電動(dòng)力學(xué)第三版課后答案

1、電動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解箐聿 電現(xiàn)象的醬填坎律1很裾算符的微分性與矢請性,推導(dǎo)下列公式:v(ylb) = 5x(vxz) + (5-v)yl + x(vx5)+uv)5ax(yxa) = va2-(av)a解：1) v(>l-b) = 5x(vxa) + (b-vm + .4x(vx5) + (-4-v)首先,算符是一個(gè)微分算符,其貝有對(duì)其后所有表達(dá)式起微分的作用,對(duì)f本題，將作用十j和5.又vs個(gè)xwsr符.rwr欠nt的所打tt:質(zhì).w此.利用公cx(axb) = a(cb)-(ca)b nf?y hj；,其屮a邊前兩項(xiàng)玷作用fa.后兩項(xiàng)是作jijrb2)銀裾第一個(gè)公式.a=bnf證*2 tt

2、u足空間標(biāo)x, y, z的閑數(shù)，證明: vco = -vu du- da >1(fz) = vudu- da vx(u) = vux_.du證明:l)v-y4(u)=04,(u) yoo d4r2(u) dax(ti) du day(ii)加 daz (u) dti - &c du dy d: &cb:ctdudadu3) x a(ll)=ck4相dyae:d_ad4 d4td4v d4匕，+(亡我 d4.(叢玍-+ (-+ (藝玍-=vuxdu 永 du dz du ct du & du qc du dy -du3. isr = 7（x-x ）- + tv-y&

3、#39;）2 + （= - = v為源點(diǎn)x到場點(diǎn)x的跑離.r的方14規(guī)定為從 源點(diǎn)衍向場點(diǎn).1）證明卜'列結(jié)果，并體會(huì)對(duì)源變數(shù)求ia«j（v =g,x+e.x+x）與對(duì)場變數(shù)求 dr d9 divr = - rca- - = - -,vx = o,v- = -v = o.(r * 0) r r r rr r(ttfi a在人r=0點(diǎn)不成ft. w第二$第h節(jié))，2)求v -r,v x f,(a v)f,v(d r),v fo sin( r)vx£0 sin( r)9其中d，f及云。均為常矢量。證明：.f=£+m+m=3dvd:*le、a<s - ix

4、= lr x vdddyq:y-y :(a v)r =( +a + aj:) (-et + -e:)(x -xt)el + (,f -y')ey + (z - z*)e:= (a4+ay+£)(x x，) + g " ) +(z-k = aj4+a/y +a;e: =av(a r) = 5x(vxr) + (a-v)r + rx(vxa) + (r v)-a =(a v)r + rx(vxa) + (r a)-5 = fl + rx(vxd) + (f-v)-flv £o siu( f)】=|v(sin( f)- eq + sin沃.f)(v £

5、0)電動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解菁第一聿電u*現(xiàn)象的醬填蠘律+|gn(f)ej£o=cos(f f)(t4e3 + key +k:e:)ea = cos(f r)(f e)vx0 sin(k f) = vsin(-r) x£0+ sin(/f -f)v x eq4以用商斯定理證明極用斯托克斯（stokes）定理證明證明:1）由高斯定理-4-=f 去吵 o 汝+f (人7人乂:x7 = £(/:-f,ds：)i + (ftds: - f:ds)j + (/；城-f，ds，)k=f(/ - f：j)dsa + (fj - f)dsv + (fj - fj)dsz於令 hfyk-fj

6、9 hy = fx - /x hz = fj - f； 削t式就是:v-hdv = ds-h a斯定理.則證申， 2)由斯托克斯公式有:f-dl =dll+fydiy+fzdlz)x /.d = js（fs -若a）祇+ （去f，去人）咚+ （去人-人）咚 而炎也,dlt +中凡+ kdl,）5己知個(gè)屯荷系統(tǒng)的偶極矩定義為，利用屯荷寸捫定汴v.j + = oiierijp的變化平為:a = p(x，od/證叫： a(荃)1，=-yjxdv =(x.n-( x).7w = ；u；-.(/乃狀 = px-£x/-則 j； (x/). ds = 0,(j|f= 0)_.(苦(警)ihw即：

7、f j(x9t)dy dt jy6矜/ss常7鼠，ilh叫除r=0點(diǎn)以外.= 的旋/t: j lhw爐=¥的梯r2尺3度的負(fù)位.即v xx = -爐w屮r為坐標(biāo)吩點(diǎn)到場點(diǎn)的趴離.方w由點(diǎn)指14場點(diǎn)。證明：vxa = vx(h=-vxlmx(v-) = (v ni)v+(ni v)v-v (v)ni-(v-) rrrrrr電動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解簧第一聿電w*現(xiàn)第的醬填律=(用)£，("*()rv(p= v() = -vn?(v-)=-mxvx(vl)-(vi)x(vxm)-(ni.v)v- rrr rr (i) 妁=_(歷)!_rr/. vxz = -v>7. -內(nèi)外

