第十七章反比例函數教案

1、第十七章 反比例函數第1課時反比例函數的意義一、教學目標：1、使學生理解并掌握反比例函數的概念2、能判斷一個給定的函數是否為反比例函數，并會用待定系數法求函數解析式3、能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式，體會函數的模型思想二、重、難點：1、重點：理解反比例函數的概念，能根據已知條件寫出函數解析式2、難點：理解反比例函數的概念3、難點的突破方法：（1）、在引入反比例函數的概念時，可適當復習一下第11章的正比例函數、一次函數等相關知識，這樣以舊帶新，相互對比，能加深對反比例函數概念的理解（2）、注意引導學生對反比例函數概念的理解，看形式，等號左邊是函數y，等號右邊是一個分式，自變量x在分

2、母上，且x的指數是1，分子是不為0的常數k；看自變量x的取值范圍，由于x在分母上，故取x0的一切實數；看函數y的取值范圍，因為k0，且x0，所以函數值y也不可能為0。講解時可對照正比例函數ykx（k0），比較二者解析式的相同點和不同點。（3）、（k0）還可以寫成（k0）或xyk（k0）的形式三、例題的意圖分析：教材第46頁的思考題是為引入反比例函數的概念而設置的，目的是讓學生從實際問題出發(fā)，探索其中的數量關系和變化規(guī)律，通過觀察、討論、歸納，最后得出反比例函數的概念，體會函數的模型思想。教材第47頁的例1是一道用待定系數法求反比例函數解析式的題，此題的目的一是要加深學生對反比例函數概念的理解，

3、掌握求函數解析式的方法；二是讓學生進一步體會函數所蘊含的“變化與對應”的思想，特別是函數與自變量之間的單值對應關系。補充例1、例2都是常見的題型，能幫助學生更好地理解反比例函數的概念。補充例3是一道綜合題，此題是用待定系數法確定由兩個函數組合而成的新的函數關系式，有一定難度，但能提高學生分析、解決問題的能力。四、課堂引入：1回憶一下什么是正比例函數、一次函數？它們的一般形式是怎樣的？2體育課上，老師測試了百米賽跑，那么，時間與平均速度的關系是怎樣的？五、例習題分析：例1見教材P47分析：因為y是x的反比例函數，所以先設，再把x2和y6代入上式求出常數k，即利用了待定系數法確定函數解析式。例1（

4、補充）下列等式中，哪些是反比例函數（1） （2） （3）xy21 （4） （5）（6） （7）yx4分析：根據反比例函數的定義，關鍵看上面各式能否改寫成（k為常數，k0）的形式，這里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只單獨含x，（6）改寫后是，分子不是常數，只有（2）、（3）、（5）能寫成定義的形式例2（補充）當m取什么值時，函數是反比例函數？分析：反比例函數（k0）的另一種表達式是（k0），后一種寫法中x的次數是1，因此m的取值必須滿足兩個條件，即m20且3m21，特別注意不要遺漏k0這一條件，也要防止出現3m21的錯誤。解得m2例3（補充）已知函數yy1y2，y1與x成正比例，y2與x

5、成反比例，且當x1時，y4；當x2時，y5（1） 求y與x的函數關系式（2） 當x2時，求函數y的值分析：此題函數y是由y1和y2兩個函數組成的，要用待定系數法來解答，先根據題意分別設出y1、 y2與x的函數關系式，再代入數值，通過解方程或方程組求出比例系數的值。這里要注意y1與x和y2與x的函數關系中的比例系數不一定相同，故不能都設為k，要用不同的字母表示。略解：設y1k1x（k10），（k20），則，代入數值求得k12，k22，則，當x2時，y5六、隨堂練習：1蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數關系式為 2若函數是反比例函數，則m的取值是 3矩形的面積為4，一條

6、邊的長為x，另一條邊的長為y，則y與x的函數解析式為 4已知y與x成反比例，且當x2時，y3，則y與x之間的函數關系式是 ，當x3時，y 5函數中自變量x的取值范圍是 七、課后練習：已知函數yy1y2，y1與x1成正比例，y2與x成反比例，且當x1時，y0；當x4時，y9，求當x1時y的值答案：y4第2課時反比例函數的圖象和性質（1）一、教學目標：1、會用描點法畫反比例函數的圖象2、結合圖象分析并掌握反比例函數的性質3、體會函數的三種表示方法，領會數形結合的思想方法二、重點、難點：1、重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質2、難點：正確畫出圖象，通過觀察、分析，歸納出反比例函數的性質3、難點的

