第六章定積分資料

1、第六章定積分前一章討論了已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如何求原來的函數(shù)，這樣一個(gè)積分學(xué)的基本問題-不定積分。這一章將討論積分學(xué)的另一個(gè)基本問題一一定積分本章的主要問題有：1什么是定積分？2. 定積分有哪些性質(zhì)？3. 定積分與不定積分有何關(guān)系？4. 如何計(jì)算定積分和應(yīng)用定積分 ？§ 6.1+ § 6.3定積分的概念與基本性質(zhì)主要教學(xué)內(nèi)容：（1）引出定積分概念的例子；（2）定積分的概念；（3）定積分的幾何意義；（4）定積 分的基本性質(zhì)；教學(xué)目的及要求：使學(xué)生理解定積分的定義與基本性質(zhì)；重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施 重點(diǎn)、難點(diǎn)：連續(xù)變量的累積，定積分的性質(zhì) 解決措施：用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解抽象的概念

2、 教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì)：講授法一、引出定積分概念的例子1. 曲邊梯形的面積定義；在直角坐標(biāo)系中，由一條連續(xù)曲線y=?（x）和三 條直線x = a、x = b和y = 0 （x軸）所圍成的圖形，稱為 曲邊梯形，如右圖AabBA （與直邊梯形 AabB的區(qū)別）。 問題：當(dāng)y = ?（x） > 0時(shí)，曲邊梯形AabB的面積怎么求呢中學(xué)里會(huì)求直邊多邊形（特別是矩形）的面積，下面利用矩形的面積來求曲邊梯形AabB的面積.分析：?jiǎn)栴}的難度在于曲邊梯形AabB的高對(duì)整個(gè)區(qū)間a，b來說是一個(gè)變量，其最大值與最小值之差較大；從 區(qū)間a，b的一個(gè)局部（小區(qū)間）來看，它也是一個(gè)變量； 但因？（x）連續(xù)，從而當(dāng)

3、Xi 0時(shí)， y t 0,故可將此區(qū)間的高近似看為一個(gè)常量，從而此區(qū)間對(duì)應(yīng)的小窄曲邊梯形CEFH的面積近似等于小窄矩形DEFH的面積.因而，如果把區(qū)間a, b任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間，并在每一個(gè)區(qū)間上任取一點(diǎn)，再以該點(diǎn)的高來近似代替該小區(qū)間上窄曲邊梯形的高，從而每個(gè)窄曲邊梯形就可近似地視為一個(gè)小窄矩形，而且全部窄矩形的面積之和也可作為曲邊梯形面積的近似值要想得精確值，只需區(qū)間a，b的分法無限細(xì)密(即每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度 x t0時(shí)，全部窄矩形的面積之和的極限一定是曲邊梯 形面積的精確值從而可用下述方法和步驟來求曲邊梯形的面積：第一步：分割；用分點(diǎn)a = X。:：: xi :：:：Xn=b將區(qū)間a，b

4、任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Xi =Xi -XiA ,過每個(gè)分點(diǎn)作垂直于X軸的直線，將曲邊梯形分成 n個(gè)窄曲邊梯形。第二步：近似、求和；小矩形面積、小曲邊梯形面積：Sif( O ：Xi , Xid < ASi =7 f( i).汶。第三步：求極限。記各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度為h = maxAXj，當(dāng)分點(diǎn)數(shù) n無限增大且各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度1豈勺.=max X > 0對(duì)上述和式取極限就得曲邊梯形的面積，即1 <<1nS 二 lim ' f( J"7 i 2. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)速度為v=v(t),求物體在時(shí)間區(qū)間a,b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s.第

