完整數(shù)值分析題庫及答案,推薦文檔

1、模擬試卷(一)、填空題(每題3分,共30分)次的.15232.設(shè) A210 ,X4 ,那么a14223.y=f(x)的均差(差商')fX0,X1,X2絲31.有3個不同節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度是,那么均差 f X4,X2, X3=,和2*15,fX2,X3,X439115 'r8fX°,X2,X3-34.n=4時Newton Cotes求積公式的系數(shù)分別是：C04)7(4),C19016 C (4),C2452 m一,那么15V f (X, v)、.一_、,5.解初始值問題的改進的Euler萬法是階萬法;y(X°) V05x13x20.1X336 .求解

2、線性代數(shù)方程組2x,6x20.7X32的局斯一塞德爾迭代公式為X12x23.5x31r (0)r (1)假設(shè)取 X(1, 1,1),那么 X -.7. 求方程Xf (X)根的牛頓迭代格式是 .8. l 0(x), 11 (x),L , l n(X)是以整數(shù)點X0, X1,L , Xn,為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù),那么 nXk1 j(Xk)=.k 09. 解方程組 Axb的簡單迭代格式X(k 1) BX(k) g收斂的充要條件是 .10 .設(shè)f (-1) 1, f (0) 0, f (1) 1, f (2) 5 ,那么f (x)的三次牛頓插值多項式 為,其誤差估計式為 .二、綜合題(每題

3、10分,共60分)1 .求一次數(shù)不超過 4次的多項式p(x)滿足：p(1) 15, p(1) 20 , p (1) 30p(2) 57, p(2) 72. 112.構(gòu)造代數(shù)精度最高的形式為°xf(x)dx Agf ) Af(1)的求積公式,并求出其代數(shù)精度.3.用Newton法求方程x ln x2在區(qū)間(2,)內(nèi)的根,要求Xk Xk 1108.Xk24.用最小二乘法求形如 y a bx的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù):xi19253038yi19.032.349.073.35.用矩陣的直接三角分解法解方程組1020x150101x231243x3170103x47y f (x, y) ,6試用

4、數(shù)值積分法建立求解初值問題的如下數(shù)值求解公式y(tǒng)(0)y°yn 1 yn 1 -(fn 1 4 fnfn 1),其中 fi f (為,乂), i n 1, n, n 1.三、證實題 (10分)設(shè)對任意的x,函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)都存在且0 m f (x) M ,對于滿足-2 一、,*0 甘 的任意,迭代格式xk 1 xkf (xk)均收斂于f (x) 0的根x .一、填空題1. 5; 2. 8, 9 ; 3.91 ；4. 16 ;5.二；1545W (3 3x2k) 0討)/56. x；k 1 (2 2x(k1) 0.7x3k)/6 ,(0.02, 0.22, 0.1543)x

5、3k1) (1 x(k1) 2x2k 1)*2 /77. xk 1xkxkf(xk); 8xj;9.(B)1;1 f (xk)1 3210. - x x6二、綜合題1匚 x, f ( )(x61)x(x1)(x2)/24( 1,2)1.差商表:11520115201571154222812577230257p(x) 1520( x 1)15(x 1)27(x 1)3 (x 1)3(x 2) 5 4x 3x2 2x3 x4其他方法:設(shè) p(x)1520(x1) 15(x21)7(x1)3 (x31) (ax b)令 P(2)P(2)72,求出a和b.2 .取 f (x)1,x令公式準確成立,得:

6、A.A2.f (x) x 時,公式左右1, Ad 1, A3313 ,、_;f (x) x時,公式左4243.此方程在區(qū)間(2,那么 f '(x)xk 1xkxk12.內(nèi)只有一個根s,而且在區(qū)間、1,f (x),Newtonx22, 4)內(nèi).設(shè)f (x) x In x 2法迭代公式為取x04.span(1解方程組ln xk1/xkx4At AC At2 xk(1 In xk)xk 1k 0,1,2,3.146193221 .aty,其中11192 252302138219.032.3 49.0 73.3 .AtA4333033303416082解得：C1.416650.0504305所

