中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用及實(shí)施

1、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的運(yùn)用及實(shí)施數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)(恩格斯語)。數(shù)學(xué)中兩大研究對象“數(shù)”與 “形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河 中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖 形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透， 不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。因此，數(shù)形結(jié)合不應(yīng)僅僅作為一種解題方法，而應(yīng)作

2、為一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是將知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。而課堂中多媒體的應(yīng)用更有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法， 有利于突破教學(xué)難點(diǎn)， 有利于動態(tài)地顯示給定的幾何關(guān)系，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)愉快的課堂教學(xué)氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，愛學(xué)數(shù)學(xué)。1“數(shù)” “形”結(jié)合是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力(1) “數(shù)”產(chǎn)生于各種“形”的計(jì)算，“數(shù)”又借助于“形”得以記錄、使用、計(jì)算。 解決“形”的問題可使用“數(shù)”作為工具，而“數(shù)”的關(guān)系可以用“形”來證明。例如解析幾何中幾何問題的代數(shù)化，就是用代數(shù)方法解決幾何問題，如關(guān)于直線斜率、 關(guān)于距離、關(guān)于線段定比分點(diǎn)等等?！敖馕鰩缀巍边@個(gè)名詞本身就意味著“解析方法”與“幾何方法

3、”的結(jié)合，而正是這種結(jié)合開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的新局面。(2) 對“形”的相互關(guān)系的比較、度量，促進(jìn)了“數(shù)”的概念的發(fā)展，豐富了計(jì)算方法。典型例子是無理數(shù)2的發(fā)現(xiàn)：正方形的邊長與其對角線的長度之間不存在公度線段，即不 存在一條線段a,用它去量一個(gè)正方形的邊長及其對角線的長都正好得到整數(shù)倍，由此導(dǎo)致 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。一些代數(shù)恒等式也可由幾何方法給出證明，例如，利用下圖，可以導(dǎo)出代數(shù) 恒等式2 2 2(a b) = a 2ab b2 數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的運(yùn)用“數(shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”道出了數(shù)形結(jié)合的辯證關(guān)系，數(shù)形結(jié)合簡言之就是：見到數(shù)量就應(yīng)想到它的幾何意義，見到圖形就應(yīng)想到它的數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)

4、形結(jié)合對啟發(fā)思路，理解題意，分析思考，判斷反饋都有著重要的作用。數(shù)形結(jié)合滲透在中 學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)部分，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，可以通過對數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形的性質(zhì)， 也可利用圖形的性質(zhì)來反映變量之間的相互關(guān)系，因此數(shù)形結(jié)合可以使數(shù)和形相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充、相互印證。為了培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣，在初一代數(shù)教學(xué)中就要有意識地滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法。在有理數(shù)一章中，數(shù)軸就是把數(shù)和形結(jié)合在一起的內(nèi)容。這樣，在討論相反數(shù)、 絕對值、倒數(shù)的幾何意義時(shí) ，形象易記。下面具體分析一下。(1) 利用圖象，創(chuàng)造學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)情境。初一學(xué)生通過溫度計(jì)引出數(shù)軸概念，能夠具體、直觀地掌握負(fù)數(shù)的意義。利用數(shù)軸把點(diǎn)與數(shù)的對

5、應(yīng)關(guān)系揭示出來，這樣數(shù)量關(guān)系常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述。相反數(shù)在數(shù)軸上，相反數(shù)就是在原點(diǎn)兩旁到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)。 零的相反數(shù)是它本身即原點(diǎn)。如圖：設(shè)點(diǎn)A(x,y)在圓(x-2)2 y2 -3上，圓心為C(2,0),半徑等于 G。如圖,解:2x 5 x 1(2) 絕對值 在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)的絕對值表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離。在下圖中, A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離比 B點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大。(3) 倒數(shù)在數(shù)軸上表示 a與1的位置關(guān)系。可以結(jié)合數(shù)軸來加以分析，把0、+1、-1作為分界點(diǎn)，然后再作討論。觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征。例如，利用數(shù)軸可以比較 兩個(gè)有理數(shù)

