《高等數(shù)學(xué)》11-2常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法

1、 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下） 河海大學(xué)理學(xué)院河海大學(xué)理學(xué)院整理課件第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有如如果果級級數(shù)數(shù)01 nnnuu這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù)這種級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù). . nsss212.2.正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件: :定理定理 正項(xiàng)級數(shù)收斂正項(xiàng)級數(shù)收斂 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 有上界有上界. .ns1121nn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件且且),2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂；反反之之，若若 1nnu發(fā)發(fā)散散，則則

2、 1nnv發(fā)發(fā)散散. . 證證.1收收斂斂 nnu均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvunvvv 21nnuuus 21且且即即 的部分和數(shù)列有上界的部分和數(shù)列有上界1nnu1nnv 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件例如例如證證nnnnbcac 0且且,)(),(都都是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)nnnnnnbcac 11斂斂 111nnnnnnnbcbc)(斂斂)(nnnac 1收收斂斂)(nnnnnnnacca 111 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件例例 1 1 證證明明級級數(shù)數(shù) 1)1(1nnn是是發(fā)發(fā)散散的的. 證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)發(fā)散散而而級級

3、數(shù)數(shù).)1(11 nnn發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)),(NnNkvunn (保大棄小保大棄小) 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件例例 2 2 討討論論 P P- -級級數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p 解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 P nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211, 1 p設(shè)設(shè)由由 單調(diào)遞減知單調(diào)遞減知px1 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.級級數(shù)數(shù)收收斂斂則則 P 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù),1,1ppP重要

4、參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 等比級數(shù)等比級數(shù), , P- -級數(shù)級數(shù). .用用保大棄小法保大棄小法選參考級數(shù)選參考級數(shù). 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件 1nnu1)(dxxfoyx)(xfy 12 34)2()()1(21fdxxff)3()()2(32fdxxff 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件)()()1(1nfdxxfnfnnnnnuuudxxfuuu321121)(111)(uSdxxfSnnn 1nnunnSlimndxxf1)(1)(dxxf 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件,1)(dxxfnndxxf1)(limndxxf1)( 1nnu例例:用積分判別法驗(yàn)證用

5、積分判別法驗(yàn)證p-級數(shù)的收斂性級數(shù)的收斂性. 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件5.5.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設(shè)設(shè)= =1 1n nn nu u與與= =1 1n nn nv v都是正項(xiàng)級數(shù)都是正項(xiàng)級數(shù) , ,如果如果,limlvunnn 則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性 ; ; l0 (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 若若= =1 1n nn nv v發(fā)散發(fā)散, , 則則= =1 1n nn nu u發(fā)散發(fā)散. . l (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ;0 l 1nnv 1nnu (2) (2)

6、 相當(dāng)于相當(dāng)于; ;nnvu (3) (3) 相當(dāng)于相當(dāng)于. . nnMvu 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對于對于,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, , 得證得證. . 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件例例 3 3 判判定定下下列列級級數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散. .)2(nnn1sinlim nnn311lim

7、 , 1 ,311收收斂斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. .nnn)ln1()3(1 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件nnn)ln1 ()3(1)ln1ln(nnnneu)ln(2lnln2222nnonnnnne).(1nn.)ln1 (1發(fā)散nnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件)ln131211 (limnnn )ln(nnn11110111 )ln(nn212111lim)1ln(lim020 xxxxxxx 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件6 6. .比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )

8、：設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu則則1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. .證明證明,為有限數(shù)時(shí)為有限數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0 對對,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ，取正數(shù), 1 r使使,11NNnnuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111nNNnur收斂而級數(shù), 1 r使使,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu 1nnu，取正數(shù) 1nnu 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課

9、件比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn): : 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . 注意注意:1 1. .當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn)1( , 11nnuu 1nnu 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件,232)1(2nnnnnvu 例例,2) 1(211收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnnnnu,) 1(2( 2) 1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 3 3. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. . 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（

10、下）整理課件例例 4 4 判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收收斂斂故故級級數(shù)數(shù) nn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)發(fā)散散故故級級數(shù)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, , 改用極限審斂法改用極限審斂法),(412) 12(12nnnn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn.)12(21

