中學(xué)生通訊解題第二十六期參考解答

1、中學(xué)生通訊解題第二十六期參考解答臺(tái)北市立建國(guó)高級(jí)中學(xué) 數(shù)學(xué)科問(wèn)題編號(hào)912601(1) 試判斷2003×2004×2005×2006+1是否為完全平方數(shù)？請(qǐng)?jiān)斒觥?2) 若一個(gè)數(shù)如上題形式 (例：4×5×6×7+1 , 98×99×100×101+1)，試證明此數(shù)是否為完全平方數(shù)。參考解答一：(1)2003×2004×2005×2006+1=(20042-1)×(20052-1)+1 =20042×20052-(20042+20052)+220042+20

2、052=(2005-2004) 2+2×2004×2005=1+2×2004×2005代入上式20042×20052-(20042+20052)+2=20042×20052-(1+2×2004×2005)+2 =20042×20052-2×2004×2005+1 =(2004×2005-1)2所以2003×2004×2005×2006+1是完全平方數(shù)。(2) 令a,b為整數(shù)且b=a+1，將上題形式改寫為(a-1)×(b-1)×

3、(a+1)×(b+1)+1依(1)作法(a2-1)×(b2-1)+1=a2×b2-(a2+b2)+2= a2×b2-(b-a)2+2ab)+2=a2×b2-(1+2ab)+2= (ab)2-2ab+1=(ab-1)2 得證所以形如k×(k+1)×(k+2)×(k+3)+1的數(shù)(k為整數(shù))為完全平方數(shù)。參考解答二：(1)2003×2004×2005×2006+1=(20032+3×2003)×(20032+3×2003+2)+1 =(20032+3×

4、;2003)2+2(20032+3×2003)+1 =(20032+3×2003+1)2所以2003×2004×2005×2006+1是完全平方數(shù)。(2)設(shè)此形式為k×(k+1)×(k+2)×(k+3)+1，k為整數(shù)k×(k+1)×(k+2)×(k+3)+1=k4+6k3+11k2+6k+1設(shè)一整數(shù)為k2+ak+1，a為整數(shù)( k2+ak+1)2=k4+2ak3+(2+a2)k2+2ak+1為完全平方數(shù)若k4+6k3+11k2+6k+1為完全平方數(shù)，則a有解且k4+2ak3+(2+a2

5、)k2+2ak+1與其對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)係數(shù)相等 a=3 k×(k+1)×(k+2)×(k+3)+1為k2+3k+1的完全平方數(shù)。推廣：設(shè)n為首數(shù)，m為公差，n,m為整數(shù) n×(n+m)×(n+2m)×(n+3m)+m4=(n2+3nm)×(n2+3nm+2m2)+m4 =(n2+3nm)2+2m2(n2+3nm)+m4 =(n2+3nm+m2)2則符合上述形式者皆為完全平方數(shù)。解題重點(diǎn)：展開後用平方和的形式來(lái)觀察是否為一完全平方數(shù)，再以未知數(shù)帶入整理出完全平方數(shù)的樣子，反向來(lái)推敲若為一平方數(shù)則形式必相同(如解二)亦可。評(píng)析：本題徵

6、答人數(shù)共有194人，答對(duì)者共141人，如徵答情形所列。平均得分為6.34分。其中答題優(yōu)良或解法富參考價(jià)值者有臺(tái)北市興雅國(guó)中林昭平同學(xué)、臺(tái)北縣江翠國(guó)中林志嘉同學(xué)、陳建宏同學(xué)、積穗國(guó)中蕭屹宏同學(xué)、福和國(guó)中張引碩同學(xué)、基隆市銘傳國(guó)中楊昀琪同學(xué)。問(wèn)題編號(hào)912602在數(shù)線上取出2003個(gè)相異點(diǎn)，使這些點(diǎn)皆落在0到1之間，為了方便起見，小武便將第1個(gè)點(diǎn)編號(hào)為a1，第2個(gè)點(diǎn)編號(hào)為a2，第2003個(gè)點(diǎn)編號(hào)為a2003(這些點(diǎn)是隨機(jī)取出的，所以此編號(hào)沒有按照大小順序)，小雄想了想又將這2003個(gè)點(diǎn)從小排到大再編號(hào)，形成一組新的點(diǎn)列：b1，b2，b2003，且滿足0< b1<b2<<b2