5、一步：分割；用分點(diǎn)a二to : h ：tn =b將區(qū)間a,b任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 ':t i = ti - ti 4 ,第二步：近似、求和；在區(qū)間ti4,ti上任取一時(shí)刻i (tij,ti)，將物體看成在時(shí)間內(nèi)ti4,ti以V( i)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即=Si ：、V(.i)Lti第三步：求極限。記各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度為<：.-max . ：ti，當(dāng)分點(diǎn)數(shù) n無限增大且各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度1<n =max . xi > 0對(duì)上述和式取極限就得物體在時(shí)間區(qū)間a,b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s.即1上述兩個(gè)問題都?xì)w結(jié)為同一結(jié)構(gòu)的和的極限, 積分的概念。我們抽象出它的一般

6、形式進(jìn)行討論，就得到定、定積分的概念1. 定積分的定義：(定義6.1p232)設(shè)？(x)在a, b上有定義，點(diǎn)a = X。：:： x1 :：xn=b將區(qū)間a, b任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間；每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為= Xi - Xi 4 ,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(xiJ i巴Xi )作和式S f(d®,若當(dāng)k =max&TO時(shí),Sn有確定的極限值I,且I與區(qū)間a, b的分法和©的 i±1魚取法無關(guān) 則稱函數(shù)？(x)在區(qū)間a, b上可積，并稱此極限值I為？(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記為bbnf(x)dx,即 f(x)dx = im 送 f(：)Axi。aa其中

7、?(x)為被積函數(shù)，?(x)d x稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分n上限，a, b稱為積分區(qū)間，$=送f(3)$i稱為積分和。2. 上述兩個(gè)引例的定積分表示b(1) 曲邊梯形的面積： S f (x)dxb(2) 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 s v(x)dxa3. 注意(1 )，o=n > :;反之n不能推出，> 0。極限過程 >o,既保證了分點(diǎn)個(gè)數(shù)無限增多(n > ：),又保證了區(qū)間分割無限細(xì)密(即所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于0).(2 )定積分的存在性(充分條件)i若？(x)在區(qū)間a, b上無界，則？(x)在a, b上必不可積.ii. 若？(x)在區(qū)間a,

8、 b上連續(xù),則？(x)在a, b上可積.iii. 若?(x)在區(qū)間a, b上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則？(x)在a, b上可積.b(3)若？(x)在區(qū)間a, b上可積，則定積分f(x)dx是一常數(shù)，它只與被積函數(shù)、積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即bbbf (x)dx f (t)dt f (u)du =aaaaba(4)規(guī)定 b f(x)dxf(x)dx,特別地，f (x)dx = 0a(5) ?(x)在區(qū)間a, b上可積的充要條件是極限(常數(shù))，且此極限值與a, b的bf (x)dx，則可選擇較為方便 a：(2x - 3)dx =lim.16(11)12 =28 n分法和i的取

9、法無關(guān)，因此，對(duì)于可積函數(shù)?(x),若要用定義來計(jì)算 的區(qū)間分法(等分區(qū)間)和 i的取法(左(或右)端點(diǎn))，使得計(jì)算簡(jiǎn)便。4例1利用定積分定義計(jì)算定積分0 (2x：；'3)dx .解 因？(x)=2x+3在0, 4上連續(xù)，故它在a,b上可積，從而可將區(qū)間0, 4特殊劃分并特殊取點(diǎn).不妨在區(qū)間0, 4內(nèi)插入n個(gè)等分點(diǎn)務(wù)=色° =1,2,.n)分成n個(gè)小區(qū)間，取右端點(diǎn)為 n ''nnnnSn =無 f ( hxf (x )ix =送(2x +3)鳥 =送(2+3)i 仝i 攵iinn4= 丄4二丄24n(n +1)丄 2八(8i 3n)2(8' i 3n

10、)2(83n )ni±n i 土n21=16(1) 12n三、定積分的幾何意義當(dāng)f (x) _o且a<b時(shí)，定積分J f(x)dx表示一個(gè)在x軸上方的曲邊梯形的面積。當(dāng)f(x) <0且a < b時(shí)，定積分f (x)dx 表 示一個(gè)在x軸下方的曲邊梯形的面積的相反數(shù)b當(dāng)？(x)在a, b上有正有負(fù)時(shí),定積分a f(X)dx的值就是x軸上方的曲邊梯形的面積與x軸下方的曲邊梯形的面積的代數(shù)和四、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1:bbkf(x)dx =kf (x)dx,(k為常數(shù))；性質(zhì) 2: alf(x)_g(x)dx = j f(x)dx 亠 I g(x)dx推廣(線性性質(zhì))：b