7、突破方法：畫反比例函數圖象前，應先讓學生回憶一下畫函數圖象的基本步驟，即：列表、描點、連線，其中列表取值很關鍵。反比例函數（k0）自變量的取值范圍是x0，所以取值時應對稱式地選取正數和負數各一半，并且互為相反數，通常取的數值越多，畫出的圖象越精確。連線時要告訴學生用平滑的曲線連接，不能用折線連接。教學時，老師要帶著學生一起畫，注意引導，及時糾錯。在探究反比例函數的性質時，可結合正比例函數ykx（k0）的圖象和性質，來幫助學生觀察、分析及歸納，通過對比，能使學生更好地理解和掌握所學的內容。這里要強調一下，反比例函數的圖象位置和增減性是由反比例系數k的符號決定的；反之，雙曲線的位置和函數性質也能推

8、出k的符號，注意讓學生體會數形結合的思想方法。三、例題的意圖分析：教材第48頁的例2是讓學生經歷用描點法畫反比例函數圖象的過程，一方面能進一步熟悉作函數圖象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深學生對反比例函數圖象的認識，了解函數的變化規(guī)律，從而為探究函數的性質作準備。補充例1的目的一是復習鞏固反比例函數的定義，二是通過對反比例函數性質的簡單應用，使學生進一步理解反比例函數的圖象特征及性質。補充例2是一道典型題，是關于反比例函數圖象與矩形面積的問題，要讓學生理解并掌握反比例函數解析式（k0）中的幾何意義。四、課堂引入：提出問題：1一次函數ykxb（k、b是常數，k0）的圖象是什么？其性質有哪些

9、？正比例函數ykx（k0）呢？2畫函數圖象的方法是什么?其一般步驟有哪些？應注意什么？3反比例函數的圖象是什么樣呢?五、例習題分析：例2見教材P48，用描點法畫圖，注意強調：（1）列表取值時，x0，因為x0函數無意義，為了使描出的點具有代表性，可以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣也便于求y值（2）由于函數圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣便于連線，使畫出的圖象更精確（3）連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線（4）由于x0，k0，所以y0，函數圖象永遠不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸例1（補充）已知

10、反比例函數的圖象在第二、四象限，求m值，并指出在每個象限內y隨x的變化情況？分析：此題要考慮兩個方面，一是反比例函數的定義，即（k0）自變量x的指數是1，二是根據反比例函數的性質：當圖象位于第二、四象限時，k0，則m10，不要忽視這個條件略解：是反比例函數 m231，且m10 又圖象在第二、四象限 m10解得且m1 則例2（補充）如圖，過反比例函數（x0）的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設AOC和BOD的面積分別是S1、S2，比較它們的大小，可得（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）大小關系不能確定分析：從反比例函數（k0）的圖象

11、上任一點P（x，y）向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積，由此可得S1S2 ，故選B六、隨堂練習：1已知反比例函數，分別根據下列條件求出字母k的取值范圍（1）函數圖象位于第一、三象限（2）在第二象限內，y隨x的增大而增大2函數yaxa與（a0）在同一坐標系中的圖象可能是（ ） 3在平面直角坐標系內，過反比例函數（k0）的圖象上的一點分別作x軸、y軸的垂線段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積是6，則函數解析式為 七、課后練習：1若函數與的圖象交于第一、三象限，則m的取值范圍是 2反比例函數，當x2時，y ；當x2時；y的取值范圍是 ； 當x2時；y的取值范圍是 3 已知反比例函數，當時

12、，y隨x的增大而增大，求函數關系式答案：3 教學后記：第3課時反比例函數的圖象和性質（2）一、教學目標1、使學生進一步理解和掌握反比例函數及其圖象與性質2、能靈活運用函數圖象和性質解決一些較綜合的問題3、深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯系，體會數形結合及轉化的思想方法二、重點、難點1、重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質，并能利用它們解決一些綜合問題2、難點：學會從圖象上分析、解決問題3、難點的突破方法：在前一節(jié)的基礎上，可適當增加一些較綜合的題目，幫助學生熟練掌握反比例函數的圖象和性質，要讓學生學會如何通過函數圖象分析解析式，或由函數解析式分析圖象的方法，以便更好的理解數形結合的思想，

13、最終能達到從“數”和“形”兩方面去分析問題、解決問題。三、例題的意圖分析教材第51頁的例3一是讓學生理解點在圖象上的含義，掌握如何用待定系數法去求解析式，復習鞏固反比例函數的意義；二是通過函數解析式去分析圖象及性質，由“數”到“形”，體會數形結合思想，加深學生對反比例函數圖象和性質的理解。教材第52頁的例4是已知函數圖象求解析式中的未知系數，并由雙曲線的變化趨勢分析函數值y隨x的變化情況，此過程是由“形”到“數”，目的是為了提高學生從函數圖象中獲取信息的能力，加深對函數圖象及性質的理解。補充例1目的是引導學生在解有關函數問題時，要數形結合，另外，在分析反比例函數的增減性時，一定要注意強調在哪個