7、以 a 0.9255577,5.解設(shè)0.0501025.1020110200101l211u22u23u241243l31l321u33u340103l41l42l431u44由矩陣乘法可求出Uij和l ij11I2110 1I31 I3211 2 1141 I42 I43 10 10 1102010 2 0u22u23u241 0 1u33U342 1u4421y15解下二角方程組0 1y231 2 1y3170 1 0 1 y47有 y15 , y23, y36 , y44.1 0 2 0 x151 0 1 x23再解上三角方程組2 1 X362 x44得原方程組的解為X11 , X21

8、, X32, x42.6 解初值問題等價于如卜形式 y(x)Xy(Xn 1)f(x, y(x)dx,xn 1ttXn 1取 x Xn 1,有 y(Xn 1) y(Xn 1) y f (x, y(x)dx,Xn 1利用辛卜森求積公式可得yn 1 yn 1 - (fn 1 4fn fn1).3三、證實題證實將 f (x)0 寫成 xxf(x)(x),由于 (X) X f(x)1f (X),所以 |(x)| |1 f (x)| 1所以迭代格式xk 1 xkf (xk)均收斂于f(x) 0的根X .2 1 12模擬試卷(二)、填空題(每題 3分,共30分)位和1. 分別用2.718281和2.7182

9、82作數(shù)e的近似值,那么其有效位數(shù)分別有3.對于方程組2x110x15x24x2,Jacob i迭代法的迭代矩陣是 GJ =34.設(shè) f(x) x31,貝U差商 f 0,1, 2, 3 =,f 0, 1, 2, 3,415.A 0,那么條件數(shù)Cond (A) 11021110 ,x 338212. 設(shè)A,那么A 116.為使兩點的數(shù)值求積公式f(x)dx f(x0) f(x1)具有最高的代數(shù)精確度,那么其求積基點應(yīng)為x0=,x1 =y f (x, y)、一,7.解初始值問題近似解的梯形公式是 yk 1yg) v.8. 求方程f (x).根的弦截法迭代公式是 9. 計算積分；5婦*,取4位有效數(shù)

10、字,用梯形公式計算求得的近似值是 ,用辛卜生公式計算的結(jié)果是10. 任一非奇異矩陣 A的條件數(shù)Cond(A) =,其Cond(A) 一定大于等于 二、綜合題(每題10分,共60分)1證實方程1 x sinx在區(qū)間0,1有且只有一個根,假設(shè)利用二分法求其誤差不超過1_ 4-10 4近似解,問要迭代多少次？ 22常微分方程的初值問題：dy x,1 x 1.2dx y,y(1) 2試用改進的Euler方法計算y(1.2)的近似值,取步長 h 0.2.3 用矩陣的LDLT分解法解方程組33510359g165917x330x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1

11、6814用最小二乘法求一個形如 y 1一的經(jīng)驗公式,使它與以下數(shù)據(jù)擬合 a bxx 0.4 y0.4z15設(shè)方程組 0.4x y0.8z2,0.4x 0.8y z3法的收斂性.416按藉法求矩陣A13121x(0)(1,0,0)T ,迭代兩步求得近似值試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-賽德爾迭代2的按模最大特征值的近似值,取初始向量3即可.三、證實題 (10分)求a(a 0)的迭代公式為:xk 1旦)xkx.0 k0,1,2證實：對一切k1,2,L ,且序列Xk是單調(diào)遞減的,從而迭代過程收斂、填空題1.6,7；2.9,11 ;2.57.Ykh一-f (xk, Yk)f (xk28.xk1

