2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽模擬試題一、填空題1、已知函數(shù)f(x)=ln(，1+a2x2ax)+1(a>0),則1f(aj+fn1)=n.a2、AB兩點(diǎn)分別在拋物線y2=6x和0C:(x2)2+y2=1上，則AB的取值范圍是3、若tan口=3tan00<P<«<,則3一P的最大值為<2J4、已知ABC等腰直角三角形，其中/C為直角，AGBG1,過點(diǎn)B作平面ABC勺垂線DB使得DB=1,在DADCh分別取點(diǎn)E、F,則BEF周長的最小值為.5、已知函數(shù)f(x)=x3+3x,對任意的mwL2,2】，f(mx8)+f(2x)<0恒成立，則正實(shí)數(shù)x的取值

2、范圍為.iMbir.r»、rr-1.一«*、6、已知向量a,b,c滿足|a|：|b|：|c|=2:k:3(kEN),且b-a=2(c-b),若u為a,c的夾角,貝Ucosa的值為.7、現(xiàn)有一個(gè)能容納10個(gè)半徑為1的小球的封閉的正四面體容器，則該容器棱長最小值為8、將10個(gè)小球(5個(gè)黑球和5個(gè)白球)排場一行，從左邊第一個(gè)小球開始向右數(shù)小球，無論數(shù)幾個(gè)小球，黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為.二、解答題9 .(本小題滿分14分)在ABC中，內(nèi)角AB,C對邊的邊長分別是a,b,c,向量p=(sinA+sinC,sinB),向量q=(ac,ba),且滿足p-Lq.(I)求4ABC勺

3、內(nèi)角C的值；(n)若c=2,2sin2A+sin(2B+C)=sinC,求ABC勺面積.10 .(本小題滿分14分)已知數(shù)列LJ滿足：a1=2a書=a；+2an.(1)求證：數(shù)列ig(an+1)是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)若bn=1十,且數(shù)列ibj的前n項(xiàng)和為Sn,求證：Sn<1.anan.211 .(本小題滿分14分)設(shè)f(x)=exax-a.(e是自然對數(shù)的底數(shù))(I)若f(x)>0對一切x*1恒成立，求a的取值范圍；1十f,2015、10085(n)求證：()<e2.201612 .(本小題滿分15分)設(shè)正數(shù)x,y滿足x3+y3=xy,求使x2+入2Ml恒成立

4、的實(shí)數(shù)九的最大值.x22,1一13 .(本小題滿分15分)已知橢圓c：+y2=1及點(diǎn)P(1,),過點(diǎn)P作直線l與橢圓C交22于A、B兩點(diǎn)，過AB兩點(diǎn)分別作C的切線交于點(diǎn)Q(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)求ABQ勺面積的最小值.數(shù)學(xué)競賽模擬試卷（1）答案f(x)f(-x)=ln(.1a2x2-ax)ln(.1a2x2ax)2=ln(1a2x2-a2x2)2=23.【解析】tan(aP)=2.3,二一二tan1363tan-tan:tan-tan:2tan11tantan：13tan2：BDAe側(cè)面和B2DC,且與側(cè)面ADO于同一個(gè)平面上.則BEF周長的=1：22.2：.、2.BQ2B2D2-2B1

5、DB2Dcos.B1DB?=11-2I-=III244B1DB2"B1DAADCCDB2知3冗由余弦定理可得，RQB1B2一最小值即面AB1DB2c上兩點(diǎn)B1,B2之間的線段長.由前面的分析可Ji之和為一.如圖，將側(cè)面2CD的另IJ折起至面B1DAB：1.【解析】2.【解析】由于AB=AC1,則只需要考慮AC的范圍.AC2=(x-2)2+y2=(x-2)2+6x=x2+2x+4=(x+1)2+3，又x>0,故ACmin=2,故AB的取值范圍為1,十必).4.【解析】由題意可知,;0蕓0蕓£一,二0WaP<一.二22/CDB=£，且/BDA與/CDA46

6、所以，BEF周長的最小值為.22.5.【解析】f(x)=x3+3x為奇函數(shù)且為增函數(shù)f(mx8)+f(2x)<0等價(jià)于f(mx-8)<-f(2x)=f(-2x)即mx8c2x即mx+2x-8<0對任意的me匚2,2】成立即2x +2x -8 <0、-2x+2x-8<0'0<x<20<x<20 二 x <41-2f-21-、2424-6 .【斛析】由b-a=2(c-b)得b=a+c所以b=a+c+ac,33999又|a1|b|:|C|=2:k:3,所以k2=40+-24cosa,64，又kwN*,所以又2,所以9999cosa的

