奇偶性的概念

1、全國名校高一數(shù)學優(yōu)質(zhì)學案、專題匯編(附詳解)【學習目標】1.理解函數(shù)奇偶性的定義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會應用奇、偶函 數(shù)圖象的對稱性解決簡單問題.知識點一函數(shù)奇偶性的幾何特征思考 下列函數(shù)圖象中，關于 y軸對稱的有哪些？關于原點對稱的呢?答案 關于y軸對稱，關于原點對稱.梳理 一般地，圖象關于y軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù), 圖象關于原點對稱的函數(shù)稱為奇函數(shù).知識點二函數(shù)奇偶性的定義函數(shù)奇偶性的概念:(1)偶函數(shù)：如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)任意二個偶函數(shù).其實質(zhì)是函數(shù) f(x)上任一點(X, f(x)關于X,都有f( x) = f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做 y軸的對稱點

2、(x, f(x)也在f(x)圖象上.x,都有f( x)= f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫x, f(x)也在f(x)的圖象(2) 奇函數(shù)：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個做奇函數(shù)其實質(zhì)是函數(shù)f(x)上任一點(x, f(x)關于原點的對稱點( 上.知識點三 奇(偶)函數(shù)的定義域特征及奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)1 .奇(偶)函數(shù)的定義域關于原點對稱.2 .重要性質(zhì)(1) 奇函數(shù)在區(qū)間a, b和b, - a(b>a>0)上有相同的單調(diào)性.偶函數(shù)在區(qū)間a, b和b, a(b>a>0)上有相反的單調(diào)性.1 .關于y軸對稱的圖形都是偶函數(shù)的圖象.(X)2 .若 f(x)是奇函數(shù)，f(1

3、) = 2,貝 y f(- 1) =- 2.(V)(V)3 .存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，且不止一個.4 .有些函數(shù)既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù).(V)類型一證明函數(shù)的奇偶性X=f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù).(3) 定義域為 - 1,1，因為對定義域內(nèi)的每一個X,都有f(x) = 0,所以f(- x)= f(x) = - f(x)= 0, 故函數(shù)f(x)=p 1-X2 +寸X2 1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).反思與感悟利用定義法判斷函數(shù)是否具有奇偶性時，首先應看函數(shù)定義域是否關于原點對-X 2 2函數(shù)的定義域為R，因為函數(shù)f(x)=(X+ 1)(x- 1) = X - 1,又因為f(- X) = (-

4、X) - 1= X -1例1 (1)證明f(x)=既非奇函數(shù)又非偶函數(shù);X - 1證明f(x) = (x+ 1)(x- 1)是偶函數(shù)；函數(shù)的奇偶性判定與證明證明f(x) =yj 1 -X2 + 7 2- 1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). 考點題點判斷簡單函數(shù)的奇偶性稱，即對于定義域內(nèi)的任意一個 x,則-x也一定屬于定義域.跟蹤訓練1(1)證明f(x)= (x- 2)2+ x既非奇函數(shù)又非偶函數(shù);證明f(x) = xxi是奇函數(shù).考點函數(shù)的奇偶性判定與證明題點判斷簡單函數(shù)的奇偶性證明(1)由士 > 0，得定義域為2-x-2,2)，關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).證明(1)因為它的定義域為

5、x|x R且XM 1，所以對于定義域內(nèi)的一1,其相反數(shù)1不在定32X X義域內(nèi)，所以f(x)=既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).X- 1函數(shù)的定義域為R，因為f(-x)= (-x)|-x|= x|x|= f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù).類型二奇偶性的應用 命題角度1奇(偶嚴數(shù)圖象的對稱性的應用例2定義在R上的奇函數(shù)f(x)在0,+ )上的圖象如圖所示.(1)畫出f(x)的圖象;解不等式xf(x)>0.考點函數(shù)圖象的對稱性 題點中心對稱問題解(1)先描出(1,1)，(2,0)關于原點的對稱點(一1 , - 1), ( 2,0)，連線可得f(x)的圖象如圖.(2)xf(x)>0即圖象上橫坐標、縱坐標同

6、號結(jié)合圖象可知,xf(x)>0 的解集是(一2,0) U (0,2).引申探究把本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，重做該題.解(1)f(x)的圖象如圖所示:r1K(2)xf(x)>0 的解集是(一S, 2)U (0,2).反思與感悟可以用奇(偶)函數(shù)圖象關于原點(y軸)對稱，這一特性去畫圖，求值，求解析式,研究單調(diào)性.跟蹤訓練2已知奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，且在區(qū)間0,5上的圖象如圖所示.(1)畫出在區(qū)間5,0上的圖象;寫出使f(x)<0的x的取值集合.考點函數(shù)圖象的對稱性 題點中心對稱冋題解(1)如圖，在0,5上的圖象上選取5個關鍵點0, A, B, C, D.分別描

