幾種插值法的應(yīng)用和比較

1、插值法的應(yīng)用與比較 信科1302 萬(wàn)賢浩 132710381格朗日插值法在數(shù)值分析中，拉格朗日插值法是以法國(guó)十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法.許多實(shí)際問(wèn)題中都用函數(shù)來(lái)表示某種內(nèi)在聯(lián)系或規(guī)律，而不少函數(shù)都只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)來(lái)了解.如對(duì)實(shí)踐中的某個(gè)物理量進(jìn)行觀測(cè)，在若干個(gè)不同的地方得到相應(yīng)的觀測(cè)值，拉格朗日插值法可以找到一個(gè)多項(xiàng)式，其恰好在各個(gè)觀測(cè)的點(diǎn)取到觀測(cè)到的值.這樣的多項(xiàng)式稱(chēng)為拉格朗日（插值）多項(xiàng)式.數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，拉格朗日插值法可以給出一個(gè)恰好穿過(guò)二維平面上若干個(gè)已知點(diǎn)的多項(xiàng)式函數(shù).拉格朗日插值法最早被英國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·華林于1779

2、年發(fā)現(xiàn)，不久后由萊昂哈德·歐拉再次發(fā)現(xiàn).1795年，拉格朗日在其著作師范學(xué)校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程中發(fā)表了這個(gè)插值方法，從此他的名字就和這個(gè)方法聯(lián)系在一起.1.1拉格朗日插值多項(xiàng)式圖1已知平面上四個(gè)點(diǎn)：(9, 5), (4, 2), (1, 2), (7, 9)，拉格朗日多項(xiàng)式：（黑色）穿過(guò)所有點(diǎn).而每個(gè)基本多項(xiàng)式：, 以及各穿過(guò)對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)，并在其它的三個(gè)點(diǎn)的值上取零.對(duì)于給定的若個(gè)點(diǎn),，對(duì)應(yīng)于它們的次數(shù)不超過(guò)的拉格朗日多項(xiàng)式只有一個(gè).如果計(jì)入次數(shù)更高的多項(xiàng)式，則有無(wú)窮個(gè)，因?yàn)樗信c相差的多項(xiàng)式都滿(mǎn)足條件.對(duì)某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的個(gè)取值點(diǎn)：,其中對(duì)應(yīng)著自變量的位置，而對(duì)應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置

3、的取值.假設(shè)任意兩個(gè)不同的都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式為：，其中每個(gè)為拉格朗日基本多項(xiàng)式（或稱(chēng)插值基函數(shù)），其表達(dá)式為：，拉格朗日基本多項(xiàng)式的特點(diǎn)是在上取值為1，在其它的點(diǎn)， 上取值為0.例：設(shè)有某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知它在三個(gè)點(diǎn)上的取值為：· ，· ，· ，要求的值.首先寫(xiě)出每個(gè)拉格朗日基本多項(xiàng)式：；然后應(yīng)用拉格朗日插值法，就可以得到的表達(dá)式（為函數(shù)的插值函數(shù)）：，此時(shí)數(shù)值就可以求出所需之值：.1.2插值多項(xiàng)式的存在性與唯一性 存在性對(duì)于給定的個(gè)點(diǎn)：拉格朗日插值法的思路是找到一個(gè)在一點(diǎn)取值為，而在其他點(diǎn)取值都是的多項(xiàng)式.這樣，多項(xiàng)式

4、在點(diǎn)取值為，而在其他點(diǎn)取值都是.而多項(xiàng)式就可以滿(mǎn)足，在其它點(diǎn)取值為的多項(xiàng)式容易找到，例如：，它在點(diǎn)取值為：.由于已經(jīng)假定兩兩互不相同，因此上面的取值不等于.于是，將多項(xiàng)式除以這個(gè)取值，就得到一個(gè)滿(mǎn)足“在取值為，而在其他點(diǎn)取值都是的多項(xiàng)式”：，這就是拉格朗日基本多項(xiàng)式.唯一性次數(shù)不超過(guò)的拉格朗日多項(xiàng)式至多只有一個(gè)，因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)的拉格朗日多項(xiàng)式：和，它們的差在所有個(gè)點(diǎn)上取值都是,因此必然是多項(xiàng)式的倍數(shù).因此，如果這個(gè)差不等于，次數(shù)就一定不小于.但是是兩個(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式之差，它的次數(shù)也不超過(guò)，所以也就是說(shuō).這樣就證明了唯一性.1.3性質(zhì)拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多項(xiàng)式（由某一

