中考數(shù)學(xué)專題之?dāng)?shù)形結(jié)合

1、中考數(shù)學(xué)專題數(shù)形結(jié)合知識梳理數(shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思索，使抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可使復(fù)雜問題簡單化，抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象 思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡 捷，從而起到優(yōu)化計算的目的.華羅庚先生曾指出：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù) 形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”這充分說明了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，是中考數(shù)學(xué)的一個最重 要數(shù)學(xué)思想.典型例題一、在數(shù)與式中的應(yīng)用【例1】實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡

2、 佇+ab =.【分析】由數(shù)軸上a , b的位置可以得到 a<0, b>0且a<b.二JO2 =a , ab=b a.【解】4a2 +| a - b = a (+ b )a 2 - a +b【例2】如下圖是小明用火柴搭的 1條、2條、3條“金魚”，則搭n條“金魚”需要火柴 根.I華 2鋳J條【分析】由圖形可知，搭1條金魚需要8根火柴棒，后面每多一條就多6根火柴棒，所以搭 n條金魚共需8+6(n 1)=(6n+2)根火柴棒.【解】6n+2二、在方程、不等式中的應(yīng)用【例3】(08聊城)已知關(guān)于x的不等式組x-a >0的整數(shù)解共有2個，則a的取值范圍是 2 - x >

3、0fx a【分析】解不等式組得解集為，我們可以將x<2標(biāo)注在數(shù)軸上，要使得不等式組有 2個整數(shù)解，由/<2圖象可知整數(shù)解為 0, 1，則a應(yīng)在一10之間，且可以等于一1，但不能為0,所以以的取值范圍是一I<a<0.【解】K *0在同一直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖象（如圖所示），則所解的二兀一次方程組是A.X y -2 = 02xy 1 = 02B .23x-2y-1=03x-2y-1=0C.2x-y-1=0x y-2=0D.3x 2y -5 =02x-y-1=0【例4】（08南通）用圖象法解某二元一次方程組時,1 X = 1【分析】 根據(jù)圖象我們可以知道這個方

4、程組的解為，只要將解進(jìn)行代入檢驗即可.ly i【解】D【例5】實數(shù)根,已知二次函數(shù)y=a/+bx+C的圖象如圖所示，若關(guān)于則k的取值范圍為k>3B. k=32 ,x的方程ax +bx+c k=0有兩個不相等的快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試3快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#【分析】如果根據(jù)b2 4ac的符號來判別解的情況，本題將無從入手，可將原方程變形為ax2+bx+c=k ,從而理解成是兩個函數(shù)的交點問題, 2即 J y=ax +bx + c y =k由圖象可知只要y=k<3就一定定與拋物線有兩個不同的交點，所以答案選C.【解】C三、在函數(shù)中的應(yīng)用【例6】（08安徽）如圖為二次函數(shù)2y= ax +

5、bx+c的圖象，在下列說法中: ac<0當(dāng)x>1時，y隨x的增大而增大快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#正確的說法有 .（把正確的答案的序號都填在橫線上）【分析】由圖象可知，開口向上，與 x軸交于一1和3兩點，與y軸交于負(fù)半軸，則 a>0, c<0;由對稱性知對稱軸x=1，所以結(jié)論正確.【解】【例7】某跳水運動員進(jìn)行 10米跳臺跳水訓(xùn)練時，身體 (看成一點)在空中的運動路線如圖所示，為經(jīng) 過原點0的一條拋物線(圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件 )要跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空2中的最高處距水面102米，入水處距池邊的距離為 4米，同時，運動員在距水面高度為5米以前，必須完3

6、成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤，(1) 求這條拋物線的解析式;(2) 在某次試跳中，測得運動員在空中運動路線是如圖拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為 3導(dǎo)米，問此次跳水會不會失誤 ？并通過計算說明理由.la臺支柱llrrI mlho【分析】(1)在給出的直角坐標(biāo)系中，要確定拋物線的解析式，就要確定拋物線上三個點的坐標(biāo)，如起2跳點0(0, 0)，入水點(2 , - 10)，最高點的縱點標(biāo)為 一.3(2)求出拋物線的解析式后，要判斷此次跳水會不會失誤，333就是要看當(dāng)該運動員在距池邊水平距離為33米，x=33-2=1時，555該運動員距水面咼度與 5米