8、半柃分別為和!的中心介質(zhì)球.介質(zhì)的電界率為r,使介質(zhì)內(nèi)均勻帶w止內(nèi)山電疴pz,求(1) 空m各點(diǎn)的電場(2) 極化體電荷和極化iftf電荷分布解：1) d-c/ = jpyi/r, (r3>r>ri)即：d-47-2 = (?-33 -('.3-'i3)p廠，、/. e = i(f2 >r>f)1112)p=cqzae= cq-e=(e-eq)e.-.pp = -vp = -(r-r0)v= fln -巧”考慮外球売時(shí).r=r2. n從介質(zhì)1拊叫介質(zhì)2 (介質(zhì)ffil4w窄).p2n = 0-5-電動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解箐第一聿電w*現(xiàn)象的醬填蠘律w (r-=o-

9、)-pz考慮刊內(nèi)球克時(shí)，r=r2r3 _,.3(tp = -(6-r0)-p?r|r.ri =08. 內(nèi)外半徑分別為和巧的無窮長中空導(dǎo)體圓柱.沿軸向流有恒定均勻自由電流去.導(dǎo)體 的磁s率為戶，求磁感應(yīng)強(qiáng)皮和磁化電流.解：當(dāng)"時(shí)，0 =0,故h= b = 0r2>r>ri時(shí)dl = inrh = y ds = j人n) =沖心2r2r2 j當(dāng) r>r2 時(shí)，lmh = jq f (rf - /f)云肩25) 27-jm = vxa? = v x h) = v x= (- -1) v x (jy xr= (/1)vx = (1>/,(r, <r<r2)

10、dm=nx(m2 -勾，(n從介廠衍向介質(zhì)2)在內(nèi)表面上.=0,=(!)故 a從=nxm2 = 0,(7. = q fl： f.表亂r=r2吋=>fx(-砵 > = 4x|r-ri-x£-zpljyxrr 2r-1)-6-電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解箐第一聿電w*現(xiàn)象的醬填拿9. _均勻介質(zhì)_極化囑心證明：pp = - p= (£- fq)云=( - fa)云=-(£ 0)- = _(1 )p f10. 證叫w個(gè)w介的悅定屯流閣之叫的相k作用力人小相等.方向相反(fk兩個(gè)電流元之問 的相互作用力-般并不服從牛頓第三定律)證明:1)線1«1在線閣2的磁場屮的

11、受力：p _ f £從帥i x xg2) _ 川山 £ £i x xi) 12 _h(1)2)線闌2在線 1的磁場中受的力:同1)可得t 2 _) - dl) l2h7 21r21分析衣達(dá)式(1)和(2)：(1) 式屮笫一項(xiàng)為対(2)式屮第一項(xiàng)關(guān).h-皆峙()4 g rn11. 甲行板電界器內(nèi)打兩s介質(zhì)，它們的i?度分別為1, fil h,電界率為卩和£2,今洱兩板 接上電動(dòng)勢為e的電池，求(1)電祚器wfe i.的i'ullhi仰密沒歷,（2）介質(zhì)分界而t的n由電荷密度w打介質(zhì)足m電的，電#率分別為和a2.氣電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩問題的結(jié)果如

12、何？解:在相同介質(zhì)中電場是均勻的，并且都脊相同指向 則 + z2£2 = e'- d2n = £e 1e1 = °< 介質(zhì)表itf上巧=0）故，£l = '藝，五2 = !弋 +2fi又報(bào)據(jù)en - d2n = af. （n從介質(zhì)1栴內(nèi)介質(zhì)2） f 在上極板的交ihi上，£）! - £>2 = a4d2li金w板，故 d2=0g|j: a =l: w九12而（t。= 0=4-4 =-d2，（4是下極板，故=0）ir2 +2ri打teiw電,jmfta記電流時(shí)，jln=j2n=jl=j2定流動(dòng)，電蒔不堆積a八

13、=3:=a, =-12 +l2axf'/1<72+/2-s-電初力學(xué)習(xí)風(fēng)解箐第一聿電w*現(xiàn)第的醬填蠘律12. 證明（1）21w忡絕緣介分界ifii上不帶而門山電偫時(shí)，電場線的曲折滿足tail 0x jt屮&和£2分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，q和*分別為界而兩側(cè)電場線4/法線的火角.（2）4兩忡分電介質(zhì)內(nèi)流打作:定電流時(shí)*分界而i.電場線曲折滿足tan 2a: tan ox (7ljt屮gx和a2分別力兩種介質(zhì)的證明:(1)報(bào)裾邊界條件:nx(£2-£1) = 0,即:e2 an = elsin山 f.ii界上o=0，故：« (d2-5