11、bbbki fi(x) +k2f2(x) +kn fn(x)dx =ki fi(x)dx+k2 f f2(x)dx+.+kn fn (x)dx性質(zhì)3 (可加性)：對(duì)任意c,有& f (x)dx = & f (x)dx亠I f (x)dx推廣：bC|C2C3ba f (x)dx = a f(x)dx c f (x)dx c f (x)dx c f (x)dx123性質(zhì) 4:若 f (x) KO，且 a Vb，貝y j f (x)dx HO推論 1: f (x) _g(x), ! f (x)dx _ a g(x)dx推論 2： f f (x)dx 蘭 f|f(x)dxaab性質(zhì) 5

12、：若 f(x)=1,則 dx =b - a性質(zhì) 6:若 m _ f (x) _M，貝U m(b a)乞 f (x)dx(b a)幾何意義：區(qū)間a, b上方以曲線y =?(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，介于以a,b為底、以被積函數(shù)?(x)的最小值m及最大值M為高的兩個(gè)矩形的面積之間.性質(zhì)7:(積分中值定理)設(shè) f Ca,b，則在a,b上至少存在一點(diǎn)，使得f (x)dx = f ( )(b-a)(a- b)a幾何意義：區(qū)間a ,b上方以曲線y =?(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，等于以區(qū)間a, b為底、以 ?( E)為高的這個(gè)矩形的面積f( )1 f(x)dx稱為?(x)在a, b上的平均值。b _a

13、 a例試比較下列各組中定積分之大小1 1 2 2 2 2(1) o xdx, o x dx ； (2)1 xdx, i x dx ；作業(yè) p2662 (4)、3 (2)§.4定積分與不定積分的關(guān)系主要教學(xué)內(nèi)容：(1)變上限的積分及其導(dǎo)數(shù)；(2)微積分基本公式；教學(xué)目的及要求：使學(xué)生理解變上限的積分的概念，掌握其導(dǎo)數(shù)的求解方法，熟練掌握用微積分基本公式求不定積分；重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施：重點(diǎn)：微積分基本公式；難點(diǎn)：變上限的積分及其導(dǎo)數(shù)；解決措施：用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì)：講授法一、變限的積分函數(shù)1、變上限積分函數(shù)：f x在區(qū)間a,b上連續(xù)，區(qū)間a,b上的任意一點(diǎn)x ,因?yàn)閒

14、 x在區(qū)間a , b上連續(xù)，則f x在區(qū)間a,x連續(xù)，即在區(qū)間a,x上的定積分一定存在，即ff xdx存在，當(dāng)x變化時(shí)，f xdx也變化，因此，它是定義在a , b上的函數(shù)，記為 P(x) = f(t)dt a,b，稱為變上限函數(shù)或稱為積分上限函數(shù)。2、變上限積分函數(shù)的性質(zhì)x定理6.1:設(shè)函數(shù)f Ca,b，則變上限積分 p(x)二f(t)dt可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為ap'(x) d ；f (t)dt =f(x) dx a證明：見教材 p2393、原函數(shù)存在定理x定理6.2:若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則變上限積分a f(t)dt是f (x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)。推論1若?(x)在a, b上

15、連續(xù)，(x)在a, b上可導(dǎo)，貝Ud -'(x)a f(t)dt=f【(w(x) ®(x)dx a推論2若?(x)在a, b上連續(xù)，(x)、2 (x)在a, b上可導(dǎo)，貝Ud2(x)f (t)dt 二 f ( ：2 (X)；(x) -f( l(x) i'(x)dx 'i(x)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(2) y =cos2tdt ；xcos x t 2(4) ye dtsin x("、二；e2tdt ；x2(3) y = x sin tdt ；1上2edt1例2求極限lim y1xT x22e課堂練習(xí)：P2688題、牛頓一萊布尼茲公式(微積分基本公式)定