7、的關(guān)系.【解】(1)在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點為A，入水點為B,拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,由圖可2知，O,B兩點的坐標(biāo)依次為(0,0)(2, 10)，且頂點A的縱坐標(biāo)為一，則4a 2 b * C=034ac b2 Z34a3a = 一2或b - -2；拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè)，.- 一 0 .又；拋物線開口向下，.a2ac =025 2 丄10c=0, yx x .6325a =-一610，解得b=3c = 0251025，b，QQQG當(dāng)運動員在空中距池邊距離為 3-米時，即x=3-2=時，y =-一，.此時運動員距水面高5553為 10 163：5 因此，試跳會出現(xiàn)失誤.3

8、四、在概率統(tǒng)計中的應(yīng)用【例8】(05江西)某報社為了解讀者對本社一種報紙四個版面的喜歡情況，對讀者作了一次問卷調(diào)查,要求讀者選出自己最喜歡的一個版面，將所得數(shù)據(jù)整理后繪制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖：快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試6快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#請寫出從條形統(tǒng)計圖中獲得的一條信息；(2) 請根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)補(bǔ)全扇形統(tǒng)計圖，并說明這兩幅統(tǒng)計圖各有什么特點;(3) 請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)，對該報社提出一條合理的建議.【分析】觀察條形統(tǒng)計圖可以計算出調(diào)查總?cè)藬?shù)，畫扇形統(tǒng)計圖需計算出第一版、第二版的百分比和圓15005QQ心角，分別為360 =108 ,360 =36，建議可從不足的方面提出.50005

9、000【解】參加調(diào)查的人數(shù)為 5000人；(2)如圖所示：條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出喜歡各版 面的讀者人數(shù)扇形統(tǒng)計圖能清楚地表示出喜歡各版面的 讀者人數(shù)占所調(diào)查的總?cè)藬?shù)的百分比.如：建議改進(jìn)第二版的內(nèi)容，提高文章質(zhì)量，內(nèi)容更貼近生活，形式更活潑些.快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#綜合訓(xùn)練1 “數(shù)軸上的點并不都表示有理數(shù),如圖中數(shù)軸上的點 P所表示的數(shù)是,2 ”，這種說明問題的方式體快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試7快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做（）A .代入法B .數(shù)形結(jié)合C.換元法D .分類討論（笫3題2. （08大連）如圖，兩溫度計讀數(shù)分別為我國某地今年 的最高氣溫比最低氣溫高2月份某天的最低氣

10、溫與最高氣溫，那么這天A. 5CB . 7CC . 12CD . - 12C快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#3分鐘以內(nèi)收費2 . 4元，此后每加（ ）4 .右大小關(guān)系為5 6 j三點都在函數(shù)_ k,N -（k<0）的圖象上，貝U yi, y2,xy3的( )A. y2>y3>yiB. y2>yi>y3C. y3>yi>y2D. y3>y2>yi5.關(guān)于x的一兀二次方程x x n=0沒有實數(shù)根，則拋物線y=x2- x n的頂點在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限（）3.某人從A地向B地打長途電話6分鐘，按通話時間

11、收費，鐘加收1元，則表示電話費 y（元）與通話時間 份）之間的關(guān)系的圖象正確的是快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#3x 十 a £ 0一6 . (08臨沂)若不等式組的解集為x<0，則a的取值范圍為 ()2x +7 >4x-1A . a>0b . a=0C . a >4d . a =47 . （08鎮(zhèn)江）福娃們在一起探討研究下面的題目：函數(shù)y=x2 x+m（m為常數(shù)）的圖象如圖所示，如果 x= a時，y<0;那么x= a 1時，函數(shù)值（）快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#F面是福娃們的討論，請你解答該題.貝貝：我注意到當(dāng) x=0時，y=m>0

12、.1晶晶：我發(fā)現(xiàn)圖象的對稱軸為x=2 歡歡：我判斷出XNavx?.A. y<0迎迎：我認(rèn)為關(guān)鍵要判斷 a 1的符號. 妮妮：m可以取一個特殊的值.B . 0<y<mC. y>mD. y=m&如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，/AOB=15 0°, 0A=0B=2，則點A、B的坐標(biāo)分別是 和快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試8快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#9在邊長為a的正方形中，挖掉一個邊長為b的小正方形（a>b）如圖1,把余下的部分剪拼成一個矩形如圖2，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是 .制圖210. （08紹興）如圖，已知函數(shù) y=x+b