14、,) = 0,即：cos& = cos0.有仏崖，即m=&aq-9-（2）根據(jù):想可得,電場方向與電流密度同方向，由r電流i是恒定的，故有:hj2cos<72毛w：ifihhx(£2-£1) = 0曲： n x(£2 - £j) = 0 即 e-, sin 0, = ex sin 3x cosj故“:13-試用邊也關(guān)系證明：在絕絳介質(zhì)與導(dǎo)體的分界而上，在舴電怡況卜，$體外的電場線 總a乖ft r汙體農(nóng)而：在粑定電流的m況卜導(dǎo)體內(nèi)電場線總a甲行rs體農(nóng)而.證明：（1）汙體在靜電條件卜*達(dá)到靜電平衡.蚌體內(nèi)良=0./ixi2=0,故eq

15、 £jfl 體衣ifik電初力學(xué)習(xí)慝解箐v章電現(xiàn)象的醬填坎律(3)導(dǎo)體中通過(定屯流時(shí)*導(dǎo)體麵tz =0/.導(dǎo)體外毛=0,即：a=0ifu： n-(52 - 5j) = af = ocpzn-d,= 0h - £j = 0異體內(nèi)電場/f向和法線je£l.即t行r導(dǎo)體h14.內(nèi)外肀柃分別為a和b的無限k腳樸形電界器.中位k度電份為入f.板間填充屯導(dǎo)率 為o的北磁性物質(zhì)。(1) 證明在介斌中任何一點(diǎn)傳好電流與位移屯流嚴(yán)格抵消，兇此內(nèi)部無磁場.(2) 求+隨時(shí)叫的£i«規(guī)屮(3) 求與軸+u距為r的地"的能®tt敗功率密度(4)

16、求氏度為1的 段介質(zhì)總的能敗功平，并證明它？r這段的孫電能減少平，(1)證明:由電流連續(xù)性方程:a據(jù)高斯定理pz = v-d/. v.j + -=0,即：.?+. &-db - db/. v (j + ) = 0./. j + = 0 即傳到電流與位移電流嚴(yán)格抵消 ota(2)解：ih相斯定理得：jb-2dljafdl電初力學(xué)習(xí)風(fēng)解箐-11 (3)色(wz.adtdt 1扣. 27du（5）解：革位體松d7 = i2亦dria 2；t£rinr a靜電能屯!，4 縣1u城少書dt ine a dt inr a吧動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參4t第二章舲麩場1. -個(gè)半柃為r的電介質(zhì)球.極化

17、強(qiáng)fffp=k-,電容率為、。(1) 計(jì)算束縛屯荷的體密度和刖密度：(2) 計(jì)算由電荷體密度：(3) il!7球外和球內(nèi)的電勢：(4) 求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能gl解：f11->p =-v p =-= -r(v- r+ -=rv r) = -r/r-r*r- r-乂 球外無極化電<5.a=0=n-fr = n-kr = kir(2)巾公式d=ceb= cqe + p-£p d =: p. = v-d=v-p= 卜a (卜w(3) 對(duì)t球外電場山尚斯定埋耐得:p外.必=£h au -r2sinv. .4=k=.卜 a&&.匙=-似 3fo(-

18、ox-2 -剛刪桃什q.球外電勢j -dr=咆動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參，第二章舲吧場球內(nèi)屯勢=j左外.df+jdf= 級(jí)lnf0(r-r0) r-r0 r1 - 一 1 £ =7d內(nèi)r:ki k i n0 r£k2(rr0) r2. %=xdz=j _)2 .士11 她d出識(shí)=2兀祝(7):w frrr 1 eh:1，.乃 lrk2=wk. 377 .廠r 加地d 物. w = %+ =2£r(1 + )( f0 e- i2. 在均勻外iu場屮5?入肀抒為&的4懷球，試川分離變數(shù)認(rèn)球k列叫種怡況的屯勢:cd導(dǎo)體球匕接介電池，使球與地保持電勢差也;(2)導(dǎo)體球上帶總

19、電荷q.解：(1)氣導(dǎo)體球h接有電池.勹地保持電勢差氏時(shí).以地為電勢；點(diǎn)本m!®的記解條件如h汐外，0 (r>/?0 ) 11，| = -cos. (_紋入球 隊(duì)卜卜為=病報(bào)據(jù)仏關(guān)的數(shù)現(xiàn)iuilu 4解得：pn(cos0) n-0rill j = -<f0/?cos+%h|j：r_ = -eqrcqs0+(pq«llco l氏=a0 + a cos + v anrnpn (cos) + + lcos+ v j-/(cos)! n=2尺化h=2故而<6 a0 =許，& =-eq，an =q(n >l)，d” = 0(n >1)£

20、,0j?cos4-4-為"cos沒r得到：0 =（0-%）oa = wlu.衍定解問題的解為：（2）當(dāng)導(dǎo)體球上帶總電荷（時(shí)，定解問題存在的方式fi:'%=0（尺 <2?0） 1=0（尺 >&>么|r=有限|r=-0rcos+入導(dǎo)體球前坐標(biāo)ki點(diǎn)的電勢）s=h|r-j山 j的衣込穴屮.只出現(xiàn)r（cos） =cos6，故，=0（h>1）足-個(gè)常數(shù)（汙體球s靜電t衡）咆動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參嘮第二章舲憝場又山邊界條忭-f a-jtds-q4r0r 尺-3. 均勻介偵球的屮心艽點(diǎn)電侖&.球的屯容）,球外為rt空.w川分離變數(shù)法求 空m電勢，把紀(jì)災(zāi)與使