7、出它們關于原點的對稱點0，A，B，C, D，f(x)<0.定義域為a 1,2a，貝U a=再用光滑曲線連接即得.由圖可知，當且僅當 x ( 2,0) U (2,5)時, 使f(x)<0的x的取值集合為(一2,0) U (2,5).命題角度2利用函數(shù)奇偶性的定義求值 例3 若函數(shù)f(x) = axa 1 = 2a,解得 a = 3 , f(x) = 3x + bx+ b 3 +bx+3a+ b是偶函數(shù),考點函數(shù)奇偶性的應用題點由二次函數(shù)為偶函數(shù)求參數(shù)值答案解析因為偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，所以+ 1.又f(x)為偶函數(shù),1 2 1 2所以 f( x)= 3( X)2+ b( X)+

8、 b + 1= f(x)= 3x2+bx+ b + 1 對定義域內(nèi)任意 x 恒成立,3 3即2bx= 0對任意x3,3恒成立,1所以 b= 0.綜上，a= -, b= 0.反思與感悟 函數(shù)奇偶性的定義有兩處常用： 定義域關于原點對稱；對定義域內(nèi)任意x,恒有f( x)= f(x)(或f(x)成立，常用這一特點得一個恒成立的等式，或?qū)ζ渲械膞進行賦值.a+ b=跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)=x, xw 0, 為奇函數(shù)，則|ax + bx, x>0考點函數(shù)奇偶性的應用題點其他已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)值問題答案解析由題意知f2尸f( 2)f1 尸f(1 )4a+ 2b= 2, 則$a+ b= 0,a

9、= 1, 解得$b = 1.當a= 1, b = 1時，經(jīng)檢驗知f(x)為奇函數(shù)，故a+ b= 0.1 .下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是(V、/iVr /V*>-1* -lO1 r一 1 M oX)ABC考點函數(shù)的奇偶性概念題點函數(shù)奇偶性概念的理解答案2 .函數(shù)f(x)= x( 1<xw 1)的奇偶性是A .奇函數(shù)B 偶函數(shù)C 非奇非偶函數(shù)D 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)考點函數(shù)的奇偶性判定與證明題點判斷簡單函數(shù)的奇偶性答案3 .已知函數(shù)y= f(x) + x是偶函數(shù)，且f(2) = 1,貝y f( 2)=考點函數(shù)奇偶性的應用題點利用奇偶性求函數(shù)值答案解析函數(shù)y = f(x)+ x是偶函

10、數(shù),翌時函數(shù)值相等. f( 2) 2= f(2) + 2, f(-2) = 5.4 .若函數(shù) f(x)= (m 1)x .兩個定義：對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個x,如果都有f( x)= f(x)? f( x) + f(x)= 0? f(x) 為奇函數(shù)；如果都有 f( x)= f(x)? f( x) f(x) = 0? f(x)為偶函數(shù).2兩個性質(zhì)：函數(shù)為奇函數(shù)？它的圖象關于原點對稱；函數(shù)為偶函數(shù)？它的圖象關于y軸對 稱. + (m 2)x + (m2 7m+12)為偶函數(shù)，貝U m 的值是考點函數(shù)奇偶性的應用題點由二次函數(shù)為偶函數(shù)求參數(shù)值答案解析 f(x)為偶函數(shù),對于任意 x R，有 f(

11、 x)= f(x), 即(m 1)( x)2 + (m 2)( x) + (m2 7m+ 12) =(m 1)x2 + (m 2)x + (m2 7m+ 12), 2(m 2)x= 0對任意實數(shù) x均成立， m= 2.a5 判斷函數(shù)f(x)= x + -(a為常數(shù))的奇偶性，并證明你的結(jié)論.入考點函數(shù)的奇偶性判定與證明 題點判斷簡單函數(shù)的奇偶性 解f(x )為奇函數(shù)，證明如下: f(x)的定義域為x|xM 0.嚴-r-f(x).a對于任意 xM 0, f( x)= x+=x f(x)為奇函數(shù).3 證明一個函數(shù)是奇函數(shù)，必須對 f(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有f( x)= f(x) 而證明 一

12、個函數(shù)不是奇函數(shù)，只要能舉出一個反例就可以了一、選擇題1.已知一個奇函數(shù)的定義域為 1,2, a, b，則a + b等于()A. 1 B. 1 C. 0 D . 2考點函數(shù)奇偶性的應用題點由奇偶函數(shù)定義域的對稱性求參數(shù)值答案解析因為一個奇函數(shù)的定義域為 1,2, a, b,根據(jù)奇函數(shù)的定義域關于原點對稱,所以a與b有一個等于1, 一個等于一2,所以 a+ b = 1 + ( 2) = 1,故選A.2 下列各圖中，表示以 x為自變量的奇函數(shù)的圖象是(.V*-考點函數(shù)圖象的對稱性題點中心對稱問題答案B解析A , D不是函數(shù)；C不關于原點對稱.3. f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，下列結(jié)論中，不正確的

