小學奧數(shù)平面幾何五大定律67471doc資料

1、資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除小學奧數(shù)平面幾何五大定律教學目標：1 熟練掌握五大面積模型2. 掌握五大面積模型的各種變形知識點撥一、等積模型等底等高的兩個三角形面積相等；S1S2兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；ABab如右圖 S1 : S2a : b夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；CDSACD S BCD反之，如果 S ACD S BCD ，則可知直線AB 平行于 CD 等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它

2、們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、鳥頭定理兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比如圖在 ABC 中， D , E 分別是 AB, AC 上的點如圖(或 D 在 BA 的延長線上， E 在 AC 上)，則 S ABC:SADE (ABAC) :( ADAE )ADADEEBCBC圖圖D三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關系(“蝴蝶定理” )：AS1 S1 :S2S4:S3或者 S1S3 S2S4 AO:OC S1 S2 : S4S3S2S4蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途

3、徑通過構造O模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關系與四邊形內的三角形相聯(lián)系；S3BC另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系aD梯形中比例關系 (“梯形蝴蝶定理”AS1)：S422S2 S1 : S3 a: bOa2 : b2 : ab : ab ； S1:S3: S2 :S4S3 S 的對應份數(shù)為2a b BCbword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除四、相似模型( 一)金字塔模型(二 ) 沙漏模型AEFDADFEBGCBGC ADAEDEAF ；ABACBCAG SADE： SABCAF2: AG2所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，

4、不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關的常用的性質及定理如下：相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關系相互轉化的工具在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形五、燕尾定理ABO :在三角形ABC中，AD，相交于同一點O，那么SSACOBDDCABE CF上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為ABO 和ACO的形狀很象燕子的尾巴， 所以

5、這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著FE廣泛的運用， 它的特殊性在于， 它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的O三角形面積對應底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.BDC典型例題【例 1】如圖，正方形ABCD 的邊長為6， AE1.5， CF2長方形 EFGH 的面積為HHADADEEGGBFCBFC【解析】 連接 DE ，DF ，則長方形EFGH 的面積是三角形DEF 面積的二倍三角形 DEF 的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，S DEF661.5622624.54216.5 ,所以長方形 EFGH 面積為 33word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【鞏固

6、】如圖所示，正方形 ABCD 的邊長為 8厘米，長方形 EBGF 的長 BG 為 10厘米，那么長方形的寬為幾厘米？EEABABFFDGCDGC【解析】 本題主要是讓學生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等( 長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形 ) 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接 AG ( 我們通過 ABG 把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起) 在正方形 ABCD 中， S ABG1AB AB 邊上的高，2S ABG1SWABCD ( 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半)2同理， S ABG1 SEFGB 2正方形 ABCD 與長方形 EFGB 面

7、積相等 長方形的寬88 10 6.4(厘米)【例 2】長方形 ABCD的面積為 36 cm2， E、 F 、 G為各邊中點，H 為 AD 邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？AHDEGBFC【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接BH 、 HC ，如下圖：AHDEGBFC可得： S EHB1SAHB、SFHB11S DHC ，而 SABCDS AHB S CHB S CHD 3622SCHB、SDHG1 (S21即SEHBSBHFS DHGAHBSCHBSCHD)36 18；22而SEHBSBHF SDHG所以陰影部分的面積是：解法二：特殊點法找那么圖形就可變成右圖：S陰影1BE1111SEB

8、F，SEBFBF(AB) ( BC)36 4.5 22228S陰影18 S EBF 184.513.5H 的特殊點，把 H 點與 D 點重合，AD (H)EGBFCword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除這樣陰影部分的面積就是DEF 的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有：S陰影SABCD S AEDS BEF1111111S CFD 36236223636 13.5 2222【鞏固】在邊長為6 厘米的正方形ABCD 內任取一點 P ，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與 P 點連接 , 求陰影部分面積ADA (P)DADPPBCBCBC【解析】 （法 1）特殊點法由于P 是正

9、方形內部任意一點，可采用特殊點法，假設P 點與 A 點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的1 和 1 ，所以陰影部分的面46積為 62( 11) 15 平方厘米46（法 2）連接 PA 、 PC由于PAD 與PBC 的面積之和等于正方形ABCD 面積的一半， 所以上、 下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD 面積的 1 ，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD 面積的 1 ，46所以陰影部分的面積為62( 11) 15 平方厘米46【例 3】如圖所示，長方形ABCD 內的陰影部分的面積之和為70， AB8 ， AD15 ，四邊形