21、川尚斯定理所w紡果比較.&4<：空問各點(diǎn)的電勢足點(diǎn)電的hl勢%#與球ifti上的極化電份所產(chǎn)生的屯勢的 咎加.后荇滿足拉儔拉斯方程。w: . ss斯法在球外，r>0,由卨斯定理仏e-ds=q=qj qp = qj . （x，fr整個(gè)導(dǎo)體球 rfutf.由縛電«0? = 0）人£=-4冗w積分后得，汐，一l + c.（c足積分常數(shù)）乂山 j | = o,/.c = o-4-在球內(nèi)，r<0»由介質(zhì)屮的辦斯定理：沿=qf識(shí)分fl衍到：外=- + c*,.（c,足積分常數(shù)）咆動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參嘮第二章舲1場-7-,f, f =爐外i邱，故而有:=q

22、f qrc3 = -(j?<叫r <二分離變破法本®所求的111勢足由點(diǎn)介質(zhì)球的極化也ft兩產(chǎn)屮的屯勢的符加，11有砌稱性-兇此，賭輸ill j #足球?qū)ΨQ的.jt通解為（ff=a + - rq.曲j球心的存在，所以=即=_ + a4/t£r在球外ft|rw=o.即於h=+山邊界條件w卸qun_ o& (ob-即一-百 _=v4，尺40r史內(nèi)=-+ ，r <足ansr 40j44. 均勻介質(zhì)球（屯容平為的屮心-aiipu偶極tpf.球外充滿了另-種介質(zhì)（屯 矜率為r2，求空點(diǎn)的電勢和極化電疴分作.pf.r提示：同上題 0 = -+0ifij0f滿足

23、拉怦拉斯zh2。4,2? 3又心=“-&什（-裁力令比較r（cosff）系數(shù):bo=o. a()=02(1-)py。2( - c2)pfnf ：= 9=4叫+ 2r3)/4 (r, +2r2)比較6（cos9）的系數(shù):所以a2=o.b2 = 0 同理 a, = b, =o.(z = 24 -) 最后佴:4/rfj r 4 ( + 2f2 )7j4, r 4 (f, + 2)7/>，.月 恥-e2)pfpj-r 2(£-2)pf r沖j .艮，（尺 尺0）_外r + cos0 = +r =74 叫 iv 4/(6 +22 )a*44 (fj +2f2 )2?j 4( +2

24、r:)j咆動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參，第二章舲咆場球曲上的極化電斯密度hu”，斤從2桁向1.如果収外法線方向，則ap = 一 = l(r2 - m沙外)li -1(1 - ro)*#h)l-(a - f0)l6(r0 - c2)p1 coso4_ +2r3)2(-)-2(1+2)pf cos沒】pjcos 汐=求極化偶極子：(q +2r?)pf cos 6pj=ql可以看成兩個(gè)點(diǎn)電曹相距1.對(duì)每 個(gè)點(diǎn)電菊運(yùn)用高斯定理，就得費(fèi)在每個(gè) 點(diǎn)電荷旁邊訂極化電荷qp = <qj-qp = (1)(-)，兩荇介fe宋就足極化偶極子 ' s科=4/t£0rj5空心4體球介地內(nèi)外十抒為么和r2,

25、球屮心k-偶極i.p,球必上帶iuq,求空叫k點(diǎn) 電勢和電府分布。解，>3=o,4=oh=cop r 我=74,科為有限值4?t£oh1_e;5r卵，冰巧=c+vcos+-p> + = c 穴2尺三尺2pf cos 沒 + y4n +4j7?i cos汐+ = c 4仰0埤即：aq = = 0,(-4!；?!+ )cos = 0,5, =0(z = 1.2.3-=0(/= 2.3.4.) r24拗f:+ latpl = : + 4| cos0+ 4t£q j?j乂u .dr竽=s(-m)耷/? = -a_2|c?？t:-ds =塔ds =影ds =娜2奢=4油。

26、2/rrw-ds= r* ccos?f sin歷歷爐 + cosf sin歷歷爐=0 + 0故:4竽必4竽=4妨。=晉ctz/tokzv«bo =-，為=4/t£。4 兀 eqr24qra = +->(r < r)4/rrorj 4£qr4r07?2氏=7-，(">尺2)輸0/診2 =7了，(代 <r < 尺2)p-rf g電府分布：在r=ri的曲上d(f- pf cos 沒 -pf cos 沒pj cos 沒介 e° dr 2ttr +44在r=r:而i :-s-咆動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參，第二章舲麩場-9-6. ft均

