橢圓地簡單幾何性質(zhì)(一)(教案設(shè)計)

1、課題§ 8.2.1橢圓的簡單幾何性質(zhì)（一）大英縣育才中學蔣登兵教學目標（一）教學知識點橢圓的范圍、對稱性、對稱軸、對稱中心、離心率及頂點.（二）能力訓練要求1. 使學生了解并掌握橢圓的范圍.2 使學生掌握橢圓的對稱性，明確標準方程所表示的橢圓的對稱軸、對稱中心.3. 使學生掌握橢圓的頂點坐標、長軸長、短軸長以及a、b、 c 的幾何意義，明確標準方程所表示的橢圓的截距 .4. 使學生掌握離心率的定義及其幾何意義.教學重點橢圓的簡單幾何性質(zhì).教學難點橢圓的簡單幾何性質(zhì).（這是第一次用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)的）教學方法師生共同討論法.通過師生的共同討論研究，學生的親身實踐體驗，使學生

2、明確橢圓的幾何性質(zhì)的研究方法，加強對性質(zhì)的理解，掌握橢圓的幾何性質(zhì) .教學過程. 課題導入師前面，我們研究討論橢圓的標準方程x 2y2，（焦點在 x 軸上）或a1( a b 0)2b2y 2x21(a b 0) （焦點在 y 軸上）（板書）a 2b2那么我們研究橢圓的標準方程有什么實際作用呢？同學們知道， 2008 年的 8 月，中國為世界奉獻了一個空前盛況的奧運會，一個多月后的9月 25 日，世界的目光再次投向中國，同學們知道是什么事嗎？（出示神七發(fā)射畫片并解說） ：2008 年 9 月 25 日 21 時，“神舟七號”載人飛船順利升空，實現(xiàn)多人多天飛行和宇航員太空行走等多項先進技術(shù)，標志著

3、我國航天事業(yè)又上了一個新臺階，請問：“神舟七號”載人飛船的運行軌道是什么？對，是橢圓。據(jù)有關(guān)資料報道，飛船發(fā)射升空后，進入的是以地球的地心為一個焦點，距地球表面近地點高度約公里、遠地點約公里的橢圓軌道。我們在前幾節(jié)課剛剛學習了橢圓的標準方程，請同學們回憶橢圓是標準方程是怎樣的？它1們有幾種形式？問題 1：我們前面剛剛學習了橢圓的標準方程，同學們還記得橢圓的標準方程嗎？它有幾種形式（板書） x2y 21(a b 0)y 2x 21(a b 0)a2b 2a 2b2（焦點在 x 軸上）（焦點在 y 軸上）問題 2：你想求出神七在宇宙中運行的橢圓軌道的標準方程嗎？. 講授新課（板書標題） §

4、; 8.13.2橢圓的幾何性質(zhì)首先我們進入本節(jié)課的第一個環(huán)節(jié)一、幾何性質(zhì)師 我們不妨對焦點在x 軸的橢圓的標準方程 .（板書） x2y 21( ab0) 進行討論 .a2b 2在解析幾何里， 我們常常是從兩個方面來研究曲線的幾何性質(zhì)： 一是由曲線的圖像去 “看”曲線的幾何特征（以形輔數(shù)） ，同時又由曲線的方程來“證”明它（以數(shù)助形） 。我們今天也用這種方法來研究橢圓的幾何性質(zhì)，1. 范圍：師 所謂范圍，就是指橢圓圖象上的所有的點在什么約束范圍內(nèi)，也就是說橢圓上所有的點的縱、橫坐標應(yīng)該在哪個范圍內(nèi)取值。那么，你能從橢圓的圖形上看出橢圓上所有的點所在的范圍嗎？師 請看，如果我們過橢圓與 x 軸的兩

5、個交點作兩條平行于 y 軸的直線，再過橢圓與 y 軸的兩個交點作兩條平行于 x 的直線（出示幻燈片） 。此時，你能說出橢圓的范圍嗎？ 生 在一個矩形中師 這兩組平行線所在的直線方程是多少？能從橢圓的標準方程中找出它來嗎？ 生 方程中兩個非負數(shù)的和等于1，所以，橢圓上點的坐標（x, y）適合不等式：x2x221,2 1ab即： x2 a2, y2 b2| x| a,| y| b2這說明橢圓位于直線x ±a y ±b 所圍成的矩形里.=, =結(jié)論（板書）橢圓的范圍是 -a x a; -byb 師 很好！請大家思考：對函數(shù)性質(zhì)的研究常常是根據(jù)函數(shù)的解析來討論的，那么我們能否從函數(shù)