14、象限內。補充例2是一道有關一次函數和反比例函數的綜合題，目的是提高學生的識圖能力，并能靈活運用所學知識解決一些較綜合的問題。四、課堂引入復習上節(jié)課所學的內容1什么是反比例函數？2反比例函數的圖象是什么？有什么性質？五、例習題分析例3見教材P51分析：反比例函數的圖象位置及y隨x的變化情況取決于常數k的符號，因此要先求常數k，而題中已知圖象經過點A（2，6），即表明把A點坐標代入解析式成立，所以用待定系數法能求出k，這樣解析式也就確定了。例4見教材P52 例1（補充）若點A（2，a）、B（1，b）、C（3，c）在反比例函數（k0）圖象上，則a、b、c的大小關系怎樣？分析：由k0可知，雙曲線位于第

15、二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大，因為A、B在第二象限，且12，故ba0；又C在第四象限，則c0，所以ba0c說明：由于雙曲線的兩個分支在兩個不同的象限內，因此函數y隨x的增減性就不能連續(xù)的看，一定要強調“在每一象限內”，否則，籠統(tǒng)說k0時y隨x的增大而增大，就會誤認為3最大，則c最大，出現錯誤。此題還可以畫草圖，比較a、b、c的大小，利用圖象直觀易懂，不易出錯，應學會使用。例2 （補充）如圖， 一次函數ykxb的圖象與反比例函數的圖象交于A（2，1）、B（1，n）兩點（1）求反比例函數和一次函數的解析式（2）根據圖象寫出一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍分析：因為A點

16、在反比例函數的圖象上，可先求出反比例函數的解析式，又B點在反比例函數的圖象上，代入即可求出n的值，最后再由A、B兩點坐標求出一次函數解析式y(tǒng)x1，第（2）問根據圖象可得x的取值范圍x2或0x1，這是因為比較兩個不同函數的值的大小時，就是看這兩個函數圖象哪個在上方，哪個在下方。六、隨堂練習1若直線ykxb經過第一、二、四象限，則函數的圖象在（ ）（A）第一、三象限 （B）第二、四象限 （C）第三、四象限 （D）第一、二象限2已知點（1，y1）、（2，y2）、（，y3）在雙曲線上，則下列關系式正確的是（ ）（A）y1y2y3 （B）y1y3y2 （C）y2y1y3 （D）y3y1y2七、課后練習1

17、已知反比例函數的圖象在每個象限內函數值y隨自變量x的增大而減小，且k的值還滿足2k1，若k為整數，求反比例函數的解析式2已知一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，且點A的橫坐標和點B的縱坐標都是2 ， 求（1）一次函數的解析式； （2）AOB的面積答案：1或或2（1）yx2，（2）面積為6教學后記：第4課時實際問題與反比例函數（1）一、教學目標1利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2滲透數形結合思想，提高學生用函數觀點解決問題的能力二、重點、難點1重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式3難點的突破方法：用函數觀點解實際問題，

18、一要搞清題目中的基本數量關系，將實際問題抽象成數學問題，看看各變量間應滿足什么樣的關系式（包括已學過的基本公式），這一步很重要；二是要分清自變量和函數，以便寫出正確的函數關系式，并注意自變量的取值范圍；三要熟練掌握反比例函數的意義、圖象和性質，特別是圖象，要做到數形結合，這樣有利于分析和解決問題。教學中要讓學生領會這一解決實際問題的基本思路。三、例題的意圖分析教材第57頁的例1，數量關系比較簡單，學生根據基本公式很容易寫出函數關系式，此題實際上是利用了反比例函數的定義，同時也是要讓學生學會分析問題的方法。教材第58頁的例2是一道利用反比例函數的定義和性質來解決的實際問題，此題的實際背景較例1稍

19、復雜些，目的是為了提高學生將實際問題抽象成數學問題的能力，掌握用函數觀點去分析和解決問題的思路。補充例題一是為了鞏固反比例函數的有關知識，二是為了提高學生從圖象中讀取信息的能力，掌握數形結合的思想方法，以便更好地解決實際問題四、課堂引入寒假到了，小明正與幾個同伴在結冰的河面上溜冰，突然發(fā)現前面有一處冰出現了裂痕，小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區(qū)。你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？五、例習題分析例1見教材第57頁分析：（1）問首先要弄清此題中各數量間的關系，容積為104，底面積是S，深度為d，滿足基本公式：圓柱的體積 底面積×高，由題意知S是函數，d是自變量，改寫后所得的

20、函數關系式是反比例函數的形式，（2）問實際上是已知函數S的值，求自變量d的取值，（3）問則是與（2）相反例2見教材第58頁分析：此題類似應用題中的“工程問題”，關系式為工作總量工作速度×工作時間，由于題目中貨物總量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t，因此具有反比關系，（2）問涉及了反比例函數的增減性，即當自變量t取最大值時，函數值v取最小值是多少？例1（補充）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（千帕）是氣體體積V（立方米）的反比例函數，其圖像如圖所示（千帕是一種壓強單位）（1）寫出這個函數的解析式；（2）當氣球的體積是0.8立方米時，氣球內的氣壓是多少

