等時(shí)圓模型最新最全)

1、“等時(shí)圓”模型的規(guī)律及應(yīng)用等時(shí)圓模型（如圖所示）等時(shí)圓規(guī)律:1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時(shí)間 相等。（如圖a）2、小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時(shí)間相 等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（ d ）自由落 體的時(shí)間，即（式中R為圓的半徑。）三、等時(shí)性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加B，圓的直徑為d （如右速度為a=gsin，位移為s=dsin：，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為to 二gsin：: g2d sin ： 2d即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角

2、、長短無關(guān)。四、應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題例1：如圖1,通過空間任一點(diǎn)A可作無限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn) A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所 在位置所構(gòu)成的面是（）A.球面B.拋物面C.水平面D.無法確定【解析】：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一 “等時(shí)圓” 上, 所以A正確。例2：如圖2,在斜坡上有一根旗桿長為L，現(xiàn)有一個(gè)OB=L求小環(huán)從A滑到B的時(shí)間。小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲 AB滑至斜坡底部，又知【解析】：可以以0為圓心，以L為半徑畫一個(gè)圓 根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律可知，從 A滑到B的時(shí)間等于從A點(diǎn)沿直徑到底端D的時(shí)間，所以有AB =

3、tAD例3:如圖5所示，在同一豎直線上有 A、B兩點(diǎn)，相距為h, B點(diǎn)離地高度為 H，現(xiàn)在要 在地面上尋找一點(diǎn) P,使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn) P安放的光滑木板，滿足物體從靜止開始分別由A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求0、P兩點(diǎn)之間的距離0P 。解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時(shí)圓周上，且 P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí),即能滿足題設(shè)要求。如圖6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為:所以O(shè)PR2-（h）2=,H(H h)B例4:如圖7, AB是一傾角為B的輸送帶， 與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在PP處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向夾角應(yīng)

4、為多大?PB0)0圖7解析：借助“等時(shí)圓”，可以過 P點(diǎn)的豎直線為半徑作圓，要求該圓與輸送帶 AB相切, 如圖所示，C為切點(diǎn)，0為圓心。顯然，沿著 PC弦建立管道，原料從 P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間 與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從 P處到達(dá)輸送帶上所 用時(shí)間最短，需沿著 PC建立管道。由幾何關(guān)系可得： PC與豎直方向間的夾角等于 0 / 2 。三、“形似質(zhì)異”問題的區(qū)分1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？卩，小滑環(huán)分別從t bd=解析：bd的長為 2Rcos0 , bd面上物體下滑的加速度

5、為4Rcosv=2 1L?？梢?t與0有關(guān)。:geos： - 'gsinvg -丄gtanv2、如圖9，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板 aO 圓心0,而上端則擱在倉庫側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為 小孩同時(shí)從a、b、c處開始下滑（忽略阻力），則（bOa=gcos 0 - gsin 0 ,cO,其下端都固定于底部3O0、450、600。若有三個(gè)ba0A a處小孩最先到O點(diǎn) B 、b處小孩最先到O點(diǎn)C c處小孩最先到 O點(diǎn) D 、a、c處小孩同時(shí)到 O點(diǎn)解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上,R 122 4R所以下滑時(shí)間不一定相等。設(shè)圓柱底面

6、半徑為R,則 R =2 gsin 0 t2, t2= 4R ，當(dāng)cos日 2g sin 200 =450時(shí)，t最小，當(dāng)0 =300和600時(shí)，sin2 0的值相等。例3:如圖3,在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（2L） 定 的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間 是多少？【解析】： 一 =gsin 0 t2 , t 2=4L，當(dāng) 0 =450時(shí)，t 最小cos 日 2g sin 2日訓(xùn)練1、如圖所示，oa、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，0、a、b、c、d位于同一圓周上,d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，c

