拋物線經(jīng)典編輯性質情況總結

1、拋物線拋物線ly( fl2 2pxP 0)y(A2p2px0)x(y 102 2pyP 0)上xlx2 (F y2py )0)LlO/F定義平向內(nèi)與一個定點F和一條定直線l日勺距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。m IMF |=點M到直線l的距離范圍x0,y Rx 0,y Rx R, y 0x R,y 0對稱性關于x軸對稱關于y軸對稱隹百八、八、(p,0)(a(0，i)。學焦點在對稱軸上頂點0(0,0)離心率e=1準線方程x號x_p2y 1y 1準線與焦點位于頂點兩側且到頂點的距離相等。頂點到準線的距離2焦點到準P線的距離焦半徑A(xi, yi)AF x

2、1 -2AF x1 2AFy1pAFyi p焦點弦長1ABi(Xi X2) p(Xi X2) p(yi y2)p(yi y2)p焦點弦AB的幾條性質BM, y2)若AB的傾斜角為,則|AB 3-sin若AB的傾斜角為 ，則|AB 22 cos2P2XiX2yy2P4ii AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切線方程yy p(X X。)yyp(X Xo)XoXp(y y。)xxp(y y。)A(。y)以AB為直徑的圓必與準線l相切1.直線與拋物線的位置關系直線/?二依+*拋物線= 2%y-bcb1消丫得./+2國-露/鐘=0y 1 rzj y(1)當k=0時，直線l與拋物線

3、的對稱軸平行，有一個交點；(2)當 kw0 時，A 0,直線l與拋物線相交，兩個不同交點；A=0 ,直線l與拋物線相切，一個切點；A 0)的焦點為F,準線為1,經(jīng)過F的直線與拋物線交于A、B兩點，交準線于C點，點A在x軸上方，AKX1,垂足為K,若|BC| = 2|BF|,且|AF| = 4,則9KF的面積是()A. 4B. 3/3C. 4mD. 8例4、過拋物線y2 = 2px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B,交其準線1于點C,若|BC| = 2|BF|,且|AF| = 3則此拋物線的方程為()A. y2 = gxB. y2 = 9xC. y2 = jxD. y2=3x三、拋物線的綜

4、合問題例5、(2011 江西高考已知過拋物線y2 = 2px(p0)的焦點，斜率為2，2的直線交拋物線于 A(xi, yi), B(x2, y2)(xi0)上，M點到拋物線C的焦點1F的距離為2 ,直線l: y= x+ b與拋物線C交于A, B兩點.(1)求拋物線C的方程；若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程.練習題1 .已知拋物線x .拋物線y= 4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是 () = ay的焦點恰好為雙曲線 y2 x2=2的上焦點，則a等于A. 1B. 4C. 8D. 1617A.一1615B.167C.一 1615D.一 163. (2011 遼寧高考已知F是

5、拋物線y2 = x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,|AF| + |BF| = 3,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為B. 15 C.一47D.一44.已知拋物線y2 = 2px ,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是A.相離B.相交C.相切D.不確定5 . (2012 宜賓檢測已知F為拋物線y2 = 8x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線于 A、 B 兩點，則|FA| |FB|的值等于()A. 4屯B. 8 C. 8/2D. 166 .在y = 2x2上有一點P,它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是()A. ( 2,1)B. (1,2) C. (2,1) D

6、. (1,2)7 . (2011 陜西高考設拋物線的頂點在原點，準線方程為x= 2,則拋物線的方程是()A. y2 = 8x B. y2 = 8x C. y2 = 4xD. y2 = 4x8 . (2012 永州模擬以拋物線x2=16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的 圓的方程為9 .已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為 y軸，拋物線上一點Q(-3, m)到焦點 的距離是5 ,則拋物線的方程為 10 .已知拋物線y2 = 4x與直線2x + y 4 = 0相交于A、B兩點，拋物線的焦點 為 F,那么 | Fur | 十| FBu | =.11 .過拋物線y2 = 4x的焦點作直線交拋物線于 A

7、(x1, y1), B(x2, y2)兩點,若x1+x2=6,那么|AB|等于12 .根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程：(1)拋物線的焦點是雙曲線16x29y2 = 144的左頂點；過點P(2, -4).13 .已知點A(1,0), B(1, 1),拋物線C： y2 = 4x, O為坐標原點，過點 Auuuu的動直線l交拋物線C于M ,P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量OMuuu九與OP的夾角為一，求4POM的面積.4參考答案:一、拋物線的定義及其應用例1、(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0),準線是x=1.由拋物線的定義知：點P到直線x= 1的距離等于點P到焦點F的距離.于是，