21、千帕？（3）當氣球內的氣壓大于144千帕時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應不小于多少立方米？分析：題中已知變量P與V是反比例函數關系，并且圖象經過點A，利用待定系數法可以求出P與V的解析式，得，（3）問中當P大于144千帕時，氣球會爆炸，即當P不超過144千帕時，是安全范圍。根據反比例函數的圖象和性質，P隨V的增大而減小，可先求出氣壓P144千帕時所對應的氣體體積，再分析出最后結果是不小于立方米六、隨堂練習1京沈高速公路全長658km，汽車沿京沈高速公路從沈陽駛往北京，則汽車行完全程所需時間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間的函數關系式為 2完成某項任務可獲得500元報酬，考慮

22、由x人完成這項任務，試寫出人均報酬y（元）與人數x（人）之間的函數關系式 3一定質量的氧氣，它的密度（kg/m3）是它的體積V（m3）的反比例函數，當V10時，1.43，（1）求與V的函數關系式；（2）求當V2時氧氣的密度答案：，當V2時，7.15七、課后練習1小林家離工作單位的距離為3600米，他每天騎自行車上班時的速度為v（米/分），所需時間為t（分）（1）則速度v與時間t之間有怎樣的函數關系？（2）若小林到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？（2）如果小林騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達單位？答案：，v240，t122學校鍋爐旁建有一個儲煤庫，開學初購進一批煤

23、，現在知道：按每天用煤0.6噸計算，一學期（按150天計算）剛好用完.若每天的耗煤量為x噸，那么這批煤能維持y天（1）則y與x之間有怎樣的函數關系？（2）畫函數圖象（3）若每天節(jié)約0.1噸，則這批煤能維持多少天？教學后記：第5課時實際問題與反比例函數（2）一、教學目標1利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2滲透數形結合思想，進一步提高學生用函數觀點解決問題的能力，體會和認識反比例函數這一數學模型二、重點、難點1重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式，解決實際問題3難點的突破方法：本節(jié)的兩個例題與學生的日常生活聯系緊密，讓學生親身經歷將

24、實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用，不但能鞏固所學的知識，還能提高學生學習數學的興趣。本節(jié)的教學，要引導學生從已有的生活經驗出發(fā)，按照上一節(jié)所講的基本思路去分析、解決實際問題，注意體會數形結合及轉化的思想方法，要告訴學生充分利用函數圖象的直觀性，這對分析和解決實際問題很有幫助。三、例題的意圖分析教材第58頁的例3和例4都需要用到物理知識，教材在例題前已給出了相關的基本公式，其中的數量關系具有反比例關系，通過對這兩個問題的分析和解決，不但能復習鞏固反比例函數的有關知識，還能培養(yǎng)學生應用數學的意識補充例題是一道綜合題，有一定難度，需要學生有較強的識圖、分析和歸納等方面的能力，此題既有一次函數的

25、知識，又有反比例函數的知識，能進一步深化學生對一次函數和反比例函數知識的理解和掌握，體會數形結合思想的重要作用，同時提高學生靈活運用函數觀點去分析和解決實際問題的能力四、課堂引入1小明家新買了幾桶墻面漆，準備重新粉刷墻壁，請問如何打開這些未開封的墻面漆桶呢？其原理是什么？2臺燈的亮度、電風扇的轉速都可以調節(jié)，你能說出其中的道理嗎？五、例習題分析例3見教材第58頁分析：題中已知阻力與阻力臂不變，即阻力與阻力臂的積為定值，由“杠桿定律”知變量動力與動力臂成反比關系，寫出函數關系式，得到函數動力F是自變量動力臂的反比例函數，當1.5時，代入解析式中求F的值；（2）問要利用反比例函數的性質，越大F越小

26、，先求出當F200時，其相應的值的大小，從而得出結果。例4見教材第59頁分析：根據物理公式PRU2，當電壓U一定時，輸出功率P是電阻R的反比例函數，則，（2）問中是已知自變量R的取值范圍，即110R220，求函數P的取值范圍，根據反比例函數的性質，電阻越大則功率越小，得220P440例1（補充）為了預防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間x(分鐘)成為正比例,藥物燃燒后，y與x成反比例(如圖)，現測得藥物8分鐘燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據題中所提供的信息，解答下列問題：(1)藥物燃燒時，y關于x的函數關系式為 ,自變量x的取值范為 ；藥物燃燒后，y關于x的函數關系式為 .(2)研究表明，當空氣中每立方米的含藥量