7、點(diǎn)為最低點(diǎn).每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫出）,三個(gè)滑環(huán)都從o點(diǎn)無初速釋放，用 、依次表示滑）環(huán)到達(dá)a、b、c所用的時(shí)間，則(w=也=打 b均加C.D./| > > #3答案詳解D解：以0點(diǎn)為最高點(diǎn),取合適的豎直直徑 oe作等時(shí)圓,交ob于b,如圖所示，顯然o到f、b、g、e才是等時(shí)的，比較圖示位移(XI > ofor < ofj故推得,選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤,D正確.2、身體素質(zhì)拓展訓(xùn)練中，人從豎直墻壁的頂點(diǎn) A沿光滑桿自由下滑傾斜的木板 上(人可看做質(zhì)點(diǎn))，若木板的傾斜角不同，人沿著三條不同路徑AB AC AD滑到木板上的時(shí)間分別為11、t 2、t 3,若已知AB AC

8、 AD與板的夾角分別為70°、 90° 和 105°，貝9()A. t 1>t 2>t 3 B. t 1<t2<t3 C. t 1= t2=t3D.不能確定t 1、t 2、t 3之間的關(guān)系解析：若以O(shè)A為直徑畫圓，如圖，則 AB交圓周與E點(diǎn)，C點(diǎn)正好在圓周上，D點(diǎn)在圓周之 內(nèi)，AD的延長線交圓周與 F點(diǎn)，設(shè)AC與 AO的夾角為a，根據(jù)牛頓第二定律得人做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為:a=gcos a則可知人從A到C得時(shí)間為:2 AO cos，可知與斜面的傾角無關(guān)，即人從A帶你滑到ECF的時(shí)間是相等的，則可知人從A點(diǎn)滑到BCD的時(shí)間關(guān)系t

9、1>t2>t3,故A正確；故選：A3、豎直正方形框內(nèi)有三條光滑軌道 OB 0C和OD三軌道交于0點(diǎn)，且與水平方向 的夾角分別為30。、45。和60。現(xiàn)將甲、乙、丙三個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球同時(shí)從0點(diǎn)靜止釋放，分別沿OB 0C和0運(yùn)動(dòng)到達(dá)斜面底端。則三小球到達(dá)斜面底端的先后次 序是hsinGO41乙下滑的時(shí)間f乙“斗一pdnJ46°丙下滑的時(shí)間為f丙二計(jì)C.甲、丙同時(shí)到達(dá)，乙后到達(dá)A. 甲、乙、丙 B.丙、乙、甲D.不能確定三者到達(dá)的順序設(shè)斜面的傾角為0 r則下滑的加速度廬晉嚴(yán)利站,甲下滑的位移為甲二蠱卩丙不滑的位移咋乙下滑的位' = V .根據(jù)z如"得，2討丸

10、可知下滑的時(shí)間學(xué)汀一忖r故丙最先j乙梢后甲最后j故P正確4、如圖所示，地面上有一固定的球面，球半徑為R,球面的斜上方P處有一質(zhì)點(diǎn)（P與球心0在同一豎直平面內(nèi)）.已知P到球心0的距離為L,P到地面的垂 直距離為H,現(xiàn)要使此質(zhì)點(diǎn)從靜止開始沿一光滑斜直軌道在最短時(shí)間內(nèi)滑到球面上,求所需的最短時(shí)間解:(1)求證：如圖所示小球從豎直平面的半徑為R'的圓的頂點(diǎn)，沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)到任何方向圓外邊緣，任取一條軌道PQ,PQ與水平面的夾角為由三角關(guān)系得PQ的長度為由牛頓第二定律得，沿光滑斜面下滑的加速度為由位移時(shí)間公式得運(yùn)動(dòng)時(shí)間:/2x27?'.szr?<I>Vg中t?強(qiáng)即運(yùn)動(dòng)時(shí)間與角度無關(guān)，故對應(yīng)任何軌道的時(shí)間均相同(2)作