求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法

1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法求數(shù)列通項(xiàng)公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細(xì)）總述：一利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法） 、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、11 種方法：換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號(hào)）、數(shù)學(xué)歸納法、不動(dòng)點(diǎn)法（遞推式是一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的分式表達(dá)式）、特征根法二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式最基本方法。三 求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過(guò)變形，代換轉(zhuǎn)化為等級(jí)差數(shù)列或等比數(shù)列。四求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法。五

2、數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。一、累加法1適用于：an 1anf (n) - 這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之一。2若 an 1anf ( n) (n2) ，a2a1f (1)a3a2f (2)則LLan 1anf ( n)n兩邊分別相加得an 1a1f (n)k1求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法例 1已知數(shù)列 an 滿足 an 1an 2n 1， a1 1，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：由 an 1an2n1得 an 1an2n 1 則an (anan 1 ) (an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1) a12( n1)12( n2)1L(22 1)(2

3、11)12(n1)(n2)L2 1(n1)1(n1)n122(n 1)(n 1)(n1)1n2所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 ann2。例 2已知數(shù)列 an 滿足 an 1an2 3n1， a3 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。1解法一：由 an1an2 3n1得 an 1an23n1 則an( anan 1 ) (an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1 ) a1(23n11)(23n21)L(2321)(2311)32(3n13n2L3231 )(n1)32 3(13n1 )(n1)3133n3n133nn1所以 an3nn1.解法二： an 13an23n1兩邊除以 3n1 ，得 a

4、n1an21，3n13n33n1則an 1an213n 13n33n 1 ，故ananan 1) (an 1an 2an 2an 3L(a2a1a1n( nan 13n 2) (n 2n 3 )21 )333 an 1333 3( 2 1n ) ( 2n11) (2n12 )L(2 12)33333333332(n1)1111L13( 3n3n3n 13n 232) 1求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法1n1因此an2(n 1)3n(13)2n11，3n31312233n則 an2n 3n13n1 .322練習(xí)1. 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1 ，且an 1an2n(n N* )寫(xiě)出數(shù)列an的通項(xiàng)公式 .答案

5、： n 2n1anan 112)2. 已 知數(shù) 列 an 滿 足 a1(n練習(xí)3 ，n( n 1)，求此數(shù)列的通項(xiàng) 公式 .an12答案：裂項(xiàng)求和n評(píng)注：已知 a1 a , an 1 an f (n) ，其中 f(n) 可以是關(guān)于 n 的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng) an .若 f(n) 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若 f(n) 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若 f(n) 是關(guān)于 n 的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若 f(n) 是關(guān)于 n 的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。例 3.已知數(shù)列 an 中 ,Sn1 (ann ),求數(shù)列 a

6、n 的通項(xiàng)公式 .an0 且2anSn1 ( ann ) Sn1 (SnSn 1n)解 :由已知2an得2SnSn 1,化簡(jiǎn)有 Sn2Sn21n ,由類型 (1)有 Sn2S122 3n ,2n(n1)2n(n1)又 S1a1 得 a11,所以 Sn2,又 an0 ,sn2,2n(n1)2n(n1)an則2此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)求解.求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法二、累乘法1.適用于：an 1f (n)an - 這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個(gè)方法之二。an 1a2a3f (2)，Lan1f (n)2若f (n) ，則f (1)，L ，ana1a2anan 1n兩邊分別相乘得，a1f (k

7、)a1k1例 4已知數(shù)列 an 滿足 an 12(n 1)5n a ， a3 ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。n1解：因?yàn)?an 12( n 1)5nan， a13 ，所以 an0 ，則 an 12( n 1)5n ，故anananan 1 La3 a2 a1an1an2a2 a12( n11)5n 1 2( n21)5n 2 L2(21)52 2(1 1)51 32n1 n(n1)L3 25(n 1)( n 2)L2132n 1n (n1)35 2n! a 2n1n (n1)所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 an352n!.n例 5.設(shè) an 是首項(xiàng)為1 的正項(xiàng)數(shù)列，且n1an21na n2an 1 an0

8、（ n =1 ， 2， 3，），則它的通項(xiàng)公式是an =_.解：已知等式可化為：( an 1an ) (n 1)an 1 nan0an 1nan0 ( n N * )(n+1) an 1na n 0 , 即 ann 1ann 1n2 時(shí)， an 1nanan 1a2a1n 1 n 211an= n n 11an 1an 2a12= n .求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法評(píng)注： 本題是關(guān)于an 和 an 1 的二次齊次式，可以通過(guò)因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到an 與 a n 1 的更為明顯的關(guān)系式，從而求出a n .練習(xí) .已知 an 1nann1, a11,求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 .答案：a