16、理6.3:設(shè)函數(shù)f Ca,b，函數(shù)F(x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則ff(x)dx = F(x)； = F(b)-F(a)b證明：p(x) f (t)dt也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。故 p(x)-F(x)=c，求出c=-F(a)即可證a明。見教材p241bb牛頓一萊布尼茲公式當(dāng)然也可寫作a f (x)dx = Jf(x)dx a它不僅給出了計(jì)算定積分的統(tǒng)一、簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，而且也揭示了不定積分與定積分在計(jì)算方法上的關(guān)系例3.求下列定積分寸a21. 2-dx； 2 4 xex dx； 3. f|2x-4|dx x例4.(見教材p242例5)1 1例 5.設(shè) f (x)在0, 1上連續(xù)，且滿足 f

17、 (x) = x 0 f (x)dx - 1，求 0f (x)dx及 f (x)。1 1 1 1 1解:jf (x)dx= 0xf (t)dt 1dx= f (t)dt xdx 11 1 1 1=2 °f(t)dt-1 = 2 °f(x)dx-11 因此，0f (x)dx = -2, f (x) - -2x -1.注意喏f(x)在a,b上不可積，則定理6.3不可用，例如1 1 dx，函數(shù)f(x)=丄在x=0處不連續(xù). X2xi/4課堂練習(xí)： 已知 f(n) = ° tannxdx，求 f(4) f (6)( =1/5)三、小結(jié)掌握變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及牛頓一萊布尼

18、茲公式求定積分的求解方法；并注意其使用條 件與帶有絕對(duì)值的定積分的計(jì)算。作業(yè) p2664 、5( 10)( 12)( 14)、9§.5+ 6.6定積分的換元積分法與分部積分法主要教學(xué)內(nèi)容：(1)定積分的換元積分法；(2)定積分的分步積分法；教學(xué)目的及要求：使學(xué)生掌握定積分的性質(zhì)；重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施：重點(diǎn)：熟練運(yùn)用換元積分法與分步積分法；難點(diǎn)：靈活運(yùn)用換元積分法與分步積分法；解決措施：用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解抽象的概念教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì)：講授法由牛頓一萊布尼茲公式知：計(jì)算定積分bf(x)dx的關(guān)鍵在于求出？(x)在a, b上的一個(gè)原函數(shù)aF(x);而由第五章知求函數(shù)的原函數(shù)(即不定積分)

19、的方法有湊微分法、換元法和分部積分法 因而在一定條件下，也可用這幾種方法來計(jì)算定積分一.湊微分法因用湊微分法計(jì)算不定積分時(shí)自始至終沒有引入新變量，故用湊微分法計(jì)算定積分時(shí)，也應(yīng)自始至終不改變積分限下面舉例說明例1求0X+x2dx二. 換元積分法定積分的換元公式：設(shè) ？(x)在a, b上連續(xù)，令X = ：(t)如果(1) (t)在a , 3 上單調(diào)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(a )= a, (3 )= b,貝y:f(x)dx = ；f(t)F'(t)dt證明在應(yīng)用換元公式計(jì)算定積分時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：(1) 所選擇的代換式x= (t)必須滿足定理中的兩個(gè)條件；(2) 換元積分的關(guān)鍵是換限.記

20、住 上限對(duì)上限，下限對(duì)下限”； 求出 f :(t) (t)的一個(gè)原函數(shù)F：:(t)后，不必象求不定積分那樣把(t)還原成x的函數(shù)，而只須直接將t的上、下限代入相減即可例2.求下列積分2二2l5(1) 0 cos xsin xdx(=1/6)(2)8 dx(=3ln3)例3求a2 - x2dx (a 0)2二 a(=2)例4.證明：(1)若f Ca,b，且為偶函數(shù)，則aa(x)dx = 2 0 f(x)dx(2)若 f Ca,b，且為奇函數(shù)，則 f(x)dx=o。a利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的計(jì)算。 例5求下列定積分1. 1(x2 2X-3 dx ；2.；丞警 dx1 +