10、 EFGO 的面積為ADOEGBFC【解析】 利用圖形中的包含關系可以先求出三角形AOE 、 DOG 和四邊形 EFGO 的面積之和，以及三角形AOE和 DOG 的面積之和，進而求出四邊形EFGO 的面積由于長方形 ABCD 的面積為 158 120，所以三角形BOC 的面積為 1201AOE 和30 ，所以三角形437020；DOG 的面積之和為 1204又三角形 AOE 、 DOG 和四邊形 EFGO 的面積之和為12011，所以四邊形EFGO 的面積為230430 20 10另解：從整體上來看，四邊形EFGO 的面積三角形 AFC 面積三角形 BFD 面積白色部分的面積，而三角形 AFC

11、 面積三角形 BFD 面積為長方形面積的一半，即 60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即1207050，所以四邊形的面積為6050 10word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【鞏固】如圖，長方形ABCD 的面積是 36， E 是 AD 的三等分點，AE2ED ，則陰影部分的面積為AEDAEDNMOOBCBC【解析】 如圖，連接 OE ON:NDS COE:S CDE1SCAE :SCDE1:1，所以 S OEN1根據(jù)蝴蝶定理，SOED；212OM :MA S BOE :S BAE1SBDE :SBAE1: 4，所以 S OEMSOEA11253，S OEA2S

12、 OED6，所以陰影部分面積為：11又SOEDS矩形ABCD362.7 3425【例 4】已知 ABC 為等邊三角形， 面積為 400， D 、 E 、 F 分別為三邊的中點，已知甲、 乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積 ( 丙是三角形 HBC )A甲 乙DIJFM NH 丙BEC【解析】 因為 D 、 E 、 F 分別為三邊的中點，所以DE 、 DF 、 EF 是三角形 ABC 的中位線，也就與對應的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形ABN 和三角形 AMC 的面積都等于三角形ABC 的一半，即為 200根據(jù)圖形的容斥關系，有S ABCS丙S ABNS AMCSAMHN ，即 400S丙

13、 200200SAMHN，所以 S丙 SAMHN 又 S陰影S ADFS甲S乙SAMHN ，所以 S陰影S甲 S乙S丙 S ADF1431400 43 4【例 5】如圖，已知 CD5，DE 7，EF 15， FG6 ，線段 AB 將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形ADG 的面積是AACDEFGCDEFGBB【解析】 連接 AF ， BD 根據(jù)題意可知， CF571527；DG715628；所以， S BEF15SCBF，SBEC12SCBF，SAEG21S ADG ， S AED7 S ADG，27272828word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站

14、刪除于是：21S ADG15S CBF65； 7S ADG12 S CBF38；28272827可得 S ADG40 故三角形 ADG 的面積是 40【例 6】如圖在 ABC 中， D, E 分別是 AB , AC 上的點，且 AD : AB2:5，AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面積AADDEEBCBC【解析】 連接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2:5(24):(5 4)，S ABE : S ABC AE : AC4 :7(45):(75)，所以 S ADE : S ABC(2 4):(75) ，設 S ADE8 份，則S ABC35份， S

15、ADE16 平方厘米，所以1份是 2平方厘米，35 份就是 70 平方厘米， ABC 的面積是70平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角 ) 兩夾邊的乘積之比【鞏固】如圖，三角形ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形ADE 的面積等于1，那么三角形 ABC 的面積是多少？AADEDEBCBC【解析】 連接 BE EC3AESV ABC3SV ABE又 AB5ADSV ADESVABE5 SV ABC 15 ， SV ABC 15SV ADE 15 【鞏固】如圖，三角形ABC 被分成了甲 ( 陰影部

16、分 ) 、乙兩部分， BDDC 4， BE3， AE6 ，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？AAE乙E乙甲甲BCBDCD【解析】 連接 AD BE3， AE6AB3BE ， SVABD3SVBDE又 BDDC4 ，SV ABC2 SV ABD，SV ABC 6 SVBDE，S乙甲 5Sword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【例 7】如圖在 ABC 中， D 在 BA 的延長線上， E 在 AC 上，且 AB : AD5:2，AE :EC3: 2 ， S ADE 12 平方厘米，求 ABC 的面積DDAAEEBCBC【解析】 連接 BE ， SADE : SABEAD : AB2:5

17、(23): (53)SABE : SABCAE : AC3: (32)(35): (32)5 ，所以 S ADE : S ABC(32) : 5(32)6 : 25 ，設 S ADE6 份，則 S ABC25 份， S ADE12 平方厘米，所以 1 份是 2 平方厘米，25份就是 50 平方厘米， ABC 的面積是 50 平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應角( 相等角或互補角) 兩夾邊的乘積之比【例 8】如圖，平行四邊形ABCD ， BEAB ， CF2CB ， GD3DC ， HA4AD ，平行四邊形ABCD 的面積是 2 ， 求平行四邊形ABCD 與