5、組 確定）可以看做是由次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式所組成的線(xiàn)性空間：的一組基底.首先，如果存在一組系數(shù)：使得，那么，一方面多項(xiàng)式是滿(mǎn)足的拉格朗日插值多項(xiàng)式，另一方面是零多項(xiàng)式，所以取值永遠(yuǎn)是.所以，這證明了 是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.同時(shí)它一共包含個(gè)多項(xiàng)式，恰好等于的維數(shù).所以 構(gòu)成了 的一組基底.拉格朗日基本多項(xiàng)式作為基底的好處是所有的多項(xiàng)式都是齊次的（都是次多項(xiàng)式）.1.4優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)拉格朗日插值法的公式結(jié)構(gòu)整齊緊湊，在理論分析中十分方便，然而在計(jì)算中，當(dāng)插值點(diǎn)增加或減少一個(gè)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的基本多項(xiàng)式就需要全部重新計(jì)算，于是整個(gè)公式都會(huì)變化，非常繁瑣.這時(shí)可以用重心拉格朗日插值法或牛頓插值法來(lái)代替.此外，當(dāng)插值點(diǎn)比較

6、多的時(shí)候，拉格朗日插值多項(xiàng)式的次數(shù)可能會(huì)很高，因此具有數(shù)值不穩(wěn)定的特點(diǎn)，也就是說(shuō)盡管在已知的幾個(gè)點(diǎn)取到給定的數(shù)值，但在附近卻會(huì)和“實(shí)際上”的值之間有很大的偏差.這類(lèi)現(xiàn)象也被稱(chēng)為龍格現(xiàn)象，解決的辦法是分段用較低次數(shù)的插值多項(xiàng)式.2 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一種改進(jìn).在拉格朗日插值法中，運(yùn)用多項(xiàng)式，圖（2）拉格朗日插值法的數(shù)值穩(wěn)定性：如圖(2)，用于模擬一個(gè)十分平穩(wěn)的函數(shù)時(shí)，插值多項(xiàng)式的取值可能會(huì)突然出現(xiàn)一個(gè)大的偏差（圖中的14至15中間）可以將拉格朗日基本多項(xiàng)式重新寫(xiě)為：，定義重心權(quán)，上面的表達(dá)式可以簡(jiǎn)化為：，于是拉格朗日插值多項(xiàng)式變?yōu)椋?， （1）即所謂的重心拉格

7、朗日插值公式（第一型）或改進(jìn)拉格朗日插值公式.它的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加一個(gè)時(shí)，將每個(gè)都除以，就可以得到新的重心權(quán)，計(jì)算復(fù)雜度為，比重新計(jì)算每個(gè)基本多項(xiàng)式所需要的復(fù)雜度降了一個(gè)量級(jí).將以上的拉格朗日插值多項(xiàng)式用來(lái)對(duì)函數(shù)插值，可以得到：，因?yàn)槭且粋€(gè)多項(xiàng)式.因此，將除以后可得到：， （2）這個(gè)公式被稱(chēng)為重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式.它繼承了（1）式容易計(jì)算的特點(diǎn)，并且在代入值計(jì)算的時(shí)候不必計(jì)算多項(xiàng)式它的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值的話(huà)，可以很好地模擬給定的函數(shù)，使得插值點(diǎn)個(gè)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，最大偏差趨于零.同時(shí)，重心拉格朗日插值結(jié)合切比雪夫節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值可以達(dá)到

8、極佳的數(shù)值穩(wěn)定性.第一型拉格朗日插值是向后穩(wěn)定的，而第二型拉格朗日插值是向前穩(wěn)定的，并且勒貝格常數(shù)很小.3.分段線(xiàn)性插值對(duì)于分段線(xiàn)性插值，我們看一下下面的情況.3.1問(wèn)題的重訴 已知,用分段線(xiàn)性插值法求插值，繪出插值結(jié)果圖形，并觀察插值誤差.1.在-6，6中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值；2.在-6，6中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值；3.在-6，6中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值；4.在-6，6中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值.3.2問(wèn)題的分析在數(shù)值計(jì)算中，已知數(shù)據(jù)通常是離散的，如果要得到這些離散點(diǎn)以外的其他點(diǎn)的函數(shù)值，就需要根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)進(jìn)行插值.而本題只提供了取樣點(diǎn)和原函數(shù).分析問(wèn)題求解方法如下：（1）利用已知函數(shù)式計(jì)