6、大小，學(xué)生在學(xué)習(xí)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，常常轉(zhuǎn)不過符號關(guān)， 利用數(shù)軸學(xué)生可以準(zhǔn)確、快速地確定結(jié)論。相反數(shù)概念的引入、理解，都依賴“數(shù)軸”，特別是教材第一次出 現(xiàn)字母表示數(shù)：數(shù)a的相反數(shù)是-a時(shí)，學(xué)生會出現(xiàn)思維難點(diǎn)， 利用數(shù)軸可以幫助學(xué)生理解： a可以是正數(shù)、0、負(fù)數(shù)。數(shù)、形在一定的條件下的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中最常見的規(guī)律之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi) 容中，把數(shù)和形結(jié)合起來研究的方法貫穿始終。在介紹函數(shù)概念時(shí)，介紹集合-用文氏圖表示集合的關(guān)系；用數(shù)軸的全體或部分來表示定義域、值域，也是幾何形象；函數(shù)關(guān)系與圖象 -用平面點(diǎn)集組成的曲線來描述函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性-關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸的對稱性，單調(diào)性-圖象的走勢升降，

7、最大值-最高點(diǎn)，最小值-最低點(diǎn)，有界性-是否存在平行線或直線,周期性 -圖象能否有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)或疊合等等。在代數(shù)的核心內(nèi)容函數(shù)教學(xué)中，充滿了幾何語言、幾何形象的描述及其對我們理解應(yīng)用的幫助。三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、微積分與立體幾何等內(nèi)容中，都可以利用數(shù)形結(jié)合，幫助我們更快、 更好地解決問題。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合已成為一條重要的教學(xué)原則。3.數(shù)形結(jié)合在解題中的運(yùn)用,引入作為解題方法，“數(shù)形結(jié)合”實(shí)際上包含兩方面的含義：一方面對“形”的問題 坐標(biāo)系或?qū)ふ移鋽?shù)量關(guān)系式 ，用“數(shù)”的分析加以解決；另一方面對于數(shù)量間的關(guān)系問題 分析其幾何意義，借助形的直觀來解。“數(shù)”中思“形”(1)例1.如果實(shí)數(shù)x，y

8、滿足等式(x-2)2 y2 =3，那么丫的最大值是什么?xA落在則上是點(diǎn)A與原點(diǎn)連線的斜率。當(dāng) OA與O C相切，且切點(diǎn)x第一象限時(shí)，koA有最大值，即-有最大值。因?yàn)镃A = 3 , OCx=2，所以 OA =.；2 -'-3 =1，所以（'）max = tanAOC =3。xj055解：設(shè)?,即- 一二：,二 一 -' -I 對應(yīng)2 25的曲線是以A(,0)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支。而函2數(shù)y = x 1的圖象是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,取拋物5線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是xl-<x, 2。2(2)“形”中覓

9、“數(shù)”例3.求方程lg x -sin x = 0的解的個(gè)數(shù)。分析：此方程解的個(gè)數(shù)為y = lg x的圖象與y = sin x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。所以o :： x乞107在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的 圖象，如圖，形中覓數(shù)，可直觀地看出兩 曲線有3個(gè)交點(diǎn)。例4.已知直線 -廠：I和雙曲線-" I I有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求 k的不 同取值個(gè)數(shù)。分析：作出雙曲線-= .|的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn) (，廠)的直線系, 雙曲線的漸近線方程為，'。2_°)點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn):此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此外，過(廠)點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅

10、有一個(gè)公共點(diǎn)，此所以過(時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故 k有四個(gè)不同取值。2 1例5.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足arg(z i) = n ,求的最大值。3|z + 6|+|z_3i|解：要求的最大值，即求|z 飛| |z-3i | z 6 | z - 3i |的最小值，由復(fù)數(shù)模的幾何意義知即求復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)A(-6,0)和點(diǎn)B(0,3)的距離和的最小值。如圖2 z滿足 arg(z i) = n3復(fù)數(shù)z對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)z的軌跡是以(0,-1)為端點(diǎn)，傾斜角為2二的射線。由圖可知，| ZA ZB |最小值為| AB | =、62 32 =35,故3|z+6|；z-3i|的最大值是加譽(yù)在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程中，必須遵

11、循下述原則：轉(zhuǎn)化等價(jià)原則；數(shù)形互補(bǔ)原則；求解簡 單原則。當(dāng)然在教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合的思想時(shí)，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握以下幾點(diǎn)：1. 善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。2. 正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。3. 切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性，以性識圖。4 多媒體技術(shù)為數(shù)形結(jié)合的實(shí)施架設(shè)了橋梁對于一些較復(fù)雜、抽象、需有一定想象能力、老師光用嘴和筆說不清的問題，借助于多 媒體將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)，可以活躍課堂氣氛，減輕教學(xué)負(fù)擔(dān)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望， 培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、發(fā)現(xiàn)的能力。多媒體技術(shù)使數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)手段豐富起來。計(jì)算機(jī) 強(qiáng)大的計(jì)算、圖形、圖像、動畫等能力，能為抽象思維提

12、供直觀模型，使數(shù)學(xué)關(guān)系的靜態(tài)結(jié) 構(gòu)表現(xiàn)為時(shí)空中的動態(tài)過程。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)苁箤W(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解，通過相應(yīng)的技術(shù)手段，為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了絕好的工具和途徑。學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，能探索數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)命 題，提高創(chuàng)新能力。例如，利用幾何畫板畫圖后，馬上就可以測算出數(shù)值，并能把圖形變化過程中的數(shù) 量關(guān)系的變化（哪怕是微小的變化）直觀地顯示出來，數(shù)與形的變化同時(shí)進(jìn)行，數(shù)形結(jié)合，幾何畫板是為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了絕好的試驗(yàn)工具，這在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中根本無法辦到, 幫助學(xué)生學(xué)通數(shù)學(xué)的有效工具。例如，利用計(jì)算機(jī)做下列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生一人一機(jī)，機(jī)內(nèi)裝有顯示一般正弦函數(shù)y=Asin（ w x+ $ ）的圖象的應(yīng)用軟件（操作界面

13、見圖2）。啟動該軟件后，學(xué)生可用鼠標(biāo)任意改變畫面中的點(diǎn)C點(diǎn)J、點(diǎn)F的位置，亦即改變參數(shù)A、3、$的值，使圖象產(chǎn)生相應(yīng)的變化。學(xué)生手、 眼、腦并用，通過考察函數(shù)式 y=Asin（ w x+ $ ）中三個(gè)參數(shù)A、w、$對函數(shù)圖象的影響，對圖象的振幅變換、周期變換、相位變換產(chǎn)生感性認(rèn)識。整個(gè)過程直觀、形象，充分顯現(xiàn)數(shù)與形相互依賴的變化過程，對于學(xué)生更好的理解和掌握正 弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從理論上探究相關(guān)的數(shù)學(xué)規(guī)律打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。下面是一例發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)接矩形的面積變化規(guī)律的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”的做法。如圖 3，在 ABC中，E是0B邊上的任意一點(diǎn)，以 E 為頂點(diǎn)作厶ABC的內(nèi)接矩形EFGH使矩形的一邊 EH在0B上，使點(diǎn) E在0B上運(yùn)動，矩形面積隨之變化。設(shè)0E為x，建立x與矩形面積間的函數(shù)關(guān)系，讓學(xué)生觀察，當(dāng)x變化時(shí)，矩形面積的變化特點(diǎn)及是否有最大值。然后顯示當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，對應(yīng)的動點(diǎn)K（x , S）（S為矩形面積）的運(yùn)動軌跡（其軌跡為開口向下的一段拋物線）。最后改變 ABC的形狀，研究 A