21、x.丄2課堂練習(xí)：(1)11印X (=仝)(2) f"r-1x-13dx (=)；x- dx (二 3-3)1 x3三. 分部積分法設(shè)u=u(x)與v=v(x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則baudv = u. ba - a VdU注意：(1) fudv = uv ； - fvdu 二 fuv'dx = uv ；fvu'dx(2) 用分部積分法計(jì)算定積分，因沒有引入新的變量，故在計(jì)算過程中自始至終均不變限,u、 v的選擇與不定積分的分部積分法相同例7 .求下列定積分兀1牙 x1、0 xcosxdx ； 2、0arcsin xdx ； 3、(dsin xdx課堂練習(xí)：e 1I

22、n 21(1)0 In(X 1)dx ； (2)0 xe_dx=2(l_| n2)； °exdx=2e -1e-1”解 1 原式=xln(x 1)|o - 0 *fdx 二e-1-0 (1-f)dx二e-1 -x-l n(x 1)|防=11例 8 設(shè) f (x)在0,1上連續(xù)，且 f(0)=1, f (2)=3 ,(2)=5，求 0xf (2x)dx.解：°xf (2x)dx = 1 0xdf (2x) kf (2x) 0-* 0 f (2x)dxJf(2)f(2x)0 =5-lf (2) - f(0)丄 22424五、小結(jié) 1注意定積分的換元積分公式以及換元一定要換限；2

23、注意定積分的分部積分公式以及u、v的選擇原則。作業(yè) p2666 (3) (7) (10)、7 (3) (6) (8)、13§ 6.7 定積分的應(yīng)用主要教學(xué)內(nèi)容 :(1) 平面圖形的面積 ; (2) 立體的體積 ;( 3)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用；;會(huì)用定積分解決經(jīng)濟(jì)問教學(xué)目的及要求 : 使學(xué)生掌握用定積分求平面圖形的面積和立體的體積 題;重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施 :重點(diǎn) : 定積分在幾何與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用；難點(diǎn) : 平行截面面積為已知的立體的體積； 解決措施 :用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì)：講授法定積分的應(yīng)用極其廣泛，以下僅介紹它在幾何與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用、平面圖形的面積1. 曲邊梯形的面積由定積分的幾

24、何意義知：當(dāng)f(x) _0且a<b時(shí),定積分bf(x)dx表示一個(gè)在 x軸上方的曲邊梯形的面積。當(dāng)f (x)<0且a < b時(shí),定積分bf(x)dx表示一個(gè)在x軸下方的曲邊梯形的面積的相反數(shù)b當(dāng)？(x)在a, b上有正有負(fù)時(shí)，定積分 f(x)dx的值就是x軸上方的曲邊梯形的面積與 x軸下 a方的曲邊梯形的面積的代數(shù)和從而可知，y=f(x)，x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積公式為:f (x)dx即(1 )當(dāng) f (x) >o 時(shí)，s = f f (x)dx(2) 當(dāng) f(x)<0 時(shí)，S = ff (x)dx ；(3) 當(dāng) f(x)在a,b上有正有負(fù)時(shí)，S

25、= ： f(x)dx- ：2 f(x)dx : f (x)dx類似地，x=®(y)，y=c，y=d及y軸所圍成的曲邊梯形的面積公式為：S=f|®(x)dx2. 般平面圖形的面積求由曲線y二f1(x), y = f2(x),x二a,x =b所圍成之平面圖形的面積S = f2(x) -f1(x) |dx2 2 例1求橢圓 乞 y 1所圍成的圖形的面積2 .2 1 a b例2計(jì)算拋物線y2 =2x,與直線y =x -4，所圍成的圖形的面積(選擇y為積分變量)。解：為了定出圖形的所在范圍，應(yīng)先求出拋物線和直線的交點(diǎn),廠 2r"f為此,解方程組/ =2x / =2 /=8

