高二數(shù)學(xué)數(shù)列前n項(xiàng)和求法習(xí)題

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年級(jí)：科目：數(shù)學(xué)課時(shí)數(shù)：課 題數(shù)列前N項(xiàng)和求法總結(jié)教學(xué)目的熟悉和掌握常用的數(shù)列求和方法教學(xué)內(nèi)容【典型例題分析】一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：&)na也_均22nai(q 1)2、等比數(shù)列求和公式：Snai(1 q )ai anq(1 q1 qqcn ,1,/、cn , 21,八,c/、3、Snk-n(n1)4、Snkn(n1)(2n 1)k 12k 16105、Snk3 -n(n 1)2k 12.123n例1、 已知log 3 x ，求x x xx的刖n項(xiàng)和.log 2 3一 一一 一S。例2、 設(shè)

2、Sn= 1+2+3+n, nCN*f(n)的最大值.(n 32)Sn 1二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 .例 3、求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1 變式練習(xí)：已知a 0,a 1,數(shù)列an是首項(xiàng)為a,公比也為a的等比數(shù)列，令bnanlgan(nN ),求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加, 就可以得到n個(gè)an).例 4、求 sin21sin

3、2 2 sin2 3 sin2 88 sin2 89 的值變式練習(xí)：已知lg(xy尸a ,求S,其中Slgxn lg(xn 1y) lg(xn 2y2)lg yn四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)， 可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,然后分別求和，再將其合并即可 .111例5、求數(shù)列的刖n項(xiàng)和：1 1, 4, 7,力-彳 3n 2 ,aaan變式練習(xí)1:求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.(備注：Snnk2k 11-n(n 1)(2n 1), Sn 6n312、k-n(n 1)k 12變式練習(xí)2:Sn=-1+3-5+7-+(-1)n(2n-1)

4、五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)公式分解（裂項(xiàng)）如:(1) anf(n 1) f(n)(2)sinlcosn cos(n 1)tan(n 1) tan n（3）an1n(n 1)(4) an(2n)2(2n 1)(2n 1)112 (2n 112n（5）an1n(n 1)(n 2)112 n(n 1)1(n 1)( n一2)(6) ann 21n(n 1) 2n2(n 1) n 1n(n 1)2n 2n 1 (n 1)2n,Sn 1 (n 1)2一 111例6、 求數(shù)列 =

5、,=一=，t , 的刖n項(xiàng)和.1.2,23, , -n 、n 1,例7、在數(shù)列an中，ann 一一 2,又bn ,求數(shù)歹U bn的刖n項(xiàng)的和.n 1an an 1例8、求證:1cos0 cos11cos1 cos21cos12cos88 cos89sin 1、一 一.1111，- 一變式練習(xí)：求數(shù)列,，,的刖 n項(xiàng)和S1 32 43 5 n(n 2)六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 Sn.例 9、求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos178&#

6、176; + cos179° 的值.例 10、數(shù)列an： a11, a2 3,a32,an 2 an 1 an,求 S2010.變式練習(xí)：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a69,求 10g 3 a1log 3 a2log 3 a10 的值.七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 11、求 1 11 111111 1 之和.n個(gè)1例12、已知數(shù)列an: an(n 1)(n 3) n(n11)(anan 1)的值.【課堂練習(xí)】一、，1.*、 1、已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an -

7、n 3(n N )，設(shè)Sn為%的前n項(xiàng)和，則S30；22、已知無(wú)窮等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn 1 %,則該數(shù)列所有項(xiàng)的和為 ；3、數(shù)列an中，a1=-60, an+1=an+3,則這個(gè)數(shù)列前30項(xiàng)絕對(duì)值的和是()A、495 B、765C、3105 D、1964、等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sx若a21自 3,則S4=()A. 12 B. 10 C. 8 D. 65、已知an是等差數(shù)列，aa24,a?a828,則該數(shù)列前10項(xiàng)和6。等于()6、已知數(shù)列 an中的相鄰兩項(xiàng)a2k 1, a2k是關(guān)于x的方程x2 (3k 2k )x 3kg2k 0的兩個(gè)根，且a2k i < a2k (k1,

8、2,3,L ).(I)求 a1，a2, a5, a7;(II)求數(shù)列an的前2n項(xiàng)和S2n。*7、在數(shù)列 an 中，a1 2, ani 4an 3n 1 , n N(i)證明數(shù)列 an n是等比數(shù)列；(n)求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn ；(出)證明不等式 Sn 104sn,對(duì)任意n N皆成立。、填空題（每題1、4,32、3、經(jīng)過(guò)點(diǎn)4, 34、已知直線 a5、2若直線2 m6、7、8、9、績(jī)能教育高二第一學(xué)期期末測(cè)試卷（時(shí)間90分鐘。滿分110分）4分，共40分）,則與a同方向的單位向量是b 1,k且和向量1,2垂直的直線方程是2aa2 1 x a 1 y4 m 1的傾斜角是在邊長(zhǎng)為1的正方形AB