6、的思想出發(fā)，對橢圓的范圍進行分析呢？ 生 （師點撥、提示）橢圓的標準方程可化為兩個函數(shù)y= ba 2x2 、y=- ba 2x2 ，對aa它們的定義域、值域分別進行討論可得-a xa,-b y b, 即橢圓位于直線x=±a,y= ±b 所圍成的矩形里 . 師 將由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)與由橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)結(jié)合起來學習，有助于我們理解知識與知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，對我們的進一步學習是大有益處的.2. 對稱性：師 你能從橢圓的圖形上看出橢圓的對稱性嗎？生 關(guān)于 x 軸、 y 軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱。師 我們怎樣由橢圓的標準方程來研究橢圓的對稱性？想一想，我們前面

7、在函數(shù)中是怎樣研究函數(shù)圖像的對稱性的？師在函數(shù)里，我們討論過對稱性，如果以如果以- x 代 x 方程不變，那么曲線關(guān)于y 軸對稱，同理，以 - y 代 y 方程不變，那么曲線關(guān)于 x 軸對稱，如果同時以 - x 代 x，以- y 代 y 方程不變，那么曲線關(guān)于原點對稱 .師 我們來看橢圓的標準方程，以 - x 代 x，或以 - y 代 y 或同時以 - x 代 x,- y 代 y，方程怎樣改變？生 沒有改變 .師 所以橢圓關(guān)于 x 軸、 y 軸及原點都是對稱的，這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心 .結(jié)論（板書）坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，

8、橢圓的對稱中心叫橢圓的中心 .3. 頂點：師 什么叫做橢圓的頂點？橢圓與它的對稱軸的交點叫做橢圓的頂點. （板書）師 由剛才我們所學的第二條性質(zhì)，標準方程下的橢圓的對稱軸是哪個？生 坐標軸師 那么標準方程下的橢圓的頂點就在坐標軸上。你能從橢圓的圖形上看出橢圓有幾個頂點？他們分別在什么地方？3師（出示幻燈提示）橢圓有四個頂點，其中，在 x 軸有兩個頂點，我們把它命名為A1、 A2 ，在 y 軸有兩個頂點，我們把它命名為B1、 B2師 想一想，怎樣由橢圓的標準方程求得橢圓的頂點坐標？（再提示：直線方程 yx1與 x 軸的交點坐標是怎樣求的？與y 軸的坐標又是怎樣求的？）生 在橢圓的標準方程里，令y

9、，得a可得1a）、 2a,0)是橢圓在 x 軸上=0xA（ ,0A (的兩個頂點，同理 .令 x=0得 y ±b所以得到：1 （0, b）、2（0,b）是橢圓在 y 軸的兩個=,BB頂點結(jié)論（板書）橢圓的四個頂點分別是A1(a,0)A2(-a ， 0) 、B1（ 0， b）、B2（ 0， b）。師 線段 A1A2、B1B2 分別叫做橢圓的長軸和短軸.它們的長分別是a和b,其中 a 和 b22分別叫橢圓的長半軸長和短半軸長. （板書）師通過以上性質(zhì)，我們就知道了在橢圓的標準方程節(jié)課里我們接觸到的三個基本量：a、b、c 的幾何意義是 a、b、c 分別是長半軸長、短半軸長、半焦距師請觀察圖

10、形，如果我們吧短軸的一個端點與一個焦點連接起來，則短軸端點、中心、焦點構(gòu)成一直角，顯然，這個直角的兩直角邊的長分別是b 和 c，那么，它的斜邊隱私多長呢？由橢圓的對稱性可知，橢圓短軸的端點到兩個焦點的距離相等，且等于長半軸長，即| B1F1|=| B2F1|=| B1F2|=| B2F2|= a所以斜邊長是 a，在 Rt OB2F2 中| B2F2| 2-| OF2| 2=| OB2| 2即 a2- c2= b 2這就是在第 8.1 節(jié)中令 a2- c2 =b2 的幾何意義 .我們把 Rt OB2F2 叫做橢圓的特征三角形， 請大家注意這個特征三角形，我們在后續(xù)內(nèi)容中還將研究它。師 現(xiàn)在，我們

11、來舉一個例子來說明橢圓的范圍、頂點、對稱性的作用。（出示幻燈）根據(jù)前面所學有關(guān)知識畫出下列圖形（1） x 2y 21（2） x2y 212516254（在學生思考后教師評講）4第一步，作出坐標軸，第二步找出頂點坐標，第三步，畫出范圍，第四步作出一象限的圖像（必要時還可以取 x 等于 1、2、3、4，求出 y 的值來描點）最后根據(jù)對稱性畫出其他幾個象限的圖像，用同樣方法可作出（ 2）的圖像。師從以上兩個橢圓的形狀看，同為橢圓為什么有些橢圓 “圓” 些，有些橢圓 “扁” 些？是什么因素影響了橢圓的扁圓程度？我一起來研究橢圓是性質(zhì)4離心率。4. 離心率師 橢圓的離心率是怎樣定義的？生 橢圓的焦距與長