27、句外電場w況入-帶均勻hrti電的絕緣介質(zhì)球f,求中冷點(diǎn)的電勢。<=£(j +吾)解：a=_ip，2 +診 v = o足由商斯定狎解佝的.的怍用加卜的共m作w.診，|一=-五o'.cosa>|r40 介限.=eqr cos+2 a-/5 (cos)內(nèi)=p，2 + yc/pi(cosb.oc-e0r cos+-+-/ + pfr +c, cos6 + c2rq2p2 + 0 0 - 6£b,-0+=砧0dk 一 r 狄 dt = £a&普=嘗o+eo0】=夸足+広1005+220 + 孚=皆 eo co川 + 2 (-/ -1)菩) a尺

28、0吧動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參嘮第二章舲咆場。勞學(xué)。學(xué)紀(jì) = 一芯0五0tt2£=-勞解濘程衍：b=-pf 35*qco = -0 pf ( + ) 30及：2£c2rq = 尺qc2即 0.(2+3) = 0c2 = b. = 0同理:ct = b,=qeor cos 9 ±cos 沒-3沾氣 cos 久 r > &3/0 r-(f+ 2w=6c£+2£.土拓p,(丄+丄)-2fo£o_rcosr< 30 6r "7、在一個(gè)很人的電解捫屮允滿屯導(dǎo)豐為r的液體.使屮流必均勻的屯流<o.今作液 體屮賈入一個(gè)電好

29、率為巧的小球.求e衡時(shí)屯流和電荷分布.w論a, »cr2及 a2» （叫種怙況的電流分布特點(diǎn).先求空間電勢：么=0 v2=or = 0岡為<=<>（/ =尺0）（松作:電流認(rèn)為表面無電流堆稅，即流入。=流出。）故：2么卜2 2r并 flu=么 即|h，_vc0s<9 （jj. =a2eq） 0 i,冇限4以押解為在恂流時(shí)r ->0的小_h閉曲而流入=流出傘、=一 一-tcos oj' < ctzctj=_五。rcos<?+> rq(tj + 2<t2 r求內(nèi)外電場：£ = -v0 = -(- +-

30、63;"0(cosr _siii 兩)2口，e=eq (cos龐，-sin 龐，)+ 五。° ()2 cos 0st + sin 6ee v 0x + 2<7，=£0(cos歷，-sin+ 五0° ( )3cos莊,-cos樂，+ sin r g + 2<r:=呼<rt + 2<t2 r 求電流：jjo =叫(jjt 0尸 a2zdrcosfl - 5= seisj： j=-+2(7,1-23r0£0 cos0= 心 £ln)= a五內(nèi)”)=v:2a2 _。2)-11 吧動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參4t第二章舲咆場8半似氏

31、的分體球外允滿均勻絕緣介fft. #體球格地，尚球心為a處（a > 2）7；-點(diǎn) 電wez.試用分離貨數(shù)法求f««jx-點(diǎn)電勢.證明所得結(jié)果與鏡悚法結(jié)果相同。提示：111 r-=f 、= -x （一）”巧（cos外（尺 > a）r /r- + a_ - 2arcos0 a a解：1）分離變數(shù)法山電勢旮加fe理，球外電勢：態(tài)贈(zèng) _.臟定猶-12-根據(jù)分離變數(shù)法fib巧（cos <?），（/> 尺0）.=蓋 丁=f=+s 為冇（cos 灼 va + f 一 2ar cos01¥ i e （£）咖的 + e 備巧（cos 的，（r &l

32、t; a>4/rr a wbo a/（）f又k自磊乎+咐。即：u=o，h4=o，.，！a、4r=。mttnanca a4細(xì) an'bl=年，卜守，代入（*）式得解，吧動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答參嘮第二章舲咆場2）植像法如mum坐標(biāo)系，本®u燈球?qū)ΨQ性.在球內(nèi)i處行fftik荷 f 代殲球而r.感叫屯荷對(duì)空叫屯場的 作川.山對(duì)稱性.g在0的連線上。 先令場點(diǎn)6在球面上.根椐邊界3tft<：全+乏=0,即:y =-至_=常數(shù) rflr rcvqt qf將e的位k選在使a g ppa 0/pio.則仏h（常數(shù)）.為達(dá)到這-n的，令e距岡心為r。 %則-rir2并有m嫌卜竽8/t ,

33、 g/ , 6 '4na ana+ r2arcos0尺0、2心丁 1，()2 + 2r-cos這樣.滿足條件的像電府就找到了.空問各點(diǎn)屯勢為:因?yàn)榍蛲庀?0,故感應(yīng)m份圯屮在內(nèi)衣而，并且為一q將分出變數(shù)法所«結(jié)圯展開為legend級(jí)數(shù).種乃讓所求w的電勢+11匁。9. k地的平心4休球的內(nèi)外半r,和久，汗球內(nèi)離球心為3（3<處w /aillffiq.川鏡像法求電勢*導(dǎo)體球上的感成電荷有多少？分ft在內(nèi)s面還足外農(nóng)而？ 解：球外的電灼及#體內(nèi)電勢tu為0、 ifu球內(nèi)電勢只處滿足么=0即可。因此做法及餼案與上題同.解略。吧動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答參嘮第二章舲史場io k®