18、四邊形 EFGH 的面積比HHABEABEGDCGCDFF【解析】 連接 AC 、 BD 根據(jù)共角定理在 ABC 和 BFE 中，ABC 與FBE 互補，S ABCABBC111BEBF133S FBE又 S ABC1，所以 SFBE3 同理可得S GCF8 ， SDHG15 ， S AEH8 所以 SEFGHS AEHSCFGS DHGS BEFSABCD 8 8 15+3+2 36 所以 SABCD21 SEFGH3618【例 9】如圖所示的四邊形的面積等于多少？CO1313131312D121212AB【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以

19、利用旋轉的方法對圖形實施變換：word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除把三角形 OAB 繞頂點 O 逆時針旋轉，使長為13的兩條邊重合，此時三角形OAB 將旋轉到三角形OCD的位置 .這樣，通過旋轉后所得到的新圖形是一個邊長為12 的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積 .因此，原來四邊形的面積為12 12144 .( 也可以用勾股定理)【例 10】 如圖所示，ABC 中，ABC90 ， AB3 ， BC5 ，以 AC 為一邊向ABC 外作正方形ACDE ，中心為 O ，求OBC 的面積EEODDOAA33B5CB5CF【解析】 如圖，將OAB 沿著 O 點順時針旋轉9

20、0，到達 OCF的位置由于ABC90 ，AOC90 ，所以OABOCB180 而OCFOAB ，所以OCFOCB180 ，那么 B、C、 F三點在一條直線上由于 OBOF ， BOFAOC 90，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜邊BF為5 38，所以它的面積為21816 4根據(jù)面積比例模型，OBC 的面積為16510 8【例 11】 如圖，以正方形的邊AB 為斜邊在正方形內作直角三角形ABE ，AEB90， AC、BD交于 O已知 AE 、 BE 的長分別為 3cm、 5cm ，求三角形 OBE 的面積CBCBOOFEEDADA【解析】 如圖，連接DE ，以 A 點為中心，將ADE 順時針旋

21、轉90 到ABF 的位置那么 EAFEAB BAFEABDAE 90 ，而AEB 也是 90 ，所以四邊形 AFBE 是直角梯形，且AF AE 3，所以梯形 AFBE 的面積為：3 53112 ( cm2 ) 222222又因為ABE 是直角三角形，根據(jù)勾股定理，所以ABAE BE3 534S ABD1 AB217 ( cm 2 ) 2那么 S BDE S ABDS ABE S ADES ABD SAFBE 17 12 5 ( cm2) ，word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除所以 S OBE12 ) S BDE 2.5 ( cm2【例 12】 如下圖， 六邊形 ABCDEF

22、中， ABED ，AFCD ，BCEF ，且有 AB 平行于 ED ， AF 平行于 CD ，BC 平行于 EF ，對角線 FD 垂直于 BD ，已知 FD24 厘米， BD18厘米，請問六邊形ABCDEF 的面積是多少平方厘米？BGBACACFDFDEE【解析】 如圖，我們將BCD 平移使得 CD 與 AF 重合，將DEF 平移使得 ED 與 AB 重合，這樣 EF 、 BC 都重合到圖中的AG 了這樣就組成了一個長方形BGFD ，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD 的面積為 24 18432平方厘米，所以六邊形ABCDEF 的面積為 432平方厘米【例 13】 如圖，三角形A

23、BC的面積是 1， E 是 AC 的中點，點 D 在 BC上，且 BD: DC 1:2， AD與 BE 交于點 F 則四邊形 DFEC 的面積等于AAA33EEF23FEBFB1CDBCDCD【解析】 方法一：連接 CF ，根據(jù)燕尾定理，S ABFBD1S ABFAES ACFDC，S CBF1,2EC設 S BDF1份，則 S DCF2 份， S ABF3 份， S AEFS EFC3 份，如圖所標所以 SDCEF5 S ABC51212方法二：連接DE ，由題目條件可得到 S ABD1 S ABC1，11213SABD3BF1，SADES ADCS ABC3，所以SADE1223FES D

24、EF1S DEB11S BEC111 S ABC1，22323212而 SCDE211DFEC 的面積等于5 3S ABC所以則四邊形2312【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米， EC2DE ， F 是 DG 的中點陰影部分的面積是多少平方厘米 ?ADA A1DD3 FEFEx2FE33yGxyBGCB BGCCword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【解析】 設 S DEF1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示S陰影5 S BCD5平方厘米 .1212【例 14】 四邊形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O ( 如圖所示 ) 如果三角形 ABD 的面積等于

