= (2, 3).2

3、.向量的直角坐標運算(1)如果 a = (ai, a2), b= (bi, b?)，則a+ b= (ai， 32) + (bi， b2)=(a1 + b1 , a2 + b2)；a b= (ai, a2) (bi, b2)=(ai bi, a2 b2)；?a = ?(ai, a2)=(掃1,掃2),其中入是實數(shù).證明a+ b = (ai, a2)+ (bi, b2)=(aiei + a2e2) + (biei + b2e2)=aiei + bie 1+ a2e2 + b2e2 =(ai + bi) ei + (a2 + b?) e2 =(a1 + b1 , a2 + b2).請同學仿照上面的證

4、明，自己證明其他兩個結論.上述向量的坐標運算公式，也可用語言分別表述為:兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差;數(shù)乘向量積的坐標等于數(shù)乘上向量相應坐標的積.例 2 已知 a= (2, 1), b= ( 3, 4),求 a+ b, a b, 3a+ 4b.解 a+ b= (2, 1) + ( 3, 4)=(1 , 5);a b= (2, 1) ( 3, 4) = (5, 3);3a + 4b= 3(2 , 1)+ 4( 3, 4)=(6, 3)+ ( 12, 16) =(6, 19).例3 已知A (X1, y1)，點B (x2, y2),求XB的坐標.解 Xb = OBSA=(

5、X2,沁一(X1, %)=(X2 X1, y2 y”.此結論可用語言表述為:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的相應坐標.練習一 1.已知a , b的坐標，求a + b , a b：b= ( 4, 8);b= (0, 4).(1) a = (4 , 3),(2) a = (3 , 0),2.已知A, B兩點的坐標，求 Xb , "ba的坐標:(1) A( 3, 4),(2) A( 3, 6),B(6 , 3);B( 8, 7).例4 已知A ( 2, 1)，點B (1, 3)，求線段AB中點M的坐標.中職數(shù)學高考數(shù)學復習學案解因為Rb =ob-oA=(1 , 3

6、)- (-2, 1) = (3, 2);所以OM = OA+ AM=Sa* ab=(2, i) + 2(3, 2) =(-i, 2).i 因此 M( 2 2).3.用向量的坐標表示向量平行的條件復習:(i)平行向量基本定理：如果向量bM0，貝y all b的充分必要條件是，存在唯一實數(shù)D 使 a = Ab;(2)數(shù)乘向量：已知 b= (bi, b2)，則?b= ( Di, Ab2).問題：在直角坐標系中，向量可以用坐標表示，那么，能否用向量的坐標表示兩個向量探究：設 a= (ai, a2).的平行呢?b= (bi, b2),如果b M 0,則條件a= ?b可用坐標表示為(ai, a2)= Xb

7、i, b2),I ai yb (a 扎 b2消去人得般地，對于任意向量aib2- a2bi= 0.a = (ai, a2), b= (bi, b2)，都有a/ b = aib2- a2bi= 0.例5判斷下列兩個向量是否平行:(i) a = (- i, 3), b= (5,- i5); e = (2, 0), f= (0, 3).解 (1)因為(-1)X (- 15) 3X 5 = 0,所以向量 a和向量 b平行;(2)因為2X 3 0 X 0= 6工0，所以向量 e和f不平行.例6已知點A(- 2,- 1)- B(0, 4)，向量a= (1 - y),并且壷/ a,求a的縱坐標y.解由已知條

8、件得AB= (0 , 4) - ( 2, 1) = (2 , 5), 因為AB/ a ,所以1X 5-2 X y= 0.解得已知點 A(- 2,- 3) - B(0, 1) - C(2- 5)，求證：A, B, C三點共線.證明由已知條件得AB= (0 , 1) - ( 2, 3) = (2 , 4),aC= (2, 5) - ( 2, - 3) = (4 , 8).A,所以A, B，C三因為2 X 8- 4X 4 = 0，所以 Xb/云C，又線段AB和AC有公共點點共線.綜合訓練1.已知 a =(10,5) , b=(4 , y),且 a/b -則y等于()(A) 8(B) 2(C) -8(

9、D) -22.已知 A (4,-3) , B (x,9),|AB|=13，則 x 等于(A) -1(B) 9(C) -1 或 91或-93.已知 a=(3,-1), b=(-1,2),則-3a-2b的坐標是()(B) (-7,-1)4.已知向量a=(T,2), b=(1,-2),貝U a+b和a -b的坐標分別為(C) (-2,4), (2,-4)(D) (1,-1), (-3,3)5.向量a =(3,4)的終點坐標為(1,2),它的起點坐標是6. 已知 a =(5 , y),且|a|=13,則 y =.7. 已知向量 a=(Y 3) , b=(3 , 6),則 2a-% =38. 若 A (1,2) , B (3,2),向量 AB= (x+3,0),貝J x=9. 已知點(1,0)是向量a的終點，向量b = (