9、n(n1)! (a1 1) -1.評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來(lái)的遞推關(guān)系式an 1na nn1, 轉(zhuǎn)化為an 1 1n(an 1), 若令 bn a n1,則問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為bn 1nbn 形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式 .三、待定系數(shù)法適用于 an 1 qanf ( n)基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。1形如an 1cand , (c0 ,其中 a1 a )型（ 1）若 c=1 時(shí)，數(shù)列 a（ 2）若 d=0 時(shí)，數(shù)列 an 為等差數(shù)列 ;n 為等比數(shù)列 ;（ 3）若 c 1且d 0 時(shí)，數(shù)列 an 為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通

10、過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求 .待定系數(shù)法：設(shè)an 1c(an) ,得 an 1ca n (c 1) ,與題設(shè) an 1 ca n d , 比較系數(shù)得d, ( c 0)andc(an 1d)(c 1)d ,所以 c1所以有：c1c1dda na1因此數(shù)列c 1 構(gòu)成以c 1 為首項(xiàng)，以 c 為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法and( a1d ) c n 1an (a1d ) c n 1d所以c 1c 1即：c 1c 1 .規(guī)律：將遞推關(guān)系 an 1cand 化為an 1cdc(ancd)11,構(gòu)造成公比為c 的等比數(shù)列 and an 1dc n 1 ( a1d )c1 從而求得通項(xiàng)公式

11、1cc 1逐項(xiàng)相減法（階差法） ：有時(shí)我們從遞推關(guān)系an 1ca nd 中把 n 換成 n-1 有 an ca n 1 d ,兩式相減有 an 1 anc(an an 1 ) 從而化為公比為 c的等比數(shù)列 an 1 an ,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式 .an 1 an c n (a 2a1 ) ,再利用類型 (1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜 .例 6 已知數(shù)列 an 中， a1 1,an2an 1 1(n 2) ，求數(shù)列a 的通項(xiàng)公式。n解法一： Q an2an 11(n2),an12(an 11)又 Q a112,an1 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列an 1 2n ，即 an 2

12、n1解法二： Q an2an 11(n2),an 12an1兩式相減得an 1an2( anan 1 )(n2) ，故數(shù)列an 1an 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，再用累加法的 an 中， a1 2, an 11an1, 求通項(xiàng) an 。練習(xí)已知數(shù)列22an( 1 ) n 11答案：2求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法2形如： a n 1 p anq n(其中 q 是常數(shù)，且 n 0,1)若 p=1 時(shí)，即： a n 1anq n ，累加即可 .若 p 1 時(shí)，即： an1pan q n ，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以pn 1 .目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列a n 1an1 p

13、nanbn 1bn1 pnp n 1q n( )bn( )即：p q,令p np q,然后類型1，累加求通項(xiàng) .，則n 1ii. 兩邊同除以 q. 目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。an 1pan1即：q n 1qq nq,bnanbn 1p bn1q n令,則可化為qq .然后轉(zhuǎn)化為類型5 來(lái)解，iii. 待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè) a n 1q n 1p(anpn ) .通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效。例 7 已知數(shù)列 an滿足an 1 2an4 3n 1， a11，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)法）

14、 ：設(shè) an 113n2 (an3n 1 ) ，比較系數(shù)得14,22，則數(shù)列an 4 3n1是首項(xiàng)為 a14 3115 ，公比為2 的等比數(shù)列，所以 an4 3n 15 2n 1 ，即 an4 3n 15 2n 1q n13n 1an12an4解法二（兩邊同除以）： 兩邊同時(shí)除以得： 3n133n32，下面解法略an1an43n解法三（兩邊同除以p n1）： 兩邊同時(shí)除以2 n 1得： 2n12 n3(2 )，下面解法略求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法練習(xí) .（ 2003 天津理）設(shè)a0為 常 數(shù) ， 且an 3n 12an 1 ( n N ) 證 明 對(duì) 任 意n 1 ，an1 3n( 1) n 1

15、 2n ( 1) n 2n a05；3形如 an 1panknb(其中 k,b 是常數(shù)，且k0)方法 1：逐項(xiàng)相減法（階差法）方法 2：待定系數(shù)法通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為(anxny)p(an 1x(n1)y) ;解題基本步驟：1、確定f (n) =kn+b2、設(shè)等比數(shù)列bn(anxny) ，公比為 p3、列出關(guān)系式( an xn y) p( an 1 x(n 1) y) ,即 bnpbn 14、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列(anxny) 的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列an 的通項(xiàng)公式例 8在數(shù)列 an 中， a1 1, an 1 3an 2n, 求通項(xiàng) an .（逐項(xiàng)相減法）解：， an 13an2n,n

