排列組合歸納總結(jié).

1、排列、組合及二項(xiàng)式定理一、計(jì)數(shù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 1.分類加法計(jì)數(shù)原理定義完成一件事，可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有 m1 種方法，在第二類辦法中有 m2 種方法， ，在第 n 類辦法中有 mn 種不同的方法，那么，完成這件事情共有 Nm1+ m2+ +mn 種不同的方法2分步乘法計(jì)數(shù)原理定義完成一件事情需要經(jīng)過 n 個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有 m1 種方法 ,做第二步有 m2 種方法， ，做第 n 步有 mn 種方法 ,那么完成這件事共有 Nm1 m2 mn 種不同的方法3分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系；都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù)區(qū)別：分類加

2、法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨(dú)立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了，這件事才算完成4. 分類分步標(biāo)準(zhǔn)分類就是一步到位， (1)類與類之間要互斥；（2）總數(shù)完整。分步是局部到位，（ 1）按事件發(fā)生的連貫過程進(jìn)行分步； （2）步與步之間相互獨(dú)立，互不干擾； （3）保證連續(xù)性。 排列與組合1排列（1）排列定義：從 n 個(gè)不同元素中，任取 m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列， 叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)排列mm=n(n1)(n2) (nm1)或?qū)懗桑?）排列數(shù)公式 ：Anm Cn AmAnmn！.特殊

3、 : An n=n!=n(n-1)!(nm)！（3）特征 ：有序且不重復(fù)2.組合（1）組合定義： 從 n 個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素組成一組，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合mAn mn(n1)(n2) (nm1)（2）組合數(shù)公式 ： Cn Amm=m！或?qū)懗蒼！.Cnmm！(nm)！(3)組合數(shù)的性質(zhì)CnmCnnm；mmm 1Cn1CnCn.（4）特征：有序且不重復(fù)3.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：排列有序，組合無序聯(lián)系：排列可視為先組合后全排4.基本原則：（1）先特殊后一般；（2）先選后排；（3）先分類后分步。排列組合的應(yīng)用（常用方法：直接法，間接法）1.抽取問題

4、：（1）關(guān)鍵： 特殊優(yōu)先；（2）題型： 把 n 個(gè)相同的小球，一次性的放入到 m 個(gè)不同的盒子中（ nm），每個(gè)盒子至少 1 個(gè)，有多少種不同的方法？ Cmn把 n 個(gè)相同的小球，依次性的放入到 m 個(gè)不同的盒子中（ nm），每個(gè)盒子至少 1 個(gè)，有多少種不同的方法？ Amn把 n 個(gè)相同的小球，放入到 m 個(gè)不同的盒子中（nm），n每個(gè)盒子放球數(shù)目不限，有多少種不同的方法？m把 n 個(gè)不同的小球，放入到 m 個(gè)不同的盒子中（nm），每個(gè)盒子至少 1 個(gè)，有多少種不同的方法？ A mn把 n 個(gè)相同的小球，依次性的放入到 m 個(gè)不同的盒子中（ nm），每個(gè)盒子至多 1 個(gè)，有多少種不同的方法？

5、 Cn-1 m-1 隔板法2. 排序問題：特殊優(yōu)先（ 1）排隊(duì)問題： 對(duì) n 個(gè)元素做不重復(fù)排序 Ann;n 對(duì) n 個(gè)元素進(jìn)行（其中有m個(gè)元素的位置固定）排列An m ;Am如果對(duì) n 個(gè)元素進(jìn)行（其中有m個(gè)元素的位置固定 ,k 個(gè)元素的位置固定）排列An nmK ;AmAK 相鄰問題捆綁法 ( 注意松綁 );不相鄰問題 :(a) 一方不相鄰先排沒要求的元素 , 再把不相鄰的元素插入空位 ; (b) 互不相鄰先排少的在插入多的 ;(2) 數(shù)字問題 ;各位相加為奇數(shù)的 -奇數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù) ;各位相加為偶數(shù)的 -奇數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù) ;組成 n 為偶數(shù) ( 奇數(shù) ) 的數(shù) -特殊優(yōu)先法 ;能被 n