12、xkf(Xk)二、綜合題1解令f(x)2.54. 1, 0;5. 9;6.-=,;1, yk 1 );f (Xk) f (Xk 1)(xkxk 1)9. 0.4268, 0.4309; 10."NA1 x sin x,那么 f(0) 10 , f (1) sin1 0,且 f (x)1 cosx 0故1 x sin x在區(qū)間0,1內(nèi)僅有一個根X .利用二分法求它的誤差不超過1 10 4的近似解,那么|xk1 X2104解此不等式可得k4ln10In 213.2877所以迭代14次即可.解：2、kf(X0, y0)0.5,k2f (Xi, y()hki) 0.571429,k2)0.1

13、(0.50.571429)2.10714293351解設(shè)359l2115917l31l323利用矩陣乘法可求得d1d2d13,d22,1y10解方程組11V2165y33032 1得yX1再解方程組X2I21I31l32X3d3l2110,9 17.8故所求經(jīng)驗公式為d3I31I322*26,dd2 1d3 110X11,X21,X32.bX容易得出正規(guī)方程組16.971 白 口,解得 a 2.0535,35.39023.0265 .2.0535 3.0265X0.4 0.4由于fj()0.40.80.960.2560.4 0.8fj(1)1 0.980.256 0 ,fj( 2)8 1.96

14、 0.256 0所以fj( ) 0在(2, 1)內(nèi)有根1 ,故利用雅可比迭代法不收斂所以0.40.4由于fG()(G) 0.832 ,0.40.40.80.82_(0.8320.128)故利用高斯一賽德爾迭代法收斂6 解 由于 x(0)1,0,0T,故 Px(0) P 1,且 y(1)Ax(0)4, 1,1/(1) Xmax( y ) 4 .從而得(1) xy/PyP1,1 1】T 指,yAx, max(y)|三、證實題證實:由于xk 11 /a、-(xk )2 xk3,k 0,1,2,L故對一切k,xk、a,又加 xk1 a1(1 -2)(1 1) 12 xk2所以xk 1xk ,即序列xk

15、是單調(diào)遞減有下界,從而迭代過程收斂模擬試卷(三)一、填空題(每題3分,共30分)1.設(shè)a 2.40315是真值x 2.40194的近似值,貝U a有位有效位數(shù),相對誤差限2. 假設(shè)用二分法求方程 f (x) 0在區(qū)間1,2內(nèi)的根,要求精確到第 3位小數(shù),那么需要對分 次.3. 有n個節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度為 次.4. 設(shè)(x) x a(x2 5),要使迭代格式xk 1(xk)局部收斂到xJ5 ,那么a的取值范圍是5 .設(shè)線性方程組 Ax = b有唯一解,在不考慮系數(shù)矩陣擾動的情況下,假設(shè)方程組右端項的擾動相對誤差物,就一定能保證解的相對誤差雄N;IN|x|9x1 x86 .給定線性方程組

16、,那么解此線性萬程組的Jacobi迭代公式x1 5x24,Gauss-Seidel迭代公式是n7 .插值型求積公式Akf(xQf (x)dx的求積系數(shù)之和是 8 .數(shù)值求解初值問題的龍格-庫塔公式的局部截斷誤差是 9.函數(shù)f (0.4) 0.411, f (0.5) 0.578 , f (0.6) 0.697 ,用此函數(shù)表作牛頓插值多項式,那么插值多項式x2的系數(shù)是21010.設(shè) A12a ,為使A可分解為A - LLt,其中L是對角線兀素為正的下三角0a2矩陣,那么a的取值范圍是.二、綜合題(每題10分,共60分)10 8.1213 , 如01. 用Newton法求方程x In x 2在區(qū)間

17、(2,)內(nèi)的根,要求刑墮次 xk101221 , b0222.設(shè)有方程組 & b,其中A121/3,它有解x231 .一 6果右喘有小擾動| 10 ,試估計由此引起的解的相對誤差.3. 試用Simpson公式計算積分扣,公的近似值,并估計截斷誤差4. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù),試用埃爾米特插值法求一個次數(shù)不高于3的多項式P3(x),使其滿足P3(0)0,R(1) 1,P3 (1) 3,R(2) 1,并寫出誤差估計式.2105. A120121 ,給出用古典Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代運算.6.用梯形方法解初值問題V VV(0)證實其近似解為Vn,并證實當(dāng)