26、y =x-4“ y=-2y=4即這兩條拋物線的交點(diǎn)為(2, -2)及(8, 4)。從而知道這圖形在直線y = -2及y = 4之間。取y為積分變量，且y -2, 4,則 S 二；(y 4 _*y2)dy =18思考：若選x為積分變量，應(yīng)該如何做 ？請(qǐng)同學(xué)們課后自己作一下例3. 求曲線 x2、_ i與直線y=f3、y=J3所圍成的圖形的面積。r y-時(shí)例4. 求曲線y = . x在區(qū)間(0, 4)內(nèi)的一條切線，使該切線與直線x=0、x=4及x軸所圍成的梯形面積最小。解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,yo)，切線為：y = 2 ；(X 一 X。)y°= 21x;(X 一xo)，X。且y0二 x0，

27、因此，所圍平面圖形的面積為：S 二 o21xo(X -滄)Xodx= 2 ； o(x xo)dx = 4； (x xo)2|0°二 4 1Xo (xxo)2 - x = 4 ； (168xo) =；2、xo令S“ = o得唯一駐點(diǎn)xo = 2 ,而 S (2) = i5 lx°=2 = "5 > o，故Xo = 2是唯一極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)。所以，所求切線方程為：廠彳打以一2)&2)、立體的體積1.旋轉(zhuǎn)體體積設(shè)一立體是由連續(xù)曲線y =?(x)、直線x = a、直線x = b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的下面來求它的體積(1)分割；用分

28、點(diǎn) a = xo : x-i : .： xn =b將區(qū)間a,b任意地劃分為 n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間(2)近似、求和；將小旋轉(zhuǎn)體近似看成以f(Xj)底半徑為高為AX的直圓柱，則2 2:Vi：二f(Xi). ：Xi， Vx =7 .Vj：打"f(Xi)LXj。(3) 求極限。記各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度為 =maX x，當(dāng)分點(diǎn)數(shù)n無限增大且各小區(qū)間的最大 長(zhǎng)度，max ：x >0，對(duì)上述和式取極限就得旋轉(zhuǎn)體的體積為'i <<nbbV = lim 、二f(Xi)2=Xi = af(x)2 -ay2dxdx-0 i =1(n >：)類似地，由曲線x = $ (y)、直

29、線y = c、= d(c<d)與y軸所圍成的曲邊梯形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周d而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為Vyx2dyyx一般地，由連續(xù)曲線y =?(x)、 y =g(x)和直線x = a、x = b所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一例5.求由曲線y - x和周而成的立體的體積為 v =兀f f 2(x)-g2(x)dxx=1 , y=0所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解: v =兀 _兀 0('x)2 dx =兀-§ =例6求曲線y = . x與直線x =1、y = 0圍成的平面圖形分別繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：Vx 二二b 2f 2(x)dx =二 a4xdx1咁x2

30、p4Vy 二 32薦0 xdx -(1-二 0xdx)二 32二 _8二-二ti47 兀+ =2.平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)某立體被夾在過 x軸上的點(diǎn)x = a與x = b并垂直于 x軸的兩平面之間對(duì)應(yīng)于a,b上的任意點(diǎn)x處垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，貝毗問題的體積為:V = :S(x)dx類似地，若立體被夾在過d上的任意點(diǎn) y處垂直于VS(y)dyy軸上的點(diǎn)y = c與y = d并垂直于y軸的兩平面之間，在c, y軸的截面面積 S(y)是y的連續(xù)函數(shù)，則立體的體積為：例7. 平面經(jīng)過半徑為 柱體所得立體的體積。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，從而底面圓的方程為 x2 +y2