25、三角形BCD 的面積的 1，且 AO 2， DO3 ，那么 CO的長度是 DO 的長度的 _倍3ADADOH OGBCBC【解析】 在本題中，四邊形ABCD 為任意四邊形，對于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形看到題目中給出條件SV ABD : SV BCD1: 3 ，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法又觀察題目中給出的已知條件是面積的關系，轉化為邊的關系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個”不良四邊形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面積比轉

26、化為高之比再應用結論：三角形高相同， 則面積之比等于底邊之比，得出結果請老師注意比較兩種解法，使學生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題解法一： AO : OC S ABD:SBDC1: 3 ，OC2 3 6 ，OC :OD 6:32:1 解法二：作 AHBD于H，CGBD于GS ABD1S BCD ， AH11SDOC，3CG， S AOD331，OC 2 36 ，OC : OD 6:32:1 AOCO34 個三角形，其中三個三角形的面積已知，【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成求：三角形 BGC 的面積； AG :GC ？AD12 3GBC【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，

27、SVBGC12 3 ，那么 SVBGC6 ；根據(jù)蝴蝶定理，AG :GC12 : 36 1:3【例 15】 如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于O 點， CEF 、 OEF 、 ODF 、 BOE 的面積依次是2、4、 4 和 6 求：求 OCF 的面積；求GCE 的面積 ADOFGBECword 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除【解析】 根據(jù)題意可知， BCD 的面積為 244616 ，那么 BCO 和 CDO 的面積都是 16 28，所以OCF 的面積為 8 44；由于 BCO 的面積為8， BOE 的面積為6，所以 OCE 的面積為 8 62 ，根據(jù)蝴蝶定理，EG:FGS CO

28、E :S COF2 : 41: 2，所以 S GCE :S GCFEG:FG 1:2，那么 S GCE1 SCEF1 221233【例 16】 如圖，長方形ABCD 中， BE : EC2:3 ， DF : FC1: 2 ，三角形 DFG 的面積為 2 平方厘米，求長方形 ABCD 的面積ADADGGFFBECBEC【解析】 連接 AE ， FE 因為 BE:EC2:3 ， DF :FC1: 2，所以 SVDEF( 311) S長方形 ABCD1 S長方形 ABCD 153210因為 SVAEDAG :GF115:1 ， 所 以 SVAGD 5SVGDF 10平方厘米，所以S長方形 ABCD

29、，2:210S AFD 12平方厘米因為SVAFD1 S長方形ABCD，所以長方形ABCD的面積是72平方厘米V6【例 17】 如圖，正方形ABCD 面積為3 平方厘米， M 是 AD 邊上的中點求圖中陰影部分的面積BCGAMD【解析】 因為 M 是 AD 邊上的中點，所以AM :BC1: 2，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道S AMG : S ABG : SMCG : S BCG2 （）（）21: 2:2:4，設 SAGM1份，則 S MCD1 2 31: 12 : 12 : 2份，所以正方形的面積為 122 4陰影2 2 4份，所以S陰影 : S正方形1: 3，所以3 12份， SS陰影1平方厘米

30、【鞏固】在下圖的正方形ABCD 中， E 是 BC 邊的中點，AE 與 BD 相交于 F 點，三角形BEF 的面積為 1 平方厘米，那么正方形ABCD 面積是平方厘米word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除ADFBEC1:2，根據(jù)蝴蝶定理得 S梯形（129(平方厘米)，【解析】連接 DE ，根據(jù)題意可知 BE:AD2）S ECD 3 ( 平方厘米 ) ，那么 SWABCD12 ( 平方厘米 )【例 18】 已知 ABCD 是平行四邊形， BC : CE 3: 2 ，三角形 ODE 的面積為 6 平方厘米則陰影部分的面積是平方厘米ADADOOBCEBCE【解析】 連接 AC 由于 ABCD 是平行四邊形， BC : CE3:2，所以 CE:AD2:3 ，根據(jù)梯形蝴蝶定理，SV COE : SV AOC : SV DOE : SV AOD22:23: 23: 324:6:6:9，所以 SV AOC6 ( 平方厘米 ) ， SV AOD9 ( 平方厘米 ) ，又 SV ABCSV ACD69 15 ( 平方厘米) ，陰影部分面積為6 15 21( 平方厘米 ) 【鞏固】右圖中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示( 單位：平方厘米 ) ，陰影部分的面積是平方厘米ADAD992121O44BECBEC【分