13、是A . f( x) + f(x)= 0B. f( x) f(x)= 2f(x)C. f( x) f(x) w 0D.粘1考點函數(shù)的奇偶性概念題點函數(shù)奇偶性概念的理解答案解析由于f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f( x)= f(x),由此可推A , B , C正確, 由于f( X)可能為0，由不能推出D.4 .設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x< 0時，f(x) = 2x2 X,則f(1)等于()A. 3 B. 1 C. 1 D. 3考點函數(shù)奇偶性的應用題點利用奇偶性求函數(shù)值答案解析 f(x)是奇函數(shù),當 x< 0 時，f(x) = 2x2 x, a f(1) = f( 1)= 2

14、 X 1)2 ( 1) = 3.5.(2017余姚中學質(zhì)檢)下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是()B. y= X2 + X, x ( 3,3y= 2x考點函數(shù)的奇偶性判定與證明D. y= x2題點判斷簡單函數(shù)的奇偶性 答案 DR，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的6 .設函數(shù)f(x), g(x)的定義域都為是()f(x)g(x)是偶函數(shù)|f(x)|g(x)是奇函數(shù)f(x)|g(x)|是奇函數(shù)|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案 C 解析 A 中，令 h(x)= f(x) g(x)，則 h( x) = f( x) g( x)= f(x) g(x)= h(x), / h(x)是奇函 數(shù)，A錯

15、;B 中，令 h(x) = f(x)|g(x),則 h( x)= |f( x)|g( x)= | f(x)|g(x)= |f(x)|g(x)= h(x), a h(x)是偶函 數(shù)，B錯;C 中，令 h(x) = f(x)|g(x)|，則 h( x)= f( x) |g( x)|= f(x)|g(x)|= h(x), a h(x)是奇函數(shù)，C 正確;D 中，令 h(x) =|f(x)g(x)|,則 h( X)=|f( x)g( x)|= |-f(x) g(x)|= |f(x) g(x)|= h(x). h(x)是偶函數(shù)，D錯.7.函數(shù) f(x)= |x + 1| |x 1|為()A .奇函數(shù)B

16、.偶函數(shù)C 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)考點函數(shù)的奇偶性判定與證明題點判斷簡單函數(shù)的奇偶性答案解析f(x)的定義域為R,對于任意 x R, f( x)= | x+ 1| | x 1| = |x 1| x+ 1|= f(x), f(x)為奇函數(shù).又 f( 1) = 2, f(1) = 2, f( 1)豐 f(1), f(x)不是偶函數(shù).8.設奇函數(shù)f(x)在(0,+s )上為增函數(shù)，且f(3) = 0,則不等式 堅上¥二>0的解集為()(3,0)U (3,+ )(3,0) U (0,3)(3 3) U (3 ,+s )( 8, 3)U (0,3)考點單調(diào)性與奇

17、偶性的綜合應用題點利用奇偶性、單調(diào)性解不等式答案解析 f(x)為奇函數(shù)，f(3) = 0, f( 3) = 0.又 f(x)在 (0 ,+8)上為增函數(shù), - f(x)在(S, 0)上也為增函數(shù).ffx f( X) 由一L f(x)>0 , 當 Q0 時，得 f(x)>f(3)= 0, x>3;當 x<0 時，得 f(x)>f( 3) = 0, 3<x<0,綜上可得，原不等式的解集為(一3,0) U (3,+).二、填空題9 .已知函數(shù)y= f(x)為偶函數(shù)，其圖象與 x軸有四個交點，則方程f(x) = 0的所有實根之和是考點函數(shù)圖象的對稱性題點軸對稱

18、冋題答案解析由于偶函數(shù)的圖象關于 y軸對稱，所以偶函數(shù)的圖象與 x軸的交點也關于 y軸對稱,因此,四個交點中，有兩個在x軸的負半軸上，另兩個在x軸的正半軸上，所以四個實根的和為0.10.已知f(x) = ax2+ bx是定義在a 1,2a上的偶函數(shù)，那么 a + b的值是解析依題意得f( x)= f(x),- b = 0,又 a 1 = 2a,1 1 a = 3, a+ b= 3.xf1 x x<0,11.函數(shù) f(x)= G + x；x>0 為.函數(shù).(填“奇”或“偶”)考點函數(shù)的奇偶性判定與證明題點判斷分段函數(shù)的奇偶性答案解析定義域關于原點對稱，且x(1 + x， x<0

19、,f( x) = 5x(1 x， x>0x(1 + x , x>0, =51 x(1 x , x<0 =f(x), 所以f(x)是奇函數(shù).三、解答題 12判斷下列函數(shù)的奇偶性:35(1)f(x)= x + x ；(2) f(x)= |x + 1|+ |x1|;2x2 + 2x(3) f(x)=2x+r 考點函數(shù)的奇偶性判定與證明 題點判斷簡單函數(shù)的奇偶性解(1)函數(shù)的定義域為R.T f( x)= ( x)3+ ( x)5=(X3+ x5)= f(x), f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)的定義域是 R f( x)= | x+ 1|+ x 1|= |x 1|+ |x+ 1|= f(x), f(x)是偶函數(shù).函數(shù)f(x)的定義域是(一S, 1) U ( 1, +S),不關于原點對稱， f(x)是非奇非偶函數(shù).13. 若函數(shù)f(x) = x2 |