數(shù)學(xué)專(zhuān)升本考試試題

1、高等數(shù)學(xué)（二）命題預(yù)測(cè)試卷（二）、選擇題（本大題共 5 5 個(gè)小題，每小題 4 4 分，共 2020 分。在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1 1 下列函數(shù)中，當(dāng)X1時(shí)，與無(wú)窮小量（1 X）相比是高階無(wú)窮小的是（）A A.In（3 x）B B.x32x2xC C.cos（x 1）D D .X212 2 曲線(xiàn)y 3 . x 3丄在（1,）內(nèi)是（）xA A .處處單調(diào)減小B B.處處單調(diào)增加D D .具有最小值A(chǔ) A.1 1B B. 0 0C C. 2 2D .-24 4.若f（丄），則0f (x)dx為(x 10)A A.12B B.1 In 2

2、C C. 1 1D D.In 25 5.設(shè)uzxy，丄等于（）XA A.zzxyB B.xyz1C C.z 1yD D.yzC C.具有最大值1,則f（X。）為、填空題：本大題共 1010 個(gè)小題，1010 個(gè)空，每空 4 4 分，共 4040 分，1 1 / / 12123 3.設(shè)f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，hx 0f(Xo)3 3 / / 1212把答案填在題中橫線(xiàn)上。7.7.設(shè)f (x) exIn x,貝卩f (3).8.8.f(x)產(chǎn)，則f(-).1 xx9.9.設(shè)二重積分的積分區(qū)域D D 是1 x1 2y24，貝U dxdyD110.10.Iim(1 )x= =.x2x1111 .函數(shù)f (

3、x) 1 (exex)的極小值點(diǎn)為.212.12. 若lim -竺/3，則a.x 1x 113.13. 曲線(xiàn)y arctanx在橫坐標(biāo)為 1 1 點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.x21 2Ixsin x ,2dxIIcos2x6 6 .設(shè)zexy2yx,(1,2)1515三、解答題：本大題共1313 小題，共 9090 分，解答應(yīng)寫(xiě)出推理、演4 4 / / 121214.函數(shù)y0sintdt在X-處的導(dǎo)數(shù)值為.算步驟。16.16.(本題滿(mǎn)分 6 6 分)1c求函數(shù)f(x)arctan；x 0的間斷點(diǎn).0 x 017.17.（本題滿(mǎn)分 6 6 分）18.18.（本題滿(mǎn)分 6 6 分）1計(jì)算lim In arc

4、s in x (1 x)xx 01919.（本題滿(mǎn)分 6 6 分）設(shè)函數(shù)f（x）1xexln(1 x)x 0，求1 x 0f (x).20.20.（本題滿(mǎn)分 6 6 分）5 5 / / 1212求函數(shù)y sin（x y）的二階導(dǎo)數(shù).21.21.（本題滿(mǎn)分 6 6 分）求曲線(xiàn)f(x) x42x3的極值點(diǎn).22.22.（本題滿(mǎn)分 6 6 分）3計(jì)算-2dx.x2123.23.(本題滿(mǎn)分 6 6 分)若f(x)的一個(gè)原函數(shù)為xlnx,求x f(x)dx.24.24.(本題滿(mǎn)分 6 6 分)已知%dx2，求常數(shù)k的值.6 6 / / 121225.25.(本題滿(mǎn)分 6 6 分)求函數(shù)f(x,y) y3

5、x26x 12y 5的極值.7 7 / / 121226.26.（本題滿(mǎn)分 1010 分）求（x2y）dxdy，其中 D D 是由曲線(xiàn)y x2與x y2所圍成的平面D區(qū)域.2727.（本題滿(mǎn)分 1010 分）2828.（本題滿(mǎn)分 1010 分）求函數(shù)y皿 的單調(diào)區(qū)間、極值、此函數(shù)曲線(xiàn)的凹凸區(qū)間、x拐點(diǎn)以及漸近線(xiàn)并作出函數(shù)的圖形.參考答案、選擇題a設(shè)f(x) x20f(x)dx，且常數(shù)a1，求證:0f(x)dx3a3(a 1)8 8 / / 1212限都存在.1lim f (x) lim arctanx 0 x 0 x 21lim f (x)lim arctanx 0 x 0 x 2lim f(

6、x)lim f (x)x 0 x 0故當(dāng)x 0時(shí)，f(x)的極限不存在，點(diǎn)x 0是f (x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn).11818.解 設(shè)f(x) arcsinx (1 x)1 1. B B2 2. B B3 3. D D4 4. D D5 5. D D二、填空題6 6.2e218 8.丄x 1110.10.e212.12. 5 521414.sin -4三、解答題7 79 9.31111.x1313.y15.15. 0 001(x 1)421616.解這是一個(gè)分段函數(shù)，f (x)在點(diǎn)x 0的左極限和右極1717.解原式= =limx1 22 2.9 9 / / 1212由于x 0是初等函數(shù)ln f(x)

