調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的多種證明方法

1、邯鄲學院本科畢業(yè)論文高 昌摘 要 調(diào)和級數(shù)是數(shù)學分析中一個典型的正項發(fā)散級數(shù)，證明它發(fā)散性的方法有很多本文主要給出了證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散的11種比較常見的方法筆者將搜集到的證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散的方法進行了進一步的整理，使之成為一套具有簡單邏輯性的體系根據(jù)各種方法的特點，筆者把這些方法分別歸在了比較類、柯西類、積分類和級數(shù)和為無窮大類四個大類下在每個大類下都有兩個到四個不同的證明方法為了方便將各種方法放在一起進行比較，筆者在對各種方法進行整理時，對原來有些方法的書寫和步驟都有所改動，呈現(xiàn)形式與原證不同關鍵詞 調(diào)和級數(shù) 發(fā)散性 判別 收斂Proofs of the divergency of harmon

2、ic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou XijuanAbstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proo

3、f method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories

4、such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original license diffe

5、rent. Keywords Harmonics SeriesDivergency Discriminate Convergency 目 錄摘要I外文頁II1引言12調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的證明方法12.1 比較類12.2 柯西類32.3 積分類42.4 和為無窮大類53總結7參考文獻8致謝9調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的多種證明方法引言調(diào)和級數(shù)是級數(shù)中具有代表性的一個級數(shù)，很早人們就開始對它發(fā)散性的證明進行研究并且不少知名的學者和大數(shù)學家都參與其中最早證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散的是法國學者尼古拉奧雷姆，在極限概念完全理解之前400年證明的后來，大數(shù)學家伯努力也給出了一種經(jīng)典的證明隨著科學的不斷發(fā)展，到現(xiàn)在證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散的

6、方法有近二十種本文主要講搜集到的比較常見的證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散的11種方法并進行了進一步的整理，按照比較、柯西、積分、和為無窮大四個條件進行簡單歸類，使之形成一套比較完備的體系，更方便讀者對各種證明方法的閱讀和比較為了方便比較，有些方法采取了與原證不同的呈現(xiàn)形式本論文對數(shù)學分析中級數(shù)斂散性學習和研究，尤其是初學者，會有很大幫助2調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的證明方法2.1 比較類比較判別法是證明正項級數(shù)斂收斂或發(fā)散最常用的方法多數(shù)情況下，利用我們所熟知的收斂或發(fā)散的級數(shù)與未知的級數(shù)進行比較，就能得出結論對于調(diào)和級數(shù)，利用比較法證明其發(fā)散的思路主要有兩類一是利用加括號法則，把原級數(shù)變形，再通過放縮或其它方法得到一

7、個熟悉的并且使它大于調(diào)和級數(shù)的發(fā)散級數(shù)通過比較判別法得出結論二是找到一個發(fā)散級數(shù)，并且它的通項與調(diào)和級數(shù)的通項比是一個非零常數(shù)，這就可以由找到的級數(shù)的發(fā)散性判定調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性下面給出的前兩種方法用的是第一種思路，后兩種是第二種思路 方法1依次將一項，一項，二項，四項，八項，十六項括在一起得，這是一個新級數(shù)，斂散性與原級數(shù)相同它的各項均大于級數(shù) 的對應項顯然，第二個級數(shù)是發(fā)散的由比較判別法知，調(diào)和級數(shù)發(fā)散.（此方法是法國學者尼古拉奧雷姆在極限概念被完全理解之前的400年證明的）方法2依次將九項，九十項，九百項，括在一起得，這是一個新級數(shù)，斂散性與原級數(shù)相同它的各項均大于級數(shù) 的對應項顯然，第二

8、個級數(shù)是發(fā)散的由比較判別法知，調(diào)和級數(shù)發(fā)散方法3利用不等式：，它的各項均大于下面級數(shù)的對應項.假設上面的級數(shù)是收斂的，則它的和大于它的部分和。它的部分和為.所以，第二個級數(shù)是發(fā)散的通過比較判別法可知，調(diào)和級數(shù)發(fā)散方法4應用級數(shù)（其中與級數(shù)有相同的收斂性取 ，而級數(shù) 發(fā)散故調(diào)和級數(shù)發(fā)散2.2 柯西類柯西準則及其相關推論也是證明級數(shù)收斂或發(fā)散的常用方法證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散，我們可以用級數(shù)發(fā)散的柯西準則，也可用級數(shù)收斂的柯西準則得出矛盾結論（反證法）本節(jié)中方法一用的是級數(shù)發(fā)散的柯西準則，方法二用的是級數(shù)收斂的柯西準則方法1級數(shù)發(fā)散的充要條件：存在正數(shù)，對任何正整數(shù)，以及存在正整數(shù)和，有. 對于調(diào)和級數(shù)，

