2018版高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-3學(xué)案：第二章6正態(tài)分布

1、概率正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間（廠偽葉九（廠2d,葉2d,（廠3b,葉34的概率大小3會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題.口知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)正態(tài)分布1.正態(tài)分布2-正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為：f（x）=-exp>-Xo2）1xC（8,+oo）,其中expg（x）時(shí)2兀22J=eg（x）,科表示,（2（>0）表示.通常用XN（叢（2）表示X服從參數(shù)為科和（2的正態(tài)分布.2.正態(tài)分布密度函數(shù)滿足以下性質(zhì)（1）函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱.（2）（>0）的大小決定函數(shù)圖像的.（3）隨機(jī)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值CD

2、p（1o<x<葉（）=.（2）P（廠2KX<葉2（）=.®P（四3o<X<葉3（）=.通常服從于正態(tài)分布N（,舟的隨機(jī)變量X在區(qū)間（L3仇葉3（）外取值的概率只有.題型探究類型一正態(tài)曲線的圖像的應(yīng)用例1如圖所示是一個(gè)正態(tài)分布，試根據(jù)該圖像寫出正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量總體均值和方差.反思與感悟利用圖像求正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖像的兩個(gè)實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對(duì)稱軸為X=科，二是最大值為.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)的（T便確定了，代入Y2兀（Tf（x）中便可求出相應(yīng)的解析式.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（陽,（2）（3>0）和N

3、（必（1）（2>0）的分布密度函數(shù)圖像如圖所示，則有（）仆內(nèi)6-4 2 Kuan-ITL5仃在5IA.國四01<2B.崗<(J2,01>2C.崗(J2,01<2D.R>凹(2類型二利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率例2設(shè)XN(1,22),試求：P(1<X<3);(2)P(3<X<5);(3)P(X>5).引申探究本例條件不變，若P(X>c+1)=P(X<c1),求c的值.反思與感悟利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=科對(duì)稱的，且概率的和為1,故在關(guān)于直線x=科對(duì)稱的區(qū)間上概率相等如：P(X<a)

4、=1P(X>a);P(X<廠a)=P(X>科+a).(2)利用X落在區(qū)間(p(T,6,(12d(1+2),(i3(T,葉3c)內(nèi)的概率分別是0.683,0.954,0.997求解跟蹤訓(xùn)練2(1)已知隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(2,己，且P(%4)=0.8用好(0<%2)等于()A0.6B0.4C0.3D0.2(2)設(shè)XN(6,1),求P(4<X<5).類型三正態(tài)分布的應(yīng)用例3設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)XN(110,202),已知試卷滿分150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)反思與感悟解答正

5、態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在（廠偽（1+c）,（12（T,葉2o）,（13偽葉34二個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想.跟蹤訓(xùn)練3有一種精密零彳其尺寸X（單位：mm）服從正態(tài)分布N（20,4）.若這批零件共有5000個(gè)，試求：（1）這批零件中尺寸在1822mm間的零件所占的百分比；（2）若規(guī)定尺寸在2426mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？當(dāng)堂訓(xùn)練（由于人數(shù)眾多,1 .某市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績的分布密度曲線如圖所示成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布），下列說法中正確的是（A.甲科總體的方差最小B.丙科總體的

6、平均數(shù)最小C.乙科總體的方差及平均數(shù)都居中D.甲、乙、丙總體的平均數(shù)不相同2 .設(shè)隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N（,（2）,且二次方程x2+4x+.。無實(shí)數(shù)根的概率為則科等于（）A.1B.2C.4D.不能確定3.已知服從正態(tài)分布N（叢（2）的隨機(jī)變量在區(qū)間（Lb,葉*（廠2偽葉2）和（口3（t,葉3內(nèi)取值的概率分別為68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年級(jí)1000名學(xué)生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N（90,152）,則此次考試成績?cè)趨^(qū)間（60,120）內(nèi)的學(xué)生大約有（）A.997人B.972人C.954人D.683人4,設(shè)XN2,4則X落在（一3.5,0.5）內(nèi)的概率是（）A.95.4%B