8、問題轉化為：在曲線上求一點 P,使點P到點A(1,1)的距離與點P到 F(1,0)的距離之和最小.顯然，連結 AF交曲線于P點，則所求的最小值為|AF|, 即為-一 15.如圖，自點B作BQ垂直準線于Q,交拋物線于點P1,則|P1Q|=|P1F|.則有 |PB| + |PF|P1 B|+ |P1Q| = |BQ| =4.即|PB| 十 |PF|的最小值為 4.例2、解析：圓心到拋物線準線的距離為 p,即p = 4,根據(jù)已 知只要|FM|4 即可.根據(jù)拋物線定|FM | = y0 + 2由y0 + 24 ,解得y02 ,故y0的取值范圍 是(2, +oo).二、拋物線的標準方程和幾何性質例3、設

9、點A(x1, y1)，其中y10.由點B作拋物線的準線的垂線，垂足為 B1.則|BF| = |BBi|;又|CB| = 2|FB|,因此有 |CB| = 2|BBi|, cos/CBBi|BBi|BC|1冗7tp, /CBBi=.即直線AB與x軸的夾角為占.又|AF| = |AK| = x+ = 4,因此y1 = 4sin；=2/3，因止匕AKF 的面積等于:|AK| y1 =；x4 X2，3 = 4a/3.例4.分別過點A、B作AAi、BBi垂直于l,且垂足分別為Ai、Bi,由已知條件|BC| 二 2|BF|得|BC| = 2|BBi|, .zBCBi = 30 , 4AAi| = |AF|

10、 = 3, .|AC| = 2|AAi| = 6,.|CF|=|AC|AF| = 6 3 = 3,F 為線段 AC 的中點.故點F到準線的距離為p=2|AAi| = 21，故拋物線的方程為y2 = 3x.三、拋物線的綜合問題例5、直線AB的方程是y = 2/2(x 2),與y2=2px聯(lián)立，從而有4x2 5px5P+ p2 = 0,所以：xi + x2=一,由拋物線定義得：|AB| = xi+x2+p = 9,4所以p=4,從而拋物線方程是y2=8x.由 p = 4,4x2 5px + p2 = 0 可簡化為 x2 5x + 4 = 0,從而 xi = 1 , x2 = 4, yi=2/，y2

11、 = 4也，從而 A(1, -2/2), B(4,4/2)；設 OC = (x3, y3)=(1, 一 2田)+ 乂4,43)=(4 入 + 1,4迫 入一2必).又 y3 = 8x3,即2隹(2 人一1)2 = 8(4 入 + 1).即(2人1)2 = 4入 + 1.解得人=0,或入=2.例6、(1)設動點P的坐標為(x, y),由題意有x 1 2 + y2 |x|=1.化簡得y2=2x+2|x|. 當 x0 時，y2=4x；當 x0)ffiy = 0(x8 + 4X2k2k2k2 1 = 16.k2uuur uuu當且僅當k2 = -,即k=1時，AD EB取最小值16. k2P例7、(1

12、)拋物線y2 = 2pX(p0)的準線為x= 2,由拋物線定義和已知條件可知P P|MF | = 1 (- 2)= 1 + 2= 2,解得P = 2,故所求拋物線C的方程為y2 = 4x.y 二一二x+b,(2)聯(lián)立 2y2 = 4x消去x并化簡整理得y2 + 8y 8b = 0.依題意應有 A= 64 + 32b0 ,解得 b2.設 A(xi , y1)，B(X2, y2),則 y1+ y2 = 8, y1y2 = 8b,設圓心 Q(xo,X1 + X2y1+y2y0),則應用 X0=2 ，y0=2 二一 4.因為以AB為直徑的圓與X軸相切，所以圓的半徑為r=|y0| = 4.又 |AB|

13、= y xi X2 2+ y 1 y2 2 = yj 1 + 4y1 一 y2 2 二yJ5yi + y22 4yiy2 =yj564 + 32 b所以 |AB| = 2r=0),則一 2 = -3,口=6, ,拋物線方程為 y2 = - 12x.=mx或x2 = ny ,代入P點坐標求得 m = 8,所求拋物線方程為y2=8x或x2= y.y2y213 .解：設點 MC4, y)，Pg, y2),.P, M, A三點共線,.kAM = kPM ,y1y1一y2y11即 2=22，即 2，二y2y2 y2y2+ 4 y1+y2+ 1 444uuuu unny2 y2uOM OP= + y1y2 = 5；.向量 O 4 4.| 揣什器 |cos：=5.，Szpom =；| OM? |n = 1,y1y2 = 4.撒與03的夾角為:， 4| OP | sin-=5.4 2(2)由于