曲線的離心率求法

1、圓錐曲線的離心率問題離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要幾何性質(zhì)，一方面刻畫了橢圓，雙曲線的形狀，另一方面也體現(xiàn)了參數(shù) a,c之間的聯(lián)系。一、基礎(chǔ)知識(shí)：c1、離心率公式：e (其中c為圓錐曲線的半焦距)(1)橢圓：e 0,1(2)雙曲線：e 1,+2、圓錐曲線中a,b,c的幾何性質(zhì)及聯(lián)系(1)橢圓：a2 b2 c2,(2)雙曲線：c2 b2 a23、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)a,b,c的比例關(guān)系(只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可)，方法通常有兩個(gè)方向：(1)利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形(曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形)，那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而

2、兩條焦半徑與a有關(guān)，另一條邊為焦距。從而可求解(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用a,b,c進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解，或者帶入曲線求解(3)利用三角形的相似關(guān)系(4)利用點(diǎn)線距離關(guān)系4、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮：(1)題目中某點(diǎn)的坐標(biāo)是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)“，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用 a,b,c表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口(2)若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可(3)通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于a

3、,b,c的不等式，進(jìn)而解出離心率注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：橢圓：e 0,1，雙曲線：e 1,+二、考點(diǎn)一：求離心率方法一：焦點(diǎn)三角形問題例1 (1)：設(shè)F1,F2分別是橢圓2C:a2七 1 a b 0的左、右焦點(diǎn), b2在橢圓C上，線段PFi的中點(diǎn)在y軸上，若PF1F230,則橢圓的離心率為(答案：A小煉有話說：在圓錐曲線中，要注意。為F1F2中點(diǎn)是一個(gè)隱含條件，如果圖中存在其它中點(diǎn)，則有可能與O搭配形成三角形的中位線。X X2(2):橢圓122yy 1 0 b 273與漸近線為x 2y 0的雙曲線有相同的焦點(diǎn) Fi,F2, P為它們的一個(gè) b公共點(diǎn)，且 F

4、1PF290 ,則橢圓的離心率為小煉有話說：在處理同一坐標(biāo)系下的多個(gè)圓錐曲線時(shí)，它們共同的要素是聯(lián)接這些圓錐曲線的橋梁，通常以這些共同要素作為解題的關(guān)鍵點(diǎn)。2(3):設(shè)Fi, F2分別為雙曲線與 a2、 1(a 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得b2|PFi| IPF2I3b,|PFi |PF2|9ab,則該雙曲線的離心率為4A.3B.C.答案：B2一一 x(4).過橢圓a2+2色=1(ab0)的左焦點(diǎn)Fi作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P, F2為橢圓的右焦點(diǎn)，若/FiPF2 = 60,則橢圓的離心率為(方法二：利用坐標(biāo)運(yùn)算例2 (1).已知橢圓方程為22x y02+b2= 1(ab0

5、) , A, B分別是橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)漏點(diǎn)，M N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)1稱的兩點(diǎn)，直線 AM BN的斜率分別為k1, k2,若|k1 k2| =4,則橢圓的離心率為(2)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，A2, B1, B2為橢圓2x2a* 1(a b 0)的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其 b2右焦點(diǎn)，直線 AB2與直線BiF相交于點(diǎn)T,線段OT與橢圓的交點(diǎn) M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 答案：e 27 5方法三：三角形的相似關(guān)系22例3.從橢圓/+看=1(ab0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)Fi, A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn),B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且 AB/ OPO是坐標(biāo)原點(diǎn))，

6、則該橢圓的離心率是()方法四：利用點(diǎn)線距離關(guān)系22例4. (2017 全國(guó)卷I )已知雙曲線 C，一/= 1(a0, b0)的右頂點(diǎn)為 A,以A為圓心，b為半徑作圓 A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于2 X例3:如圖所不，已知雙曲線-2aM N兩點(diǎn).若/ MAN= 60 ,則 C的離心率為21 a b 0的右焦點(diǎn)為F ,過F的直線l交雙曲線的漸近線于 A B b兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角是漸近線0A傾斜角的2倍，若NF2FB ,則該雙曲線的離心率為(A 3八.4B.C.-305D.答案：B考點(diǎn)二：求離心率的取值范圍方法一：通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于a,b, c的不等式例1 (1).橢圓的中心在坐標(biāo)原