34、的v休球必4、枝地.而w帶總電ft q。,成wjl:介確定電勢件，試求這種怙況的電 勢。乂問q。足何種關(guān)系時(shí)，w種怡況的解圮相等的？解：由f球克上科n由電份qo.并ft又是導(dǎo)體球克.故牿個(gè)球克w該是等勢體.其屯勢用 商斯定押求得為所以球殼內(nèi)的電勢將巾q的電勢，像電的電勢及球 4沉0尺2/a必的電勢s加而成，球外電勢利用島斯公式就吋得. 故：= -【g一/a+ q+qo.（r < r、）=1 咖。加 d-2 馳沒 2 + _2cos0 盡，（叫么=yra2-2racos0 t. 2r：r j+ < +coso當(dāng)外=錶_龍況_亂11.在接地的v體平ifti上打一"半柃為a的半

35、球凸部（如圖）.半球的球心在v體f面上，點(diǎn)電新q位j系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，并與平面相距為b （b>a）,試用電象法求空間電勢.解：如閣，利用鏡像法，根據(jù)-點(diǎn)電荷附近晉-尤限人接地v體凇板和一點(diǎn)電疴附近s抬地4體球兩個(gè)模頌，nf確定三個(gè)鏡像電疴的電s:和位迓-qi=-qa = 0d& = -c，r3 =-奸-g-,140r2 + b2-2rbcos >ir2 + b2 + 2rbcoso u i. a4，dr+f+214咆動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答參，第二章舲咆場-16-bx-2rcos0 b2 b/ fr>a)12有、點(diǎn)電荷q位十兩個(gè)£相垂直的接地導(dǎo)體平面 所h成的直角空問內(nèi)

36、，它到兩個(gè)平面的e離為a和b. 求空間電勢。解：可以構(gòu)造如閣所示的三個(gè)象電份來代抒兩導(dǎo)體板的作用。g 1廠1術(shù)。(x-x0)2-a)2(=-b)'7(x-xo)2 + (y-«)2 +(- + )2* + , 】，()，：>0)(x-x0)2 + cv + a)3 + (z-t)-v(x-x0)2 + (y + a2 + (: + b)213沒有兩平面闌成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為o的液體。取該兩平面為xz面和yz而，在（xo,yq,zo）和（xy-zo兩點(diǎn)分別迓正負(fù)電極什通以屯流i.求好電液體屮的 電勢，解:本題的物理拽型是，山外加電源在a、b兩點(diǎn)間建立電場，

37、使溶液中的流了運(yùn)動(dòng)形成電流i»為系統(tǒng)e定時(shí).足怛定場.即 .j+g = o屮. a對(duì)riw定的屯流."r按靜電場的方式處現(xiàn).ra.在a點(diǎn)取包圍a的鉭m面:p.= 6. ,fux/ = ds =>-i = le-ds i = e-a aoato. ikdti aocaobcxoyazo)對(duì) b q&=-c=- ct又在棄器畎i. j=o,即元電流流入容器咿.由：j = ae . yj ;=oil-t. £ =0 .4取如圖所示電像:q(wqc.yazo)-qc-xi-zo)q(xoyo.zo)咆動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答參，第二章舲吒場-18 14 hhi!l數(shù)的

38、陽.說明p = -(p v)j()li .個(gè)p 的偶極，的電佾密也. dx0,x*0 co.x = 0郵)a解：d(x)=dxdj(x) r 厶(x + ar)-j(x) =lmidx a.wo ax1) xow， = o dx2) r = 0f, : a) ax > 0以=liin=-的dx ai->o ar k、a八 dd(x)v 0-<no)ax < 0,= inn= +codxax15. 證明1) tf(ax) = -j(x).(e?>0)(若 a<0,結(jié)果如何?)a2) xj(r) = 0.所以(ax)=j(x)2)從逐(x)的定義町直接證明。介任

39、怠數(shù)f(x).則/(x) x = f(x)也為14函數(shù)j f(x)xs(x)dx = /(x) x| x=0 = 016. 一塊極化介質(zhì)的極化矢同力戶(/).根據(jù)偶極子靜電勢的公式.極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜 電勢為r所).尸廠4卿.3另外，報(bào)據(jù)極ft»uis公穴pp = -v px)ra? = /? a極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可及為wiie明以i:兩友達(dá)式足a$同的吧動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參嘮第二章舲史場剛w坫極化休電a的總電勢極化ifti電wat的總電勢之和。17.證明下述結(jié)果兒熟悉如電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化，(1) 在面電荷兩側(cè)，電勢法向嫩商有躍變，而電勢是連續(xù)的(2) 在ifif偶極