13、和y=ax+3的圖象交點為P,則不等式x+b> ax+3的解集為（第11題快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#11. 方程組卩二2-1的解是J = 一x T快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#12. (08廣州)如圖，為實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，化簡 佇_府_ J(a_b (.壯丄.、-1 0 113. (02南京)(1)閱讀下面材料：點 A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù) a、b, A、B兩點之間的距離表示為AB 當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1， AB = OB = b = a b ；當(dāng)A、B兩點都不在原點時，如圖2，點A、B都在原點的右邊 AB = OB OA = b

14、 a = ba = a b如圖3,點A、B都在原點的左邊,AB = OB OA = b a = b (a)= a b如圖4,點A、B在原點的兩邊,AB = OB + OA = a + b = a+ (b)= abHb 圖IB O-# b 0圖4A-V-(2)回答下列問題：數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是 數(shù)軸上表示1和一 3的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示一2和一5的兩點之間的距離是數(shù)軸上表示x和一 1的兩點A和B之間的距離是 ,如果AB =2 ,那么x為當(dāng)代數(shù)式x +1 +|x -2取最小值時，相應(yīng)的 x的取值范圍是 14. (08蘇州)某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，圖是該廠第一季度三個月產(chǎn)量的統(tǒng)計圖，

15、圖是這三個月的產(chǎn)量 與第一季度總產(chǎn)量的比例分布統(tǒng)計圖，統(tǒng)計員在制作圖、圖時漏填了部分?jǐn)?shù)據(jù).圖快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試9快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#根據(jù)上述信息，回答下列問題:該廠第一季度 月份的產(chǎn)量最高.(2)該廠一月份產(chǎn)量占第一季度總產(chǎn)量的 %.快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#98%請你估計：該廠(3)該廠質(zhì)檢科從第一季度的產(chǎn)品中隨機(jī)抽樣，抽檢結(jié)果發(fā)現(xiàn)樣品的合格率為第一季度大約生產(chǎn)了多少件合格的產(chǎn)品？(寫出解答過程)15. (08恩施)如圖所示，C為線段BD上一動點，分別過點 B、D作AB丄BD , ED丄BD，連接AC、 EC .已知 AB=5 , DE=1 , BD=8 ;設(shè) CD=x .(1)用含x

16、的代數(shù)式表示 AC+CE的長；請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最小？根據(jù)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式找 +4 +J(12 xf+9的最小值.快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試10快樂的學(xué)習(xí)，快樂的考試#16.如圖，已知拋物線與 x軸交于A( 1, 0)、B(3 , 0)兩點，與y軸交于點C(0, 3)。(1)求拋物線的解析式；設(shè)拋物線的頂點為 D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得 PDC是等腰三角形?若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標(biāo).綜合訓(xùn)練參考答案1 . B 2. C 3.

17、 C4. B 5. A 6. B 7. C8:i.-：；3,（2, 0） 9. a2-b2=（a+b）（a - b）10. x>111 . （0，- 1）12 .原式=a b （b a）= 2b13. 3 3 4 x+11 或3 I < xw 214. (1)三 (2)30 (3)(1900 38%) X 98% =490015. (1) J(8 _X j +25 + Jx2 +1當(dāng)A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小如下圖所示，作 BD=12，過點B作AB丄BD，過點D作ED丄BD，使AB=2 , ED=3，連結(jié)AE交BD 于點C . AE的長即為代數(shù)式 Jx2十4 + J(

18、12_X(+9的最小值.過點 A作AF / BD交ED的延長線于點F，得矩形 ABDF，貝U AB=DF=2 , AF=BD=12 .所以AE22 +(3+2$ =13即 Jx2 +4 + J(12-x f +9 的最小值為 13.216. (1) 拋物線與y軸交于點C(0 , 3), 設(shè)拋物線解析式為 y= ax +bx+3( a豐0) 工a -b 3 =0根據(jù)題意，得(9a +3b +3 = 0a = 1解得，b -2拋物線的解析式為 y= x2+2x+3 .(1) 存在. 由y= x +2x+3得，D點坐標(biāo)為(1, 4)，對稱軸為x=1 .若以CD為底邊，則PD=PC，設(shè)P點坐標(biāo)為(x, y)，根據(jù)