18、h 0時,它收斂于原初值問題的準確解三、證實題 (10分)假設(shè) f (x)aixi1有n個不同的實根,證實k0,0 k nxj1k n 1(xj), ann、填空題1. 3,0.510-3 ；2.10；3.2n-1;4.0;5.cond (A);7.;(k1)(8 x2k)/9x(k 1)(8x2k)/9k0,1,L ,：2k1)(4 x1(k)/5,(k 1)x2(4x(k 1)/5a； 8. O(h5) ； 9.一2.4; 10 .3a、一 3x6.x0,1,L二、綜合題1.此方程在區(qū)間(2,)內(nèi)只有一個根s,而且在區(qū)間內(nèi).設(shè) f (x) x In x 2那么 f '(x) 1 -

19、, x,1f (x) , Newton法迭代公式為 x2xkxk In xk 21xk11/xkxk(1 InxQxk 10,1,2,取 x0 3,得 s x4 3.146193221.1112. 解 A 121 1.5 , Cond(A) 22.5,由公式Cond(A)L ,有o .g|b|1022.51.6875 10 53.2e1/xdx1(e 4e1/1.5 e1/2)2.0263, f (46x12 x36 24 1/x)ex x2 I 14max f(4)(x)f (4)(1) 198.43,1 x 2(2 1)5截斷誤差為 R2(max f (4) (x)0.068902880

20、1 x 24. 由所給條件可用插值法確定多項式_ ,、5 3 _ 2 7P3(x) , P3(x)-x7x -x(由題意可設(shè) R(x) f (x) P3(x)2 ,k(x)x(x 1) (x 2)為確正待te函數(shù) k(x),作輔助2 一 函數(shù)：g(t) f (t)P3.)k(x)t(t 1) (t 2),那么g(t)在0,3上存在四階導(dǎo)數(shù)且在0,3上至少有5個零點tx, t 0,1,2 ( t 0為二重零點),反復(fù)應(yīng)用羅爾定理,知至1少有一個零點(0,3),使g()0 ,從而得k(x) f().故誤差估計式為4!1R(x)云 f ()x(x 1)2(x 2) ,(0,3).4!5.首先取i 1

21、,j2,因cot20,故有-, 4于是cossin111 n.2.2 0V V12( ) 土 M 00011-2 1-2 20 3 121 0 12 o O 1 1-2 1-2 O 1-2 1-2 O0 1212 12 10To o 1 心1而11正.V 1-.21-.2O6.梯形h 一公式為 yn 1 Vn - f(xn,yn) f 叫Mf(x, y) y ,得Vn 1 Yn所以yn1h削 Vn 1),2 h、,2 h、2) yn 1L (H)n1yo(2 h)n 1F"h,用上述梯形公式以步長h經(jīng)n步計算得到y(tǒng)n ,所以有hn2 h)n2 hxhim0( k三、證實題f(x)ax

22、'f(x) an(xXi)(xx2)L(xxn) anWn(x),于是記 g(x) xk,那么kxj再由差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系知kxjf (xj)f (xj)ankxji 1 f (xj)nkn Xjkxji 1 anWn(xj)Wn(xj)g(xj)Wn(xj)0,1angx1,x2,L ,xn, an2 1 18模擬試卷(四)、填空題(每題 3分,共30分)為了減少運算次數(shù),應(yīng)將算式y(tǒng) 122x 34(2x 3)28(2x 3)3為,為減少舍入誤差的影響,應(yīng)將算式9 J80改寫為1112. A 211 , | A| 1 , | A .321. * . 3.設(shè)在x g(x)的根x附近有連續(xù)