40、側(cè)，電勢有躍變= np而電勢的法叫微商足選續(xù)的。(各帶等huh負(fù)曲電兌密度±(jifir保的很近的兩個(gè)曲.形成曲偶極e,而偶極矩密度p = lim of.)r-k)oz證明：1)如閿"j得：2£-a = -,小ile+ 0-e =。jlas曲：=£1= a e-(-e.)dnx2£q &i2-2£q-吧動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參嘮第二章舲吧場=0.18個(gè)半ka rq的球曲，在球的半球ifii l電勢為科.的t: 球面i.電勢為-釣，求空阿托點(diǎn)電勢.2n + l提示：ag) = l|0，(/1 =夼數(shù))a (0) = nl35 (n-1)

41、 (” fw 數(shù))乂1外=0r- 的於外l =0心=/叫,卜，1心鵝= zj/?(cos釣，這足舢按球函數(shù)w幵的廣義wp:葉級(jí)數(shù).馮/'足收開系數(shù).-4,0 =/ =三p內(nèi) | & pi (cos 外/ cos 0=三戸_f 診內(nèi) | 氏巧(cos 、.sin 出0 2 -1 2= _jb/(cos)s11+ p0o6(cos)sinft/a】 «*=巧w也-杯也=(抽 +pi(x)dx lll(-x) = (-l)z7?(x)則：a, = 0o(-l)/+lp(x)+p(x)dx-18 吧動(dòng)力學(xué)習(xí)風(fēng)解答參4t第二章舲麩場|'|1為偶數(shù)吋.-4/=0 當(dāng)1為奇

42、數(shù)時(shí).有:為4 =今、(-1廣1 +1心也=(2/+1) u=碘(- 2.m) -(- i.x:(口1=*i)?二.5.人+(-廬匕.m2 4 6 (/ +1)2.4.6 (/ -1)=(-1) " 5 ( 2)(丄+ 1) = (-1) 13 5，(/'2)(2z +1) 2 4 6- '(1-1) 1 + 12-4-6 - (/ + 1)則:4 廬品車*內(nèi)=s m-1) 了 mm <2/+以士)丨巧(cos 灼，(/取夼數(shù)，. < 構(gòu)) 2.46."(f +1)=zr(cos)又異=¥£ 味物例=(_# 2 4 6 -(/

43、；n(2/+1)/i即：爐外=(-1) 了+1)(么)'+|/(<：08 外(/為奇數(shù)，7>&)2-4-6 (z + l)r咆初力羋習(xí)聰解芥多今第三韋好磁場一個(gè)沿za向的均勻t»:定磁場柔.iha的叫種農(nóng)式.證叫叫？;之差足旋場，解：否。ft沿z方向的均勻的悼定磁場.w 50 = bez, iibo = vx在聯(lián)系屮，w令旮to果uu在良角十»小系屮衣示爲(wèi)j，即:11 m &c-牡-o0-1 -由此組方程，呵fhiu仃多組解.如:解 1: a> =a=o=-boy + /(x)w： >l = |-boy + /(x)w2： a

44、=a:= q.ar = box + 容即：a = bqx + g(y)解1 和解 2 之差為:ax = -boy + /(x)f, - box + gcv)fv 則：di x _ =昂- dlv +(£l -戸 dz&:a5ta-r9t=0這說叫兩ft之發(fā)足a;旋場。2均無窮長形螺線竹，每中.位長度線閽咐數(shù)為n,電流強(qiáng)度為i.試用唯一性定 理求管內(nèi)外磁感座強(qiáng)度b.解：報(bào)裾題怠，w右収螓線療的屮軸線為z軸木題給定了空m屮的電流分布，故i4由b = -dvf求解磁場分布，乂 j在導(dǎo)4j r3壯.所，字1）螺線饤內(nèi)：山r螺線竹足尤限k埋恕螺線竹，故，山電磁7:的燈關(guān)知i只知，其內(nèi)部

45、磁電初力羊習(xí)駔解芥參今第三韋肸磁場場是均勻強(qiáng)磁場.故只須求出其中軸線上的磁感強(qiáng)度.即4知逬管內(nèi)磁場.ihjt無限li的特性，不妨取場點(diǎn)為；點(diǎn).以tt平杯計(jì)算：f = -acos(ffe1 - a sin 滬屺-二吞*dl = -ad(p sin(pex + ad<p cos (ffe、:.dl xr = (adqf. sin(pek + ad (ft. cos qfe) x (-a cos (pe、- a sin qfey - :吞、)=-az9cos(ffdtpfe -a2d(fiez取巾七的以小段.此段i:分a有電流nld:.:.anjdz'(-aqq<pd(ffex

46、-flsfsin+ a2d(fie:、a2 + (:，)2 盧=j=nj2 f )2+i/ a2)螺線管外部由f是al限l<螺線管，+妨就在xoy f曲上任収點(diǎn)p(p.o)為場點(diǎn) (p>a):.|/j = |x - x1=(pcqs(p- acqsfp)2 + (pan (p- asin()2 + 二 =yjp2 + a2 + 二p-zapcos(滬-(f) f = x-x9= ( pcos(p-a cosx)e4 + (psin <p- asin()ev - ez dl = -ad(fi sin(pfex + ad(ff cos (fie、a dl xr = -a二cos(