7、.99.7%C.4.6%D.0.3%5.設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),求P(X<0),P(-2<X<2).L規(guī)律與方法-1 .理解正態(tài)分布的概念和分布密度曲線的性質(zhì).2 .正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法（1）熟記P（科一0<X<葉6,P（w2KX葉2（）,P（廠3d<X<葉36的值.（2）充分利用分布密度曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1這兩個(gè)特點(diǎn).分布密度曲線關(guān)于直線x=科對(duì)稱，從而在關(guān)于x=科對(duì)稱的區(qū)間上概率相等.P（X<a）=1P（X>a）,P（X<廠a）=P（X>葉a）,升,門"，、1P.b<X<

8、;葉b）若b<白則P（X<四一b）=2"2把一.答案精析知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1 .均值方差2 .(1)x=W(2)“胖”“瘦”(3)68.3%95.4%99.7%0.3%題型探究例1解從給出的分布密度曲線可知它關(guān)于直線x= 20對(duì)稱，最大值是所以,11產(chǎn)20.由 k = 廣,斛得2j2KC> 2 V%o= 2.于是該正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式是21-xN0)1 2f(xF e-,xe (一 8,+ 8),隨機(jī)變量總體的均值是聽=20,方差是 2= (?/2)2= 2.跟蹤訓(xùn)練1A分布密度曲線是一條關(guān)于直線x=科對(duì)稱，在x=科處取得最大值的連續(xù)曲線.當(dāng)科一定時(shí)，b越大，

9、曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過來，b越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭.故選A.例2解因?yàn)閄N(1,2P(X>5) =P(X<-3) = 21 P( 3<X<5) =21 -P(1- 4<X<1 + 4) = 0.023.),P(1<X<3)=P(12<X<1+2)=P(醫(yī)一o<X<葉()=0.683.(2)因?yàn)镻(3<X<5)=P(-3<X<-1),1所以P(3<X<5)=2P(3<X<5)-P(-1<X<3)1=2P(1-4<X<1+4)-P(12&l

10、t;X<1+2)1=2P(廠2(<X<葉23P(廠o<X<葉力1=2X(0.9540.683)=0.136.引申探究解因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(1,2,所以對(duì)應(yīng)的分布密度曲線關(guān)于X=1對(duì)稱.又P(X>c+1)fc+1yF(c1)=P(X<c-1),因此言=1,即c=1.跟蹤訓(xùn)練2(1)C(2)解由已知得產(chǎn)6,o=1.P(5<X<7)=P(-o<X<fd-6=0.683,P(4<X<8)=P(廠2o<X<葉24=0.954.如圖，由正態(tài)分布的對(duì)稱性知，P(4<x<5)=P(7<x<8),

11、1P(4<x<5)=-P(4<x<8)-P(5<x<7) .P(X廬=0.159,即P(X>130)=0.159. .54X0.159=8(人)，即130分以上的人數(shù)約為8.跟蹤訓(xùn)練3解(1).XN(20,4),(i=20,g=2,(1g=18,葉o=22, 尺寸在1822mm間的零件所占的百分比大約是68.3%.(2).1廠30=14,(1+30=26,(12o=16,葉2o=24,尺寸在1426mm間的零件所占的百分比大約是99.7%,而尺寸在1624mm間的零件所占的百分比大約是95.4%.997%954%尺寸在2426mm間的零件所占的百分比大約是2=2.15%.因此尺寸在2426mm間的零件大約有5000X2.15%107(個(gè)).當(dāng)堂訓(xùn)練1.A2.C3.C4.B5.解對(duì)稱軸為X=0,故P(X<0)=0.5,P(-2<X<2)=P(0-2X1<X<0+2X1)=0.954.111=LX0.2710.136.2例3解由題可知p,=110,a=20,P(X>90)=P(X-110>