11、1收收斂斂故故級級數(shù)數(shù) nnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim)( 為為數(shù)數(shù)或或 , ,則則1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;,1 ,1 nnn設(shè)設(shè)級級數(shù)數(shù)例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂. .1 時(shí)時(shí)級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. . 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件)0()( !1xnxnnnexnxuunnnnn)11 (limlim1nn)11( 1)11 (1nnnneuunu 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件. 0) !(lim2nnnn12)!(nnnnnnnnnnnuu

12、)11 (11limlim1. 0.) !(12收斂nnnn.0) !(lim2nnnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的步驟:4用比值審斂法或根值審斂法;4以P-級數(shù)為參考級數(shù),用比較審斂法;4通項(xiàng) ,級數(shù)發(fā)散;4以其它級數(shù)為參考級數(shù),用比較審斂法,或積分判別法;4看部分和Sn是否有上界;4用Cauchy收斂原理;4用定義,求和s. 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件 13141nnntan 134112nn 22227cos3nnnn 解解 11314nnnn 2785nnnln 232ln116nnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法定

13、義定義 nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其其中中即：正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù)即：正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù). . 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn ,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是是有有界界的的數(shù)數(shù)列列ns u-u) 1(2111 nnnu, 0lim12 nnu又又)(limlim12212 nnnnnuss, s 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件.,1uss 且且級數(shù)收斂于和級數(shù)收斂

14、于和),() 1(21nnnnuur余項(xiàng),21 nnnuur這仍然是一個(gè)滿足這仍然是一個(gè)滿足LeibnizLeibniz收斂條件的交錯(cuò)級數(shù)收斂條件的交錯(cuò)級數(shù).1 nnur定理證畢定理證畢. .1us ,)1()1(111收收斂斂nnnnnnuu .,:11 nnurus綜合綜合 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂. .131ln) 1(nnnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件三、絕對收斂與條件收斂定定義義: :若若 1nnu收

15、收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為絕絕對對收收斂斂; ; 12sinnnn)(!1Rxnxnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件定定理理 若若 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂. . 證明證明), 2 , 1(nuuvnnn令, 0 nv顯顯然然,2nnuv且,1收斂收斂 nnv,nnnuvu又 1nnu收斂收斂.111)1(nnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件定定義義：若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. . 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件解解,1sin22nnn ,112收收斂斂而而 nn,sin

16、12 nnn收收斂斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂. . 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件五、小結(jié)正正 項(xiàng)項(xiàng) 級級 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)審審斂斂法法1.1.2.2.4.4.充要條件充要條件5.5.比較法、極限法比較法、極限法6.6.比值法比值法7.7.根值法根值法4.4.絕對收斂絕對收斂5.5.交錯(cuò)級數(shù)交錯(cuò)級數(shù)( (萊布尼茨定理萊布尼茨定理) )3.3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì); ;,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂若若SSn;, 0,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng) nun 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件判別一般項(xiàng)級數(shù)斂散性的步驟:4對通項(xiàng)取絕對值后,用比值審斂法或根值審斂法;4對通

17、項(xiàng)取絕對值后,以P-級數(shù)為參考級數(shù),用比較審斂法;若發(fā)散,對原級數(shù)用Leibniz判別法; 4通項(xiàng) ,級數(shù)發(fā)散;4對通項(xiàng)取絕對值后,以其它級數(shù)為參考級數(shù),用比較審斂法,或積分判別法;若發(fā)散,對原級數(shù)用Leibniz判別法; 4用Cauchy收斂原理;4用定義,求和s. 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件 21112111nnnnn 12112nnnnn 1!2132nnnn 12cos214nnnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件四、絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)11)1(nnn(無窮和式的交換律無窮和式的交換律) 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件1nna1nnc1nnb(無窮和式的分配律無窮和式的分配律) 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件naaaa321nbbbb321nbabababa1312111nbabababa2322212nbabababa3332313nnnnnbabababa321 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件)()(1121122111babababababannn)1)1()1)1(11nnnnnn) 1(1) 1(11) 1(21) 1(1) 1() 1(12nnnunnnn 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下）整理課件11213111211) 1(1nn