16、2 時(shí)， an3an 1 2( n 1) ，兩式相減得an 1an3(an an 1 )2 .令 bnan 1a n ,則 bn3bn 12利用類型 5 的方法知 bn5 3n 12即a n 1a n5 3n 11an53n 1n1a n53n 1n1再由累加法可得22 . 亦可聯(lián)立 解出22 .求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法a13 ,2anan 1 6n 3例 9. 在數(shù)列 an 中，2,求通項(xiàng) an .（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為2(an xn y) an 1 x(n 1)y比較系數(shù)可得：x=-6,y=9, 上式即為 2bnbn 1所以 bnb1 a16n 991bn9 ( 1 )n 1是一

17、個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)2,公比為 2.2 2即：an 6n99(1) n2an9(1) n6n9故2.4形如 an 1panan2b n c(其中 a,b,c 是常數(shù)，且 a0 )基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。例 10已知數(shù)列 an 滿足 a2an3n24n 5， a1，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。n 11解： 設(shè) an 1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)比較系數(shù)得 x3, y 10, z 18 ，所以 an 13(n1)210(n1)182( an3n210n18)由 a13 1210118131320 ，得 an3n210n180則 an

18、 13(n 1)210(n1)182 ，故數(shù)列 an3n210n 18 為以an3n210n18a13121011813132為首項(xiàng)，以2 為公比的等比數(shù)列，因此an3n210n18322n 1 ，則an 2n 43n210n18 。求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法5.形如 an 2pan 1qan 時(shí)將 an 作為 f (n) 求解分析：原遞推式可化為an 2an 1( p)(an 1an ) 的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列an 1 an 為等比數(shù)列。例 11 已知數(shù)列 an 滿足 an 25an 16an , a11,a22 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 2an 1(5)(an 1an

19、)比較系數(shù)得3 或2 ，不妨取2 ，（取 -3 結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則an 22an 13(an12an )，則an 12an是首項(xiàng)為4，公比為3 等比數(shù)列an 12an4 3n 1，所以 an4 3n 15 2n 1練習(xí) .數(shù)列 an 中，若a18, a22,且滿足an 2 4an 13an 0,求an.答案：an113n .四、迭代法an 1pa nr (其中 p,r 為常數(shù) )型已知數(shù)列 an 滿足 an 13( n 1)2 n5 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。例 12an， a1解：因?yàn)?an 13( n1)2 nan，所以anan3n12n 1 an3( n2 1) 2n 2

20、 3n 2n 1an32 (2n 1) n 2( n 2) ( n 1)an3( n3 2) 2n 3 32 ( n 1) n 2(n 2) (n 1)an33 (3n 2)( n1) n 2(n 3)(n 2) ( n 1)La13n 1 2 3L L (n 2) ( n 1) n 21 2 L L ( n 3) (n 2) ( n 1)n( n 1)a13n 1n! 22n 1n (n 1)又 a15 ，所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an 53n! 22。注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法例 13.（2005 江西卷）已知數(shù)列 an 的各項(xiàng)都是

21、正數(shù) , 且滿足 : a0 1, an 11an (4 an ), n N2，（ 1）證明an an 1 2, n N ;（2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an.an 11 an (4 an )1 (an 2) 24,2(an 1 2)(an 2)2解：（ 1）略（ 2）22所以令 bn an2,則 bn1 bn2 11 ( 1 bn22 )21(1 )2 bn2 1(1 )1 22n 1bn2n222 2222又 bn= 1，bn( 1) 2n 1 ,即 an 2 bn2 ( 1 )2 n 1所以22.12方法 2：本題用歸納 -猜想 -證明，也很簡(jiǎn)捷，請(qǐng)?jiān)囈辉?解法 3：設(shè) cnbn ，則

22、c n2cn 1,轉(zhuǎn)化為上面類型（ 1）來(lái)解五、對(duì)數(shù)變換法適用于 an1panr(其中 p,r 為常數(shù) )型p>0， an0例 14.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11，an2an21（ n2） .求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 .解：兩邊取對(duì)數(shù)得：log2an12 log 2an 1log 2an12(log 2an 11)，設(shè)bnlog 2an1，則，bn2bn1bn是以 2 為公比的等比數(shù)列，b1log 121 1bn1 2n 12n 1，log 2a n12n1， log 2an2n 11 ， an22n 11練習(xí) 數(shù)列an中，a11，a n2 an 1（ n2），求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 .答案： a