7、003<1。這時(shí)一旁的小民說(shuō)：你們知道嗎？這兩組的數(shù)列所包含的數(shù)是一樣的。大家都點(diǎn)點(diǎn)頭，小民接著又說(shuō)：而且一定可以找到一個(gè)an及bk使得(1-bk)×an 唷！哇！大家都愣住了，過(guò)一會(huì)兒大家都露出恍然大悟的表情。請(qǐng)問(wèn)：他們的理由是什麼呢？試證明之。 (提示：此題可用鴿籠原理)參考解答一： A B先將0到1的數(shù)線等分作兩段AB去討論。 (1)若2003個(gè)點(diǎn)在AB兩段中皆有分布， 0 1/2 1則可取A段中的一點(diǎn)an及B段中的一點(diǎn)bk(1-bk)×an 成立。(2)若2003個(gè)點(diǎn)皆分布在A段中， 則可取an=bk (1-bk)×an (1-bk)×bk

8、 = - (- bk)2 (1-bk)×an 成立。(3)若2003個(gè)點(diǎn)皆分布在B段中， 則同(2) (1-bk)×an 成立。由(1)(2)(3)，(1-bk)×an ，得證。參考解答二： a1，a2，a2003= b1，b2，b2003從a1，a2，a2003中任取一數(shù)an，必可從數(shù)列b1，b2，b2003中找到一數(shù)bk，使得bkan，1k2003，1n2003(1-bk)×an (1-bk)×bk = - (- bk)2 0(- bk)2 (1-bk)×an ，得證。解題重點(diǎn)：可用鴿籠原理分堆判斷，取得適當(dāng)點(diǎn)予以證明。評(píng)析：本題

9、徵答人數(shù)共有27人，其中全對(duì)者共13人。平均得分為5.03分。其中答題優(yōu)良或解法富參考價(jià)值者有北市興雅國(guó)中林昭平同學(xué)、基市銘傳國(guó)中楊昀琪同學(xué)。問(wèn)題編號(hào)912603圖一O MNADCB四邊形ABCD內(nèi)接於一圓，O為此圓圓心，M為對(duì)角線 與 之交點(diǎn)，N為對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)，如圖一。試證明 。參考解答：圖一O MNADCBPQRSFE作與 中點(diǎn)E、F連接四邊形PQRS與QESF PQRS與QESF皆為平行四邊形 N為 的中點(diǎn) +2-(1)連接與與 為圓上兩弦且E、F分別為與 之中點(diǎn) 且 ， 2+-(2)由(1)(2) 2+2 ，得證。解題重點(diǎn)：以弦心距為最短距離可觀察出、三者間的大小關(guān)係，後由中點(diǎn)連

10、線段平行底邊且為底邊長(zhǎng)的一半得知N為及的中點(diǎn)，再製造出平行四邊形並利用其特性得到N為的中點(diǎn)，得出、三者間的關(guān)係。評(píng)析：本題徵答人數(shù)共有4人，其中全對(duì)者共2人。平均得分為3.50分。其中答題優(yōu)良或解法富參考價(jià)值者有臺(tái)北縣福和國(guó)中劉軒志同學(xué)。問(wèn)題編號(hào)912604若n為一正整數(shù)，a1、a2、an為n個(gè)不同的數(shù)。若將a1、a2、an重新排列成b1、b2、bn，試問(wèn)：應(yīng)如何排列才能使b1-b2+b2-b3+b3-b4+bn-1-bn+bn-b1之值為最大？參考解答：將a1、a2、an按遞增順序重新排列成c1、c2、cn，即c1 <c2 < <cn且a1、a2、an=c1、c2、cn若將

11、b1-b2+b2-b3+b3-b4+bn-1-bn+bn-b1的絕對(duì)值去掉，則會(huì)形如 ±(b1-b2) ±(b2-b3) ±(b3-b4) ± ±(bn-1-bn) ±(bn-b1)之代數(shù)式，且不論±如何取，必定會(huì)有n個(gè)“+”、n個(gè)“-”。(1) 若n為奇數(shù)則±(b1-b2) ±(b2-b3) ±(b3-b4) ± ±(bn-1-bn) ±(bn-b1)2(cn+cn-1+c(n+3)/2)+c(n+1)/2-2(c1+c2+c(n-1)/2)+c(n+1)/2=2