9、算取樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；將作為兩個(gè)等長(zhǎng)的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值.因此被插值函數(shù)是一個(gè)單變量函數(shù)，可利用一維插值處理該數(shù)據(jù)插值問(wèn)題.一維插值采用的方法通常有拉格朗日多項(xiàng)式插值（本題采用3次多項(xiàng)式插值），3次樣條插值法和分段線(xiàn)性插值.（2）分別利用以上插值方法求插值.以0.5個(gè)單位為步長(zhǎng)劃分區(qū)間-6，6，并將每一點(diǎn)作為插值函數(shù)的取樣點(diǎn).再根據(jù)插值函數(shù)計(jì)算所選取樣點(diǎn)的函數(shù)值.最后再利用所得函數(shù)值畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，并與原函數(shù)的圖象進(jìn)行對(duì)比.3.3問(wèn)題的假設(shè) 為了解決上述分析所提到的問(wèn)題，本題可以作出如下假設(shè)：（1）假設(shè)原函數(shù)僅作為求解取樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的樣點(diǎn)值的函數(shù)關(guān)系式.而其他各點(diǎn)的函數(shù)值都是未知

10、量，敘用插值函數(shù)計(jì)算. （2）為了得到理想的對(duì)比函數(shù)圖象，假設(shè)為已知的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù).可以選取0.5個(gè)單位為步長(zhǎng)劃分區(qū)間-6，6，分別計(jì)算插值函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)在該區(qū)間的取樣點(diǎn)的函數(shù)值.畫(huà)出函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比. 3.4分段線(xiàn)性插值原理給定區(qū)間, 將其分割成，已知函數(shù)在這些插值結(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為；求一個(gè)分段函數(shù),使其滿(mǎn)足： (1) ，； (2) 在每個(gè)區(qū)間上, 是個(gè)一次函數(shù).易知,是個(gè)折線(xiàn)函數(shù), 在每個(gè)區(qū)間上,于是, 在上是連續(xù)的，但其一階導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的.于是即可得到如下分段線(xiàn)性插值函數(shù)：,其中 3.5問(wèn)題的求解在MATLAB中實(shí)現(xiàn)分段線(xiàn)性插值，最近點(diǎn)插值，3次多項(xiàng)式插值，3次樣條插值的命令為interp1,其

11、調(diào)用格式為: 1=interp1(,1，method)函數(shù)根據(jù),的值，計(jì)算函數(shù)在1處的值.,Y是兩個(gè)等長(zhǎng)的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值，1是一個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值點(diǎn)，1是一個(gè)與1等長(zhǎng)的插值結(jié)果.method是插值方法，包括：linear：分段線(xiàn)性插值.它是把與插值點(diǎn)靠近的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線(xiàn)連接，然后在直線(xiàn)讓選取對(duì)應(yīng)插值點(diǎn)的數(shù).nearest：近點(diǎn)插值法.根據(jù)已知兩點(diǎn)間的插值點(diǎn)與這兩點(diǎn)間的位置遠(yuǎn)近插值.當(dāng)插值點(diǎn)距離前點(diǎn)遠(yuǎn)時(shí),取前點(diǎn)的值,否則取后點(diǎn)的值.cubic：3次多項(xiàng)式插值.根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出一個(gè)3次多項(xiàng)式，然后根據(jù)多項(xiàng)式進(jìn)行插值.spline：3次樣條插值.在每個(gè)分段（子區(qū)間）內(nèi)構(gòu)造一

12、個(gè)3次多項(xiàng)式，使其插值函數(shù)除滿(mǎn)足插值條件外，還要求個(gè)節(jié)點(diǎn)處具有光滑條件.再根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出樣條函數(shù)后,按照樣條函數(shù)插值.運(yùn)用Matlab工具軟件編寫(xiě)代碼，并分別畫(huà)出圖形如下：(一)在-6，6中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值：（二）在-6，6中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值：（三）在-6，6中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值：（四）在-6，6中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值3.6 分段插值方法的優(yōu)劣性分析從以上對(duì)比函數(shù)圖象可以看出，分段線(xiàn)性插值其總體光滑程度不夠.在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是函數(shù)(曲線(xiàn)) 的階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱(chēng)該曲線(xiàn)具有階光滑性.一般情況下，階數(shù)越高光滑程度越好.分段線(xiàn)性插值具有零階光滑性，也就是不光滑.3次樣條插值就是較低次數(shù)的多項(xiàng)式而達(dá)到較高階光滑性的方法.總體上分段線(xiàn)性插值具有