7、的可去間斷點(diǎn)，1故lim ln f (x) ln lim f (x) ln lim arcsi nx (1 x)xx 0 x 0 x 021010 / / 1212代入cos(x y) 1cos(x1 cos(x y)y)1 cos(x y)1In lim arcsinx lim (1 x)xx 0 x 0 ln(O e) In e 1.19.19.解 首先在x 0時(shí)，分別求出函數(shù)各表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)，即1當(dāng)x 0時(shí)，f (x) (xex)e? xe?丄e?(1丄)xxx 0時(shí)，f (x) ln(xf (0)然后分別求出在x0處函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，即lim丄x 0 x 1f (0)1lim e，(

8、1x 0從而f(0)f (0),函數(shù)在x0處不可所以f1ex(1(x)丄)2020.解y sin(xy)cos(x y)(1y)cos(xy)y cos(x y)sin(x y)(1)y cos(xy) y sin(xy)(1 y)cos(x y) ysin(x y)(1 y )2sin(x y)(11 cos(x y)又由解得cos(x y)1 cos(x y)1111 / / 1212f (x)0sin(x y)1 cos(x y)2121.解x10，x22.先出求f(x)的一階導(dǎo)數(shù)：f (x) 4x36x24x2(x |)令f (x) 0即4x2(x 2)0解得駐點(diǎn)為再求出f(x)的二階

9、導(dǎo)數(shù)f (x) 12x212x 12x(x 1).當(dāng)X!0時(shí)，f (0) 0，在(,0)內(nèi)，f (x) 0，在(0,|)內(nèi)X10不是極值點(diǎn).22223x2x2323.解xln xdx總之3xx2曲線(xiàn)f (x)3x x xx21x(x xd(x21)x 1由題設(shè)f (x)故x f(x)dxxdxx42x2只有極小值點(diǎn)X(X21) Xx21xx21xdx1ln( x1) C(xln x)In xx(l nx 1)dxx(ln x) In xIn x1dx21 . ln x21 . ln x212 .x In x2x2d(ln x)121221x dxx12xdx x21 :x212x2o o9 9

10、1212 / / 121212 .12C. x In x-x242424.解0k2dxk01201dx k lim -2dx1 x21 x2aa1 xklim aractanx0k lim (aarcta na)k -2又0k1-dx一1 x2故k 1解得k12 22525. .解f2x 6,-3y212xy解方程組?60得駐點(diǎn)A(3,2), B(3, 2)3y2120又A fxx2,B fXy0,C fyy6y對(duì)于駐點(diǎn)Ao：A 2,B 0,C 6yx312,故y 22B2AC 240駐點(diǎn)Ao不是極值點(diǎn).對(duì)于駐點(diǎn)Bo: A 2,B 0,C 6yx312y 2故B2AC 24 0，又A 20.函

11、數(shù)f (x, y)在B0(3, 2)點(diǎn)取得極大值f (3, 2)( 2)39 182453026.26.解 由y x2與x y2得兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)為O(0,0)與A(1,1)x y2(y 0)的反函數(shù)為y x.217x 21 212 T(x y)dxdydxx2(xy)dy0(x y：y )：2dxD21313 / / 1212a 2a a0 xdx0 0f(x)dxdxaa00f(x)dxodxaa0f(x)dx2828.解（1 1）先求函數(shù)的定義域?yàn)椋╫,）.求y和駐點(diǎn)：y1?x，令y 0得駐點(diǎn)x e.x（3 3）由y的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間及極值.當(dāng)0 x e時(shí)，y呼0，所以y單調(diào)增加;

12、x當(dāng)x e時(shí)，y 0，所以y單調(diào)減少.由極值的第一充分條件可知yxe i為極大值.（4 4）求y并確定y的符號(hào)：321 n x 323，令y 0得x e2.x3x e2時(shí)，y 0,曲線(xiàn)y為凸的;35(X21x) (x4-X4) dx2z2；1235(-X2-x x )7410a2727.證-330-40af (x) dx0 0f (x)dx dxa0f(x)dxa0f(x)dx于是0f (x)dx3a3(a 1)1414 / / 1212e2時(shí)，y 0，曲線(xiàn)y為凹的.3 Q m根據(jù)拐點(diǎn)的充分條件可知點(diǎn)（e2,2e2）為拐點(diǎn).1515 / / 1212這里的y和y的計(jì)算是本題的關(guān)鍵，讀者在計(jì)算時(shí)一定要認(rèn)真、仔細(xì)另外建議讀者用列表法來(lái)分析求解更為簡(jiǎn)捷，現(xiàn)列表如下:x(0,e)e3(e,e2)3e23(e3)y+0一一一y一0