12、(cn+cn-1+c(n+3)/2)-2(c1+c2+c(n-1)/2)-(A)(2) 若n為偶數(shù)則±(b1-b2) ±(b2-b3) ±(b3-b4) ± ±(bn-1-bn) ±(bn-b1)2(cn+cn-1+c(n+2)/2)-2(c1+c2+cn/2)-(B)(A)(B)兩式皆為±(b1-b2) ±(b2-b3) ±(b3-b4) ± ±(bn-1-bn) ±(bn-b1)中最大的前n項(xiàng)減去最小的後n項(xiàng)，所以可將(A)(B)兩式合併成一個(gè)式子表示：2(cn+cn-1

13、+c(n+1)-n/2) - 2(c1+c2+cn/2) ， 其中x指的昰不大於x的最大整數(shù)。±(b1-b2)±(b2-b3)±(b3-b4)±±(bn-1-bn)±(bn-b1) 2(cn+cn-1+c(n+1)-n/2) -2(c1+c2+cn/2)由於b1-b2+b2-b3+b3-b4+bn-1-bn+bn-b1為相鄰二數(shù)之絕對(duì)值之和，要使此和愈大，則相鄰二數(shù)之差要愈大愈好，故考慮下列情形：b1=cn , b2=c1 , b3=cn-1 , b4=c2 , b5=cn-2 , b6=c3 , -()再以n來(lái)分別討論：(3) 若n

14、為奇數(shù)b2k+1=cn-k , 0kb2k=ck , 1k b1-b2+b2-b3+b3-b4+bn-1-bn+bn-b1=cn-c1+c1-cn-1+cn-1-c2+c(n-1)/2- c(n+1)/2+c(n+1)/2-cn= (cn-c1) + (cn-1-c1) + (cn-1-c2) + (c(n+1)/2- c(n-1)/2) + (cn-c(n+1)/2)= 2(cn+cn-1+c(n+3)/2)+c(n+1)/2-2(c1+c2+c(n-1)/2)+c(n+1)/2 =(A)式(4) 若n為偶數(shù)b2k=ck , 1k b2k+1=cn-k , 0k b1-b2+b2-b3+b3

15、-b4+bn-1-bn+bn-b1=cn-c1+c1-cn-1+cn-1-c2+cn-(n-2)/2- cn/2+cn/2-cn= (cn-c1) + (cn-1-c1) + (cn-1-c2) + (c(n+2)/2- cn/2) + (cn-cn/2)= 2(cn+cn-1+c(n+2)/2)-2(c1+c2+cn/2) =(B)式將a1、a2、an以()的方式排序(若n為奇數(shù)則按(3)；若n為偶數(shù)則按(4)，即可使b1-b2+b2-b3+b3-b4+bn-1-bn+bn-b1產(chǎn)生最大值。解題重點(diǎn)：本題為絕對(duì)值的簡(jiǎn)單應(yīng)用，a-b即為a、b間的距離，欲使此數(shù)愈大，則距離愈遠(yuǎn)愈佳。將題意轉(zhuǎn)化為排圓圈，使其相鄰之差額的和為最大。評(píng)析：本題徵答人數(shù)共有29人，其中全對(duì)者共0人。平均得分為1.62分。多數(shù)同學(xué)可想出排列方式但皆無(wú)詳細(xì)證明或解釋，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)本題答題品質(zhì)偏低。本題無(wú)答題優(yōu)良之學(xué)生。問(wèn)題編號(hào)912605(1)將8×8棋盤的一角剪去一個(gè)1×1正方形，試問(wèn)：剩下的63個(gè)方格能否剪成21個(gè) ？(2)將8×8棋盤的一角剪去一個(gè)2×2正方形，試問(wèn)：剩下的60個(gè)方格能否剪成15個(gè) ？參考解答：(1)可以，如圖所示即可。(2)先以右圖的方式將棋盤塗色。