7、點(diǎn)0,頂點(diǎn)分別是A,E2,焦點(diǎn)分別為 F1, F2,延長(zhǎng)BF2與AB交于P離心率e的取值范圍為()A.1,B .1,2 C .1,1V2點(diǎn)，若/ BPA為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為22(2) .已知橢圓E: %+ bb2= 1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M直線l: 3x 4y=0交橢圓E于A, B兩點(diǎn).若|AF+|BF=4,點(diǎn)M到直線l的距離不小于4,則橢圓E的離心率的取值范圍是()522(3)：已知F是雙曲線 二一4 = 1 a 0,b 0的左焦點(diǎn)，E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于x軸a2 b2的直線與雙曲線交于 A, B兩點(diǎn)，若ABE是銳角三角形,D. 2,12答案

8、：B小煉有話說：（1）在處理有關(guān)角的范圍時(shí)，可考慮利用該角的一個(gè)三角函數(shù)值，從而將角的問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺谋戎祮栴}方法二：題目中某點(diǎn)的坐標(biāo)是否有范圍要求22例2 （1）：已知橢圓 二 4 1a b 0的左、右焦點(diǎn)分別為 a2 b2F1c,0 ,F2 c,0 ,若橢圓上存在點(diǎn) P使sinaPF1F2c，則該橢圓的離心率的取值范圍為（ sin PF2F1A.1 B.C.0fD. 2 1,1答案:(2):2 x 已知F1,F2是橢圓E :a2 y b2的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn) P ,使得PF1 PF2 ,則橢圓離心率的取值范圍是（B.T,1C.D.20，t思路一：考慮在橢圓上的點(diǎn)P與焦點(diǎn)連線所成的角中,

9、當(dāng)P位于橢圓短軸頂點(diǎn)位置時(shí),F1PF2達(dá)到最大值。所以若橢圓上存在 PF1PF2的點(diǎn)P ,則短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)連線所成的角90：,考慮該角與a,b,c的關(guān)系,知，OPF2 一245以 tan OPF2OF2op|b c2b2解得e0,1可得-7,1PF1PF2可得 F1PF290形F1PF2的面2,SF1PF2b tan些b22,另一方面：SF1PF2F1F2yPc yP ,從而 c yPb2一，c因?yàn)镻在橢圓上，所以yPb,b ,即 yPb2PF1 PF2可想到b c,再同思路一可解得：e ,120,進(jìn)而通過向量坐標(biāo)化，將數(shù)量積轉(zhuǎn)為方程。設(shè)c x, y，貝U PFi PF2 x2 y2 c2 0

10、,P x, y , F1c,0 , F2 c,0 ,則有 PFc x, y ,即P點(diǎn)一定在以。為圓心,c為半徑的圓上，所以只需要該圓與橢圓有交點(diǎn)即可，通過作圖可發(fā)現(xiàn)只有半徑r b時(shí)才可有交點(diǎn)，所以同思路一可解得e 2,12注：本題對(duì)P在圓上也可由PFiPF2判定出P在以52為直徑的圓上，進(jìn)而寫出圓方程思路四：開始同思路三一樣,得到P所在圓方程為x22一 c ,因?yàn)镻在橢圓上,所以聯(lián)立圓和橢圓方程:,2 2b x2x2 22. 2a y a b22y c代入消去x可得：b2 c2 y2a2b2,整理后可得:b42， cb,b可得:b4-2cb2c b,同思路一即可解得：e ,12答案:2e y,

11、1小煉有話說：本題的眾多思路重點(diǎn)區(qū)別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質(zhì)與結(jié)論，不同的結(jié)論得到不 同的突破口；二是在解決離心率時(shí)是選擇用幾何特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合去解還是通過坐標(biāo)方程用代數(shù)方式計(jì)算求解PF的中(3) .已知Fi, F2分別是橢圓C： |2+b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓 C上存在點(diǎn)P,使得線段垂線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)F2,則橢圓C離心率的取值范圍是22、一x y(4)：設(shè)點(diǎn)Ai, A2分別為橢圓22 1 a b 0a b的左右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在異于點(diǎn)Ai, 4的點(diǎn)P ,使得POPA2,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是()A1C. 21cA. 0,B.0, C.,1 D.22