9、令，則有.因此，取，對任何正整數(shù)和符合上述條件，所以調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的（此方法被多本大學數(shù)學教材采用，做為應用柯西準則證明級數(shù)發(fā)散的典型例題）方法2 級數(shù)收斂的柯西準則：任意正數(shù)，存在正整數(shù)，以及任意正整數(shù)和，有 .假設調(diào)和級數(shù)收斂，則存在使 .令，有（不以0為極限）,從而得出矛盾，故調(diào)和級數(shù)發(fā)散2.3 積分類方法1定理設為上非負遞減函數(shù)，那么正項級數(shù)與非正常積分同時收斂或發(fā)散取，則在上為非負遞減函數(shù)則由定理知級數(shù)與同時收斂或發(fā)散因為，故調(diào)和級數(shù)發(fā)散方法2采用數(shù)形結合的方法利用積分的幾何意義，根據(jù)面積大小，得出調(diào)和級數(shù)的部分和發(fā)散調(diào)和級數(shù)的部分和由上圖的陰影部分面積可知第一塊矩形的面積,第二塊矩

10、形的面積,第三塊矩形的面積,第塊矩形的面積.所以，陰影部分的總面積為，它顯然大于曲線下在到之間的那一塊面積，即 .可見，調(diào)和級數(shù)部分和沒有極限，故調(diào)和級數(shù)發(fā)散2.4 和為無窮大類 和為無窮大是證明級數(shù)發(fā)散的最直接的方法和可以是整個級數(shù)的和，也可以是級數(shù)的部分和利用和為無窮大證明調(diào)和級數(shù)和為無窮大一般利用反證法，得出調(diào)和級數(shù)和或調(diào)和級數(shù)的部分和是一個有限數(shù)為假本節(jié)給出的前兩種方法證明的是整個調(diào)和級數(shù)的和為無窮大，最后一種方法證明的是調(diào)和級數(shù)的部分和為無窮大方法1以為基礎，先證明這個等式， ， . 設，則, .所以有，沒有一個有限數(shù)會大于等于自己，所以是無窮大即調(diào)和級數(shù)發(fā)散（此方法是大數(shù)學家約翰伯

11、努利作出的經(jīng)典證明）方法2以不等式為基礎先證明這個不等式由得，所以有,.如果是一個有限數(shù)，不會大于自己即為正無窮大，故調(diào)和級數(shù)發(fā)散方法3利用反證法，假設，則，因此有 （1）但另一方面，由于對一切有，可知 （2） 顯然，結論（1）與結論（2）矛盾,所以，假設錯誤.因此，調(diào)和級數(shù)發(fā)散.3 總結該論文給出了證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散的11種常見的證明方法，并按照一定的方法進行了歸類，讓讀者在閱讀時有一定的整體性證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的方法，除了本文給出的11種，還有許多比如說利用高斯判別法、歐拉常數(shù)等有關知識也可以將其證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的證明對其它正項級數(shù)的證明起到了“尺子”的作用對調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的研究不僅豐富了

12、調(diào)和級數(shù)的證明方法，同時也為一般正項級數(shù)發(fā)散性的證明提供了更廣闊的空間在對級數(shù)發(fā)散性的證明時，用到的有可能不僅僅是文中所給的幾種方法，而是需要將幾種方法綜合運用所以證明級數(shù)發(fā)散時，沒有固定的方法，要靈活參考文獻：1 華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析（下冊）（第三版）M. 北京：高等教育出版社，2004:1-242 任親謀數(shù)學分析習題解析 (下冊)M.陜西：陜西師范大學出版社，2004 3 裴禮文數(shù)學分析典型問題與方法 M.北京：高等教育出版社，1993 4 夏曉峰. 調(diào)和級數(shù)發(fā)散的幾種證明J.本溪冶金高等?？茖W校院報，2000（12）:44-455 馬艷寶. 關于調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的五種證明方法J. 商業(yè)文化（下半月），2010（2）.1276 張竟成. 關于調(diào)和級數(shù)發(fā)散的幾種證明方法以及它的應用J. 岳陽職業(yè)技術學院學報，2006（5）.217 姜洪文. 對調(diào)和級數(shù)的分析J. 沈陽