6、整除的數(shù) -特殊優(yōu)先法 ;比某數(shù)大的數(shù) , 比某數(shù)小的數(shù)或某數(shù)的位置-從大于 ( 小于 )開始排 , 再排等于 ;(3) 著色問題 :區(qū)域優(yōu)先 -顏色就是分類點(diǎn) ;顏色優(yōu)先 -區(qū)域就是分類點(diǎn) .(4) 幾何問題 : 點(diǎn)、 線、 面的關(guān)系一般均為組合問題；22圖中有多少個(gè)矩形C6 C4 ; 從 A 到 B A3的最短距離 C 8(5) 分組、分配問題：非均分不編號(hào) ;n 個(gè)不同元素分成m組，每組元素?cái)?shù)目均不相等，且不考慮各組間的順序，不考慮是否分盡Bm1m2m3.- CnC nm1 C n m1 m2非均分編號(hào) ;n 個(gè)不同元素分成m 組，每組組元素?cái)?shù)目均不相m1m2m3. Amm等，且考慮各組

7、間的順序，不考慮是否分盡 C nCnm1 C n m1m2均分不編號(hào) ;n 個(gè)不同元素分成m組，其中有 k 組元素?cái)?shù)目均相等，且不考慮各組間的順序，不考慮是否分盡 CmmCmm1 m2 . Akkn 1n 2m1n3C均分編號(hào) ;n 個(gè)不同元素分成 m組，其中有 k 組元素?cái)?shù)目均相等，m1mm且考慮各組間的順序，不考慮是否分盡(CnCn 2m1Cn3m1 m2. Akk ) Amm二、二項(xiàng)式定理1.定理：(ab)nC0nanb0Cn1an 1bC2nan2b2 Crnan rbr Cnna0bn(r0,1,2， ， n)2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr1Crnan rbr， r0,1,2， ， n，其

8、中 Crn叫做二項(xiàng)式系數(shù)3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即 C0nCnn，C1nCnn 1， ， Ckn Cnnk， .最大值：當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的n二項(xiàng)式系數(shù)取得n最1大n1值；當(dāng)Cn2n 為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn 2Cn 2相等，且同時(shí)取得最大值，各二項(xiàng)式系數(shù)的和aCn0Cn1 Cn2 Cnk Cnn2n；1 n022r132r 1n1bCnCn Cn CnCn Cn 2·22.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：1. 求通項(xiàng) ;Tr 1Cnr an r br2.含 xr 的項(xiàng)： 項(xiàng)的系數(shù)；二項(xiàng)式系數(shù)。3.常數(shù)項(xiàng)（含 xr 的項(xiàng)中 r=0

9、 ）整數(shù)項(xiàng)（含 xr 的項(xiàng)中 rN）有理項(xiàng)（含 xr 的項(xiàng)中 r Z）無理項(xiàng)（含 xr 的項(xiàng)中 r Z）4. 項(xiàng)的系數(shù)和：（1）已知多項(xiàng)式f(x)=(a+bx)n(a,b>0)=a 0 +a 1 x+a2 x2+anxn:a0 =f （0）a0+a 1+a2+an= f(1)= (a+b)n;|a 0|+|a1 |+|a2 |+|a n|= f(1)= (a+b)n;a0+a2+a4+=f (1)2f ( 1) ;135f (1)f ( 1) ;a+a +a + =2(a 0+a 2+a4 + ) 2-( a1 +a 3+a5+) 2 =f(1)f-12f(x)=(a-bx)n(a,b&

10、gt;0)=a+a2n0x+a x + +a x :12na0 =f 0a0+a12nn+a+ +a = f(1)= (a-b);|a 0|+|a1 |+|a 2 |+|a n |= f(-1)= (a+b)n;f (1)f ( 1) ;a0 +a 2+a4+ =2a1 +a 3+a5+ = f (1)f ( 1) ;2(a 0 +a 2+a4 + ) 2-( a1 +a 3+a5+) 2 =f(1)f-1(3)f(x)=(ax-b)n(a,b>0)=a 0 +a 1x+a2x2+ +anxn:g(x)= -1 n (b-ax) na0 =f 0a0 +a 1+a2+ +an= f(1)

11、= (a-b)n;|a 0|+|a 1 |+|a 2|+ +|a n |=|(-1)n|g(-1)f (1) f ( 1)a+a +a + =;0224a1 +a 3+a5+ = f (1)f ( 1) ;2(a22=f(1)f-10+a +a + ) -( a1+a +a + )2435(4)f(x)=(-ax-b)n(a,b>0)=a 0 +a 1 x+a2 x2+ +anxn:令 g(x)= （-1 ）n (ax+b) na0=f （0）a0+a 1+a2+ +an= f(1)= (a-b)n;|a 0 |+|a 1 |+|a 2|+ +|a n |=|(-1)n|g(1)f (1) f ( 1) ;a0 +a 2+a4+ =2a1 +a 3+a5+ = f (1)f ( 1) ;2(a 0 +a 2+a4 + ) 2-( a1 +a 3+a5+) 2 =f(1)f （-1 ）。5. 最值問