9、CD中，若AB a , BC b ,已知向量a 3,4與b 5, 12 ,則a與b的夾角為15AC0平行，則實(shí)數(shù)ac, a b 2c的值給出30個(gè)數(shù)：1、2、4、7、，其規(guī)律是：第一個(gè)數(shù)是 1,第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大 7, 第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大 2,第四個(gè)數(shù)比第三個(gè)數(shù)大 3,以此類推，要 計(jì)算這30個(gè)數(shù)的和，現(xiàn)給出了該問(wèn)題算法的程序框圖，請(qǐng)?jiān)谂袛嗫颍?）處和執(zhí)行框（2）處，填上合適的詞句，使之能完成該問(wèn)題算法功能。則（1）(2)(2 3 -2)=10、已知I*-PIT>He 3e2, b4g2e2 , c 3e 1金，若以 b、組基，則a可用b、c表示為二.選擇題（每題4分，共20分）11

10、、行列式(A)18中的第二行第3列的代數(shù)余子式為(B) 612、直線x 2 by （b<0）的傾斜角為（(D)1(A) arctan - b.1arctan-b(B)arctanl barctanl b13、下列命題中正確的是()¥ FI-(A) a?b 0 a 0 或 b 02(C) a b a?b a?b14、已知a、b均為單位向量它們的夾角為(B) a/b a在b上的投影為a(D) a?c b?c a b60°,那么 a 3b ()(A) <7(B) <10(C) <13(D) 415、點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AM(A)(B)31 丁-A

11、B- AC,則 S abm - S abc44(C) 1(D)-24三、解答題(每題 10分，共50分)16.用行列式解關(guān)于 x、y的方程組3x y 9 0(1)x 2y 4 0(2)解方程，并對(duì)解的情況進(jìn)行討論2ax 2a 3 y a 2a 1x ay 2a17、已知 a 1,2 , b 3,2 , (1)求：當(dāng)k為何值時(shí),ka b與a 3b垂直;(2)求：當(dāng)k為何值時(shí)，ka b與a3b平行，并判斷平行時(shí)它們是同向還是反向?18. 4ABC中，已知 A（5,-2）、B（7,3）,且AC邊的中點(diǎn) M在y軸上，BC邊的中點(diǎn) N在x 軸上。求：（1）邊AB所在的直線方程的一般式；（2）頂點(diǎn)C的坐標(biāo)

12、。19、已知向量 a x 1, Jxy 1 , b x 1,7xy 1 , （xy>l），且 a b,1（1）求y f x的解析式； （2）當(dāng)x 0,一，求y的最小值。4_23n、20、在直角坐標(biāo)平面中，已知P1（1,2）, P2（2,2 ）尺3,2 ），,Pn（n,2 ）,其中n為正整數(shù),對(duì)平面上任一點(diǎn)Ao，記A1為Ao關(guān)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn)，A2為A關(guān)于點(diǎn)P2的對(duì)稱點(diǎn)，An為An 1關(guān)于點(diǎn)Pn的對(duì)稱點(diǎn)。（1）求向量AA2的坐標(biāo)；（2）對(duì)任意偶數(shù)n,用n表示向量Ao An的坐標(biāo)。1例1.解析：由log3x log 2 3log 3 xlog3 2由等比數(shù)列求和公式得Snxx2x3xn用常用

13、公式）x(1xn）2（11?一 一，一1 ,例2.解析：由等差數(shù)列求和公式得Sn 1n（n21),Sn11一(n 1)(n 2) (利2用常用公式）Sn f(n) n(n 32)Sn 1n2n2 34n 64164n 34 n(n 8n)2 50150一 81當(dāng) vn k,即 n=8 時(shí)，f (n)max 一850例3.解析：由題可知， （2nn 1 一一. 一一 1）x的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列n 1、一一、x 的通項(xiàng)之積設(shè) xSn 1x 3x2 5x37x4(2n 1)xn（設(shè)制錯(cuò)位）得(1 x)Sn1 2x2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn（錯(cuò)位相減）再利用

14、等比數(shù)列的求和公式得:(1一 .一 1 xnx)Sn 1 2x 1- (2n 1)xnSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x) (1 x)2練習(xí)：解析：Q an an, bn n an lg a ,Sn(a2a23a3Lnan)lg aaSn(a22a33a4Lnan 1)lg a-得：(1 a)Sn (a a2annan 1)lg a ,Snalg a2 1 (1 n(1 a)na)a例 4.解析：設(shè) S sin21 sin2 2 sin2 32 2sin 88 sin 89將式右邊反序得_2 _2 _2 -2_2S sin 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin

15、1(倒序)22.又因?yàn)?sin x cos(90 x), sin x cos x 1+(倒序相加)2S (sin 21cos21 ) (sin2 2cos2 2 )得22(sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5練習(xí)：解析：將和式S中各項(xiàng)反序排列，得S lgyn lg(xn1y) lg(xn2y2)lgxn將此和式與原和式兩邊對(duì)應(yīng)相加，得2s=lg(xy)n+lg(xy)n+ ，+lg(xy)n(n+1)項(xiàng) =n(n+1)lg(xy): lg(xy)=a1S=2n(n+1)a11例 5.解析：設(shè) Sn(1 1) ( 4) ( 7)a a將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得11Sn (12a

16、 a(分組)1F) (1 4 7 a(4r 3n 2) a3n 2)當(dāng)2= 1時(shí),Sn n=22組求和）當(dāng)a 1時(shí)，Sn(3n 1)n a(3n 1)n練習(xí)1：解析：設(shè)akk(k1)(2k1) 2k3 3k2 knSnk(kk 11)(2k 1)=n(2k3k 13k2k)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Snk31k2（分組）=2(13 233(1222n2)(1n)2/n (n21)2n(n 1)(2n 1)n(n21)2)=2X=n= Sn=-n （n為奇數(shù)）（分組求和）2n(n 1) (n2練習(xí)2.解法：按n為奇偶數(shù)進(jìn)行分組，連續(xù)兩項(xiàng)為一組。 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：Sn=（-1+3）+（-5+7）+（

17、-9+11）+ +（-2n+1）n 1=2X +（-2n+1）=-n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+ +(-2n+3)+(2n+1) nn （n為偶數(shù)）an6.（裂項(xiàng)）Sn1.3（裂項(xiàng)求和）=(，2.1) (,.3 ,2)(、n（裂項(xiàng)）例7.（裂項(xiàng)求和）解析:anbn8(- n數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn8(111-)(221 1(3 4)(1n)= 8(1例8.解析：設(shè)S春)18nn 11（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）cos0 cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin 1cosn cos(n 1)tan(n1)tan ncos0 cos1cos1 cos2co

18、s88 cos891 ，,cc(tan 1tan0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3 sin1tan 2 ) tan 89tan88 1, ccc、(tan 89tan 0 ) sin 1焉 cOt1cos1. 2 dsin 1原等式成立一 -一 11 1練習(xí)：解析：1 = 1(1n(n 2) 2111Sn=(1)(2324)六）1”11=(1 22n 142n 22n 4例 9.解析：設(shè) Sn= cosl ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179°cosn cos(180 n )(找特殊性質(zhì)項(xiàng))S

19、n= (cos1° + cos179° ) +( cos2° + cos178° ) + (cos3° + cos177° ) + + (cos89° + cos91 ° ) + cos90°(合并求和)=0例 10.解：設(shè) S201o= a1a2 a3a2010a71, a23, a32, an 2an 1 an 可得a41, a53, a61, a83, a92, a10a6k 11, a6k 23, a6k 3a6k 1a6k 22,1, a112, a6k 4a6k 3 a6k 4a6k 53,

20、a122,1 , a6k 53, a6k 6a6k 6（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002a1 a2 a3a2002（合并求和）(a1 a2 a3a6) (a7 a8a12 )(a6k1 a6k 2a6k 6)(a1993a1994a1998)(a1999a2000 a2001a2002a2003(a2005a2006a 2007a2008a2009 a2010 )0a2004練習(xí)：解析：設(shè) Sn 10g 3 allog3 a210g 3al0由等比數(shù)列的性質(zhì) m n pq amanapaq(找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)10g a M log a N log a M N 得Sn(log3a1 log

21、3 a10) (log 3 a2 10g 3 a9) (log 3a5 10g 3 a6 )（合并求和）=(log 3 ai aio) (log 3 a2 a9)=log 3 9log3 9log 3 9=1011.（找通項(xiàng)及特征） 1 11 111111n個(gè)11 1(1091)（分組求和）112=-(101 102910310n)i(1(log 3 a5 a6)111k個(gè)1999k個(gè)1-(10k 91)1 10(10n 1)910=(10n 181109n)例 12.解：(n1)(anan（找通項(xiàng)及特征）（設(shè)制分組）（裂項(xiàng)）(n 1)(ann 1a n 1)4nM裂項(xiàng)求和）1(3課堂練習(xí):1、 2852、 13、133B 4、B