7、值為-1.67 .【解析】這10個(gè)小球成棱錐形來放，第一層1個(gè)，第2層3個(gè)，第3層6個(gè)，即每一條棱是3個(gè)小球，于是正四面體的一條棱長就應(yīng)該是4倍的小球的半徑加上2倍的球心到四面體頂點(diǎn)的距離到棱長上的射影的長度，又球心到頂點(diǎn)的距離為3,正四面體的高和棱所成角.6.6的余弦值為,故容器棱長的最小值為423=42.6.338.【解析】法1:如果只有2個(gè)小球（1黑1白），則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為1;如果只有4個(gè)小球（2黑2白），則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為1;如果只231一，有6個(gè)小球（3黑3白），則黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為1;以此類推，可知將410個(gè)小球（5個(gè)黑球和5個(gè)

8、白球）排成一行，從左邊第一個(gè)小球開始向右數(shù)小球.無論數(shù)幾1個(gè)小球，黑球的個(gè)數(shù)總不少于白球個(gè)數(shù)的概率為一；6法2:直接從10個(gè)小球入手分類討論.9.【解析】(I)由題意p_Lq,所以，(ac(sinA+sinC)十(ba)sinB=0.由正弦定理，可得(ac(a+c)+(bab=0.整理得a2c2+b2=ab.、一a2+b2-c21.兀由余弦te理可得，cosC=，又Cw(0,兀)，所以，C=16分2ab23(n)由2sin2A十sin(2B+C)=sinC可得，4sinAcosA十sin(B十冗一A)=sin(B+A).整理得，4sinAcosA=sinBAsinB-A=2sinBcosA.當(dāng)

9、 cosA=0 時(shí)，花A = 一，此時(shí)，2冗2V3b = 2c o4 =331S>A ABC = bc =2cosA/0時(shí)，上式即為sin B = 2sin A2.2.a +b -ab = 4 ,解之得，b = 4、33所以ABC的面積為,有正弦定理可得 b=2a,又所以4ABC的面積為123SaabcabsinC=23一.12v3綜上所述，ABC勺面積為Saabc=absinC=.14分2310.【解析】(1)由已知得an4r=a2+2an,an書+1=(4+1f,因?yàn)閍1=2,所以an+1>1,兩邊取對數(shù)得lg(1+an書)=2lg(1+an),即1g(1+an±j=

10、2,故刎+i'為以威為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，1g1ann1.1an 1即1g(an+1)=2,1g3,即an=3-1.5分(2)法1：由an+=a：+2an兩邊取倒數(shù)得112r11所以=，即bn=2，10分an22anan+anan書故Sn=2l'111,故Sn<1.14分232-12n1123-11、11法2：bn=-n+力=2(-71-),貝USn=2.-I<1.32-132132-132-132-1232-1x_,.e.一11.【角軍析】(I)f(x)至0=(x+1a4e=a<(x>-1),x+1xxx令h(x)=-e,則h(x)=xe2,由h

11、'(x)=e>0得x>0.x1(x1)2(x1)2所以h(x)在(0,+oc讓單調(diào)遞增，h(x)在(-1,0)單調(diào)遞減.所以h(x)上h(0)=1(x>1),由此得：aM1.又x=-1時(shí)，(x+1aMex即為0xaWe，此時(shí)a取任意值都成立.綜上得：a<1.11/1(n)(2015)1008<e2015<e_1_1一小()eee.201620162016由(I)知，當(dāng)a=1時(shí)f(x)之0對一切x之一1恒成立，即ex之x+1(x=0時(shí)取等號).,1co1取x 二201614分，得1-，<eN16.即證得：(婪)1008<e二20162016

12、12【解析】由正數(shù)x,y滿足x3+y3=xy,知x>y>0.令t=_x>1.等式 x233.x y2-一 xx-y等價(jià)于22x y入-4xy -yx -y t2 1t -1等號僅當(dāng)y33x2x -y23x y yx-y y2- 2.因?yàn)?f (t) = =2 +(t T) + 至2+2&t -1) =2+2/2，t -1t -1. t -12.t -1=，即t=1+亞時(shí)成立,t -1所以，實(shí)數(shù)九的最大值為2十2四.15分則 QA :9x +y1y =1 過 Q ,有的& 十 y1yo =1 ； QB :上x + y2y=1 ,有13.【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),222言72y0=1'故直線AB若+y0y=1過點(diǎn)P(1,則有為+2°=1=x0+y0=2故Q的軌跡方程為x+y=2.22.22_(2)對直線AB當(dāng)斜率不存在時(shí)，即為x=1,此時(shí)A(1,),B(