12、2答案：D小煉有話說：本題運(yùn)用到了一個(gè)求交點(diǎn)的模型：即已知一個(gè)交點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理求出另一交點(diǎn)，熟練使用這種方法可以快速解決某些點(diǎn)的坐標(biāo)三、好題精選1、(2016,新余一中模擬)已知點(diǎn) A是拋物線x2 4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn) B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足 PA mPB ,當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn) P恰好在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（A. /2 1B.C.D.22xy2、已知三尸2分別是雙曲線 ） 二 ab1 a b 0的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，若AABF2是鈍角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是（.2 1,1,1.2.131,3

13、、設(shè)F1,F2分別是雙曲線22土 L 122a b0,b0的左右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)F1M oM OF10,O為坐標(biāo)原點(diǎn),MF1,則該雙曲線的離心率為（A.,3 1B.C.6/2D.A.5、(2016 四第一次聯(lián)考）2 y二 1 a b 0和圓 b2bt222c , （c為橢圓的半焦距）對(duì)任意1,2恒有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍40, 一5B.4-,15C.170,17D.,17 4,17 5(2015,新課標(biāo)II ）已知A, B為雙曲線E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上,ABM為等腰三角形，且頂角為120則E的離心率為（A. 5B.C.D.2 x6、（2016,宜昌第一中學(xué)12月考）

14、已知雙曲線 方 a2幺1 b2a 0,b 0的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F2，點(diǎn)M在雙曲線的左支上，且 MF2 7 MFi ,則此雙曲線離心率的最大值為（）A.4 B .5 C .2 D .73337、（2015,山東）平面直角坐標(biāo)系22x yxOy中，雙曲線 C1 :-2 1 a 0,b 0的漸近線與拋物線 a b2C2 : x 2py p 0 交于點(diǎn) O, A, B ,右的垂心為C2的焦點(diǎn)，則Ci離心率為8、（2014,浙江）設(shè)直線x 3y2 X m 0 m 0與雙曲線a2 1 a 0,b 0的兩條漸近線分別交于b2點(diǎn)A,B ,若點(diǎn)P m,0滿足PA習(xí)題答案:1、答案：A解析：由拋物線方程可

15、得：A 0,PB sin PAM最小。設(shè)AP : y kx則PA2.2, PB2、解析:即AF1PB ,則該雙曲線的離心率是1 ,B 0,1，過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為,可知m取得最大值時(shí)，PAM最小，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)2 x1,聯(lián)立方程y2,所以2a PAM ,所以PBPMAP與拋物線相切時(shí),PAM4y1 - 2），即 x 4kx 4 0 ,則 kx 1PB 2夜 2 a & 1,則 e aABF2為鈍角三角形，且 AF2 BF2, AF2F145b2 2c c2 a2a 2ac 0即 e2 2e 1 0 e 12答案：B3、思路：已知條件與焦半徑相關(guān)，先考慮焦點(diǎn)三角形MF1F2的特點(diǎn)，從,數(shù)形結(jié)

16、合可得四邊形 OMPF1為菱形，所以 OM直角三角形。F1F2I、3 : 3MF1、3k, MF23k ,可得FM OM of1OF1F1F20入手，可得OF2 ,可判定&MFF2為MF1I|MF2: 273k2c e2aMF2I |mfJ 3k 73k答案：A4、解析：由橢圓與圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則bt2 bt2c ab對(duì)任意t 1,2恒成立，即 b2c2c b2c形后可得:5c22 a4ac17c25、 解析：BMAB2a, ABM5e2120,4e172 x x 為-a過點(diǎn)My b7作MNBNM 2a, . 3a4，1a 0,bx軸于代入雙答案：B如圖所示：方程可得：,在 RtBMN 中,2a 2-2a、3a 2b21可得:6、解析:由雙曲線可知MF24即最大值為3A型,2）身Ci方程a : b : c 1:1: J2 ,從而 eMF16 MF12a ,所以 MF1答案：A可得其漸近線方程為y2-,3