31、=R2設(shè)x為-R,R上之任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)且垂直 面面積為S( x),則由三角形的面積公式，1 1 2 2S(x)二 y ytan：(R x )tan.-亍R的圓柱體的底圓中心，并且與底面交成角.：，計(jì)算這個(gè)平面截圓則所得立體的體積為:的截V = ；S(x)dx=1 ；(R2 - x2) tan ： dx=：(R2 -x2)tan_：idx=2R3tan_：i3三、.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)問題中，經(jīng)常都要涉及到各種經(jīng)濟(jì)量的總量 計(jì)算(已知邊際(變化率),求總量.)這些總量，在一定條件下，也可用定積分來進(jìn)行若總量P(t)在某區(qū)間I上可導(dǎo)，且a, x I,則有p(x) = xp'(t)dt川'

32、;p(a)在上式中，當(dāng)x為產(chǎn)量且a = 0時(shí),只要將P(x)代之以總成本 C(x)、總收益R(x)、總利潤(rùn)L(x),則有C(x)打C'(t)dt C(0)R(x)打R'(t)dt R(0)：R'(t)dtL(x) =：L'(t)dt L(0) =；L'(t)dt例8教材p252例2例9設(shè)某產(chǎn)品的總成本 q單位：萬元)的邊際成本是產(chǎn)量 x(單位：百臺(tái))的函數(shù)C'(x) = 4 4總收入F(單位：萬元)的邊際收入R'(x)=9-x是產(chǎn)量x的函數(shù)(1)求產(chǎn)量由1百臺(tái)增加到5百臺(tái)時(shí)總成本與總收入各增加多少？(2) 已知固定成本 C(0)=1萬元.

33、分別求出總成本、總收益、總利潤(rùn)與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式(3) 產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大；并求此時(shí)的最大總利潤(rùn)，總成本及總收益各為多少？四、小結(jié)求平面圖形的面積的步驟.注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算作業(yè) p268-269 15 (3) (5) (9) (11)、16、17 (2) (3)、19、20§.9廣義積分與丨函數(shù)主要教學(xué)內(nèi)容：(1)無限區(qū)間上的積分(無窮積分；(2)無界函數(shù)的積分；(3)】函數(shù) 教學(xué)目的及要求：使學(xué)生理解無窮限廣義積分和無界函數(shù)廣義積分和定義及計(jì)算重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施 重點(diǎn)：利用廣義積分的定義計(jì)算；難點(diǎn)：概念產(chǎn)生的背景；解決措施：用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解抽象的

34、概念 教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì)：講授法前面討論的定積分不僅要求積分區(qū)間a, b有限,而且還要求被積函數(shù)？(x)在a ,b上有界.然而實(shí)際還經(jīng)常遇到無限區(qū)間或無界函數(shù)的積分問題這兩類積分統(tǒng)稱為廣義積分 其中前者稱為無窮積分，后者稱為瑕積分。對(duì)于廣義積分的計(jì)算是以極限為工具來解決的，即先將廣義積分轉(zhuǎn)化為定積分，再對(duì)該定積分求極限.一、無限區(qū)間上的積分(無窮積分)定義6.2.設(shè)f Ca, ：，如果lim玄f(x)dx存在，稱此極限值為 f(x)在a,;上的廣義積分。記作：f(x)dx = lim ff(x)dx，此時(shí)稱無窮積分J f(x)dx存在或收斂。如果ab aaJimf(x)dx不存在，就稱f (x)dx 發(fā)散。a類似地，可定義bbjf(x)dx =amjf(x)dx：f(x)dxhUf(x)dx f(x)dx,c (-：,；)，嚴(yán)c8. .f (x)dx收斂的充分必要條件是：._f(x)dx與c f(x)dx,都收斂。F(x)是f(x)的一個(gè)原在計(jì)算收斂的無窮限積分時(shí)，可直接利用定積分的各種計(jì)算方法。如果 函數(shù)，則無窮限積分可簡(jiǎn)記為：f (x)dx = F (x) |仁f (x)dx = F(x) |Z=F(b) lim F (x) 亡f(x)dx =F (x)|戈=lim F(x) - lim F(