23、的二階導(dǎo)數(shù),且g' (x*)1,那么時迭代過程xk 1 g(xk)是線性收斂的,那么當(dāng) 時迭代過程xk 1g(xk)是平方收斂的.a 10, 一m -4. 設(shè)A,那么當(dāng)a灑足時,有l(wèi)im A 00 1k5. 用列主元消去法解線性方程組Ax = b時,在第k 1步消元時,在增廣矩陣的第k列取TT- (k 1)/士/日(k 1)主兀ark,使礙 a*.6. 函數(shù) f(0) 1, f(1) 3 , f(2) 7,貝 U f0,1=, f 0,1,2= , f (x)的二次牛頓插值多項式 7. 求解方程f(x) 0,假設(shè)f(x) 0可以表成x (x),那么用簡單迭代法求根,那么 (x)滿足,近

24、似根序列x1,x2,L , xn,L 一定收斂.n8. n 1點插值型數(shù)值積分公式Ak f (xk)f (x)dx的代數(shù)精度至少是次,最高不超過 次.,、 y y9.寫出初值問題y(0)2x在0,1上歐拉計算格式y(tǒng) f (x, y) 、.一一.、,10.解初始值問題的梯形萬法是 階萬法y(、)y°二、綜合題(每題10分,共60分)1.證實方程x3 x 1 0在區(qū)間1 , 2內(nèi)有唯一根x*,用牛頓迭代法求 x*(精確至3位小2 2 192.用列主元消去法解線性方程組xX2x33x3x22x322x,2x2x313. 給定數(shù)據(jù)x=0,1,2,3,對應(yīng)函數(shù)值分別為 y=1,3,2,4,求三

25、次拉格朗日或牛頓插值多項式.4 .設(shè)有矩陣A1 用“標(biāo)準化的方法求其按模最大的特征值及對應(yīng)的特征向量(注：求迭代4次即可)2y y5 .用改進的Euler方法求初值問題y y ,(0 x 1,取步長 h 0.1).y(0) 16 .給定數(shù)據(jù) f(0.1) 5.1234, f (0.2) 5.3053, f(0.3) 5.5684,求一次最小二乘擬合多項式.三、證實題 (10分)a1n X|812X2 bi設(shè)線性方程組為只仍 12 2, 811822 0a21x1 a22X2 b2(1 )證實用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解此方程組要么同時收斂,要么同時發(fā)散；(2) 當(dāng)同時收斂時,比較它們的

26、收斂速度.一、填空題1.1u 2x一,y (8u-4)u 2)u 1, 319 、802. 6, 6;又f(1)1, f(2) 5, f(x)在(J 2 上有唯一根;3由牛頓迭代公式xXk 1Xk 1 Xk 2,3xk 1取 x°=1.2,得 1.2, 1.34217, 1.325, 1.32472, 1.32472, 1.32472)或取 x 1.0 , 1., 1.5, 1.34783, 1.3252, 1.32472, 1.32472),所以 X* 1.32472.2111322112211(A,b51.522111113020.52.52211042

27、.51.5,故X1X2X31 .005/45/43. N3(x)12x 3/2X ( X1)X(x 1)(X2) x34.5 x25.5x1或 L3(x)x3 4.5 x2 5.5x 14. 取Uo (1,1,1j ,由乘藉法得,V1 = Auo =(1,0,1)T , U1=(1,0,1)T , V2 = Au1=(2,-2,2)t ,u2=(1, 1,1)TV3 = Au2=(3,-4,3) T, U3=( 0.75,1, 0.75)T 1 3.4142,x( 0.7071,1, 0.7071)T5. 改進的Euler方法2f(Xn,yn)yn,Yn1Ynh/2f (xn,yn)f g h, ynh f (xn,yn)h 0.1,取 x00.0 ,x20.2 ,經(jīng)計算得X40.4 ,經(jīng)計算得經(jīng)計算得：y° 1.0 ；X1