12、軸長的比 2cc =e, 叫做橢圓的離心率 . （板書）2aa師 橢圓離心率 e 的范圍是怎樣的？生 因為 a c 0, 所以 0 e 1結(jié)論（板書）離心率ec ，（ 0 e 1）a師 e 既然在（ 0，1）變化， e 的變化又對橢圓有什么影響呢？師 我們不妨用兩個例子來看一看。對于（1） x2y 21，橢圓的長半軸、 短半軸、半焦距 a、b、c 分別等于多少？離心率呢？2516c3生 a=5, b=4, c=3；離心率 e5a師（ 2） x2y 21呢？254生 a=5, b=2, c=c2121 ；離心率 e25a師 兩個的離心率那股大？生 第二個大于第一個師 從橢圓的圖形上看，哪個橢圓更

13、扁些？哪個橢圓更圓些？生 第二個扁些，第一個圓些。師 你能得出什么結(jié)論來？生 離心率越大橢圓就越扁，離心率越小，橢圓越圓。師 我們可以再用一個動畫展示一下橢圓的扁圓程度受離心率影響的情況。5ca 2b2b 2師（4）e 與 a,b 的關(guān)系 : ea1aa2師 到此為止，我們已學習了橢圓的范圍、對稱性、頂點及離心率，我們把這些性質(zhì)總結(jié)一下師生共同完成下表標準方程x 2y 21(a b 0)y 2x2ab 2a1(a b 0)22b2圖形范圍-a x a,-b yb-b x b, -a y a對稱性關(guān)于 x 軸、 y 軸、原點對稱頂點坐標a）(0,±b)(±b± a（

14、± ,0,0),(0,)離心率ec ( 0e 1)a師（指出）以上我們是對焦點在 x 軸上的標準橢圓的性質(zhì)的總結(jié)，那么，焦點在 y 軸上的橢圓呢？請同學們自己完成表的右半部分師 下面我們來看看橢圓的這些幾何性質(zhì)的應(yīng)用。二、應(yīng)用（板書）師 下面同學們自己來看例1.（給學生幾分鐘時間）師 根據(jù)橢圓方程求橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標時，首先應(yīng)該做些什么？生 首先應(yīng)將橢圓的方程化成標準方程.師 然后呢？師（歸納）解決這類問題的關(guān)鍵是1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標準方程，再求出橢圓的基本6量 a、 b、 c、 e 等； 2，判斷焦點的位置和長軸的位置。師（總結(jié)）解決這類問題的一般步驟是

15、：化為標準方程，求出 a、b、 c、知，判斷焦點位置，回答所提問題。師 想一想，為什么要判斷焦點位置？哪些問題與焦點位置有關(guān)？哪些問題與焦點位置無關(guān)？學生練習 1（評講時重點強調(diào)焦點在y 軸上。）師（提出例 2）回到我們本節(jié)課開頭提出的問題如圖，神舟七號宇宙飛船的運行軌道是以地心（地球的中心） F2 為一個焦點的橢圓。已知它的近地點 A（離地面最近的點）距地面 200km，遠地點 B（離地面最遠的點）距地面 346 km，并且 F2、 A、 B 在同一直線上，地球半徑約為 6371 km. 求飛船的軌道方程（精確到 1 km）。（解題過程略）學生練習 2（直擊高考）（08 年湖北省高考試題）

16、10. 如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點 P 變軌進入以月球球心 F 為一個焦點的橢圓軌道 I 繞月飛行，之后衛(wèi)星在 P 點第二次變軌進入仍以 F 為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在 P 點第三次變軌進入以 F 為圓形軌道繞月飛行，若用 2c1 和 2c2 分別表示橢圓軌道 I 和的焦距，用 2a1 和 2a2 分別表示橢圓軌道 I 和的長軸的長，給出下列式子： a1 c1a2 c2 ; a1 c1 a2 c2 ; c1a2a1c2; c1c2 .a1a2其中正確式子的序號是A.B.C.D.（解題略）三 . 課時小結(jié)本節(jié)課我們討論了橢圓的四個簡單幾何性質(zhì)，即范圍、對稱性、頂點、離心率，熟悉這些性質(zhì)是我們解決計算問題、證明問題、軌跡問題及其他有關(guān)問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.基本性質(zhì)（可見下表）四、課后作業(yè)7板書設(shè)計復(fù)習：橢圓的