47、f/d(e*-a二+a2 -apcos(p-(p)d(pfez.b =doy 印(亡+dfd(、d:+s i r3ir3 .oa由r磁場分布在本®屮心軸對(duì)稱性，ifli螺線竹內(nèi)部乂足勻強(qiáng)磁場.jl螺線竹乂足尤限 k.故不會(huì)介磁力線穿出螺線竹，i.述積分為0,所以5 = 0.3 &11長的線電流i沿z軸流動(dòng)，以z<0仝叫充滿磁4半力/z的均句介質(zhì)，z>0 |x 域?yàn)閒th,試用唯性定押求磁撕.強(qiáng)垵b.然c求出磁化屯流分布。解：本題的定解問題為：2a =-/v,（->o） 4=-/"，（二<0） a =|；-ovxj2|ss0=-vx|ff=01

48、7 /oih本auff軸對(duì)稱性，可whi兩個(gè)泛定方杓的特解為：由此可推本迦的可能解足，b = i(:<0)驗(yàn)證邊界條ft: 14 =為|:«0,即療.（忌-或）=0題屮所以邊界條件1）滿足。2）廣心=廣xalw即 hx(/?2-盡)=0本題屮介誠分界而上尤h山電流密沒，乂/z0 w.h2-hl = 0,滿足邊界條件nx(h2-hl) = 0鋒i:所述，山唯性定理可w.本題有唯一解：5 = <d在介璜屮，h = aom,故在z<0的介質(zhì)屮，m = ao咆初力學(xué)習(xí)聰解芥參今第三章婷磁場% o七，h-恥介質(zhì)界而上的磁化電流密度:-5-總的感電流:jm =-r d(p e9

49、 = /(-1),電流在z<0的空問屮.沿z軸流向介質(zhì)分界ifil4 sx<0半中叫充滿磁牙申為/z的均句介質(zhì).x>0中叫為ft中，今介線電流i沿z軸流 動(dòng)，求磁_(tái)強(qiáng)位和磁化屯流分布-解：假設(shè)+趔屮衍磁場分布仍父軸對(duì)稱.則作 b = 2笟vn (by b|) = 0 其滿足辺界條件：k 2nx(h2 - /,) = « = 0郎可得，在介質(zhì)屮：ao. fl x<0的介質(zhì)屮,則iu =.取積分路線為5-><7->yl->5的半岡。ab丄，a ab段積分為岑»'（a-ao）2腳im.由 £12 否=一可帥 =im

50、.2亦/ + /q/z + /a)(沿z軸)5某乎fhjlx:域內(nèi)釘軸對(duì)稱磁場.在撲平h;原點(diǎn)附近已知«50-c(z2-p2). k屮 為常尕，w求該處的提示:用 3 = 0,并驗(yàn)證所得結(jié)果滿足vx異=0 解：lllijuj軸對(duì)稱件.沒b=5/p + 5足.k屮= 30-c(z2-|p?).5 = 0w-2cr = 0pbp=czp2収 >1 = 0 bp = czp/. b = czpepbc(z-0bo dbvj=0,d = 0.x5 = 0 即(-)ed=0(2)a:dp代入(1式可得(2)式成立./. bp = czp . c為常數(shù)。6兩個(gè)半徑為a的同軸線圈形線圈.位f

51、二=±z而上.每個(gè)線囲上載有同方向的電流i.(1) 求軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度(2) 求在屮心區(qū)域產(chǎn)生w接近r均勻的磁場吋的l和a的關(guān)系。為2提示：用條件=0解:1)山屮一薩定ilt. l處線閣在軸線hz處產(chǎn)牛得磁感碎強(qiáng)度為咆初力學(xué)習(xí)雎解芥參今第三章好磁場laaw，5l:=s1 n 1 a#同理，一l處線閣作軸線上z處產(chǎn): />j：h = bj. 晃2'2(z + :)2+a2】尨=-iq2<軸線i.得磁感w強(qiáng)度j(z-z)2 + a2+(£ + z)2 + t72rj ；. x ( x 5) = (. b) v3b = 0乂 b = o， /. v-5 =

52、0tybr =0 代入(1)式屮，w：a：-，-(£-:)2 + a2】5(l-:)2-|(l-:)2 + a2】3 (£-r)2 + a3j3 + 6(l-z)2(l-r)2 + a3f(£-二)2+a|(z + z)2 + a-p(z + z)2 +(z + + atz + + a-r-d-zruz + + a1(i-z)2 + a2r=0取z=0.衍:(£2 + a2)3-2(l2 + a2)2(1? + a2)5 + 12(l2 + a2)5l2 = 0.5z2 = z2 + d-6-電初力羋另it解芥參今第三章肸磁場7 f w為3的無限khi撲