23、n2 22 2 n求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法例 15已知數(shù)列 an 滿足 an 12 3nan5， a1 7 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?an 123nan5， a17 ，所以 an0， an 10 。兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg an 15lg ann lg3lg 2設(shè) lg an1 x(n1)y5(lg anxny)（同類型四）比較系數(shù)得，xlg3lg3lg 2, y1644由 lg a1lg31lg3lg 2lg 7lg31lg3lg 20 ，得 lg anlg3nlg3lg 20 ，416441644164所以數(shù)列 lganlg3nlg3lg 2lg3lg3lg 25 為公比的等比數(shù)列

24、，416 是以 lg 7416為首項(xiàng)，以44則 lg anlg3 nlg3lg 2(lg 7lg3lg3lg 2)5n1 ，因此41644164lg an(lg 7lg 3lg 3lg 2)5n 1lg 3nlg 3lg 24164464111n11lg(73431624 )5n1lg(3 43162 4 )111n11lg(73431624 )5n 1lg(3 4 316 2 4 )5 n4 n 15n 11lg(75 n 1 31624)75n 15n4 n 15n 11則 an3 162 4。六、倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例 16已知數(shù)列 an 滿足 an 12an

25、, a1 1 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。an2解：求倒數(shù)得111,111,11 為等差數(shù)列，首項(xiàng)11 ，公差為1 ，an 12anan 1an2an 1ana12111),an2an(nn12求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法七、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例 17 已知數(shù)列 an 滿足 an 114an1 24an )， a11 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。(116解：令 bn124an，則 an1 (bn21)24代入 an 111 24an ) 得(1 4an161 (bn2 11)1 1 4 1 (bn2 1) bn 241624即 4bn2 1 (bn 3)2因?yàn)?bn124an0 ，則 2

26、bn 1bn1bn33 ，即 bn 12，2可化為 bn 131 (bn3) ，2所以 bn3 是以 b13124a1312413 2 為首項(xiàng)，以1 為公比的等比數(shù)列，因此2bn32(1)n1(1)n2 ，則 bn(1) n 23，即124an(1) n 23 ，得2222an2 ( 1) n( 1)n1 。3423八、數(shù)學(xué)歸納法通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n 項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例 18 已知數(shù)列 an 滿足 an 1an(2 n8( n 1)3)2， a18 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。1)2 (2n9解：由 an 18( n 1)及 a18an，得(2 n

27、 1)2 (2n 3)29a2a18(11)88224(211)2 (213)2992525a3a28(21)248348(221)2 (223)225254949a4a38(31)488480(231)2 (233) 249498181求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法由此可猜測(cè) an(2 n1)21 ，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(2 n1)2（ 1）當(dāng) n1 時(shí)， a1(2 111)2 18 ，所以等式成立。(21)29（ 2）假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)等式成立，即 ak(2 k1)21 ，則當(dāng) nk 1 時(shí)，(2 k1)2ak 1ak8(k1)(2k1)2 (2k3)2(2 k1)21(2k3)28(k

28、1)(2 k 1)2 (2k 3)2(2k1)2 (2k3)2(2k1)2(2k1)2 (2k3)2(2k3)21(2k3)22( k1)1212(k1)12由此可知，當(dāng) nk1 時(shí)等式也成立。根據(jù)（ 1），（ 2）可知，等式對(duì)任何 nN * 都成立。九、階差法（逐項(xiàng)相減法）1、遞推公式中既有Sn ，又有 an分析：把已知關(guān)系通過(guò)anS1, n 1轉(zhuǎn)化為數(shù)列an或 Sn 的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的SnSn 1 ,n2方法求解。例 19 已知數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n 項(xiàng)和 Sn 滿足 S1 (an1)(an2) ，且 a2 , a4 , a9 成n6等比數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。

29、解：對(duì)任意 nN1(an1)(an2)有 Sn6當(dāng) n=1 時(shí)， S1a11 ( a1 1)(a12) ，解得 a11 或 a126求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法當(dāng) n2 時(shí)， Sn 112)( an 1 1)(an 16 -整理得： (anan 1)( anan 13)0 an 各項(xiàng)均為正數(shù)， anan 13當(dāng) a11時(shí)， an3n2 ，此時(shí) a42a2a9 成立當(dāng) a12 時(shí)， an3n1 ，此時(shí) a42a2a9 不成立，故a12 舍去所以 an 3n2練習(xí)。 已知數(shù)列 an 中 , an0 且 Sn1(an1) 2, 求數(shù)列 an 通項(xiàng)公式 .2答案： SnSn 1 a n( an1) 2( an 1 1) 2an 2n 12、對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列例 20已知數(shù)列 an 滿足