第五章有理函數(shù)的積分ppt課件

1、不定積分的計(jì)算利用不定積分的性質(zhì)利用不定積分的性質(zhì)換元法換元法( 第一、第二第一、第二 )分部積分法分部積分法有理函數(shù)積分法有理函數(shù)積分法 )()()(11101110mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR)cos ,(sinxxR) ,(2cbxaxxR換元法部分分式法一、可化為有理函數(shù)的積分舉例一、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè))cos,(sinxxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬(wàn)能代換t 的有理函數(shù)的積分1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分那么2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,d),(xbaxxRn令nbxat,d)

2、,(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp二、二、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm 時(shí),)(xR為假分式;nm 時(shí),)(xR為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式 + 真分 式分解若干部分分式之和由高等代數(shù)知識(shí)，任何一個(gè)有理真分式均可化為下列四類簡(jiǎn)單分式之和的形式：22 , , , ,()()kkABAx BAx Bx ax axpx qxpx q . 04 2qpRqpaBAZ

3、k，且，常數(shù)其中，四種典型部分分式的積分：四種典型部分分式的積分： CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項(xiàng)積分 pxqpxx2)(2例1.解 . 2422 1322)( 23452寫(xiě)成部分分式形式將xxxxxxxxR ) 1)(2(2422 222345，故令因?yàn)閤xxxxxx ) 1)(2( 1322 2422 132222223452xxxxxxxxxxx1) 1(2222xEDxxCBxxA