常微分方程講義(2)

1、常微分方程講義（一）課程目標:掌握常用的常微分方程解題技巧；利用常微分方程的思想建模。上課方式:課堂講授、練習與考試。課程特點:承接高數(shù)、微積分、數(shù)學分析等課程而來，與導數(shù)、積分的關系 非常緊密，在經(jīng)濟數(shù)學中有廣泛的應用；常與其他數(shù)學工具與方法混 合使用。參考書目:常微分方程，蔡燧林編著，武漢大學岀版社，2003；及所有標 注有“常微分方程”、“應用”、“經(jīng)濟數(shù)學”、“金融數(shù)學”的教材與專 著。為什么在模擬經(jīng)濟變化時要引入常微分方程?注重刻畫在無窮小時間段內的變量的動態(tài)變化，實現(xiàn)了從“靜態(tài)” 向“動態(tài)”的飛躍。微分方程比初等函數(shù)更近于現(xiàn)實，更真于模擬。什么是微分方程?常微分方程：含有心、心、字

2、的方程;dx偏微分方程：含有莎、dx、訓方程。豈的幾何含義：割線、割線的斜率 牛的幾何含義：切線、切線的斜率 dx切線的斜率，導數(shù)數(shù)學上A3 心 dx經(jīng)濟上變化率，邊際例：求y與y 的導數(shù)應當記下來的等式:(x) = f, J W dx = x +c (0打=0大,+C1f 1(Inx) = , dx = In x + CXJ X(sin x)= cosx, J cosayZv = sin x + C (cos%)=-sinx 9 J (-sill x)elx = cosx + C (tgxy= sec X 9 J sec? xdx = tgx+ C (Z-V)=-CSC X , J(CSC

3、x)dx = ctgx + C(0 = 0(aby=a+b (ahy= a h + ah/、， ah-ab(J pxdxy= p(x)(依)=戈飛=, f dx = yfx + C2277 J 2v7111 a In adx =a + C(arcsin %) = ( 厶=arcsinx + CJl-， J Jl-f(arctgx)=5-, fdx = arctgx + C1 + x J I + x例：勻速運動與變速運動例：不良資產(chǎn)的處置常微分方程的“階”考察方程中導數(shù)的最高“階”務害器而不是考察方程中的最高“次方”學（少$）”ax ax ax常微分方程的“解”通解：曲線族 待解：初值條件例：檢

4、驗y = +1是方程=0的解CiX + C,1-y例：檢驗 xsin，y + y = C 是方程 sin，y + (xsiii 2y + 2y)y= 0 的解例：檢驗由參數(shù)方程X = r f + 23,12所決定的函數(shù)y = /(x),是微分方程 v = f f*+C；42伴）3_字+ 2的解ax ax例：設卩是區(qū)間（a, b）上的連續(xù)函數(shù)，證明=是微分方程內的解。）r+“（x） = O 在區(qū)間 a x h, y +8例：一曲線經(jīng)過點（2, 0）,且其上任意一點的切線界于切點和縱坐標軸之間的部分的長度恒等于2,求此曲線所滿足的微分方程的表達式。文獻清單: 常微分方程及其應用，周義倉等編，科學出版社，2004微分方程模型，（美）W訂liam F. Lucas主編，朱煜民等譯，國防科技大學，1998 微分方程模型與混沌，王樹禾編著，中國科學技術大學出版社,1999微分方程及其應用，（美）MBrdUn著，張鴻林譯，人民教育出版社，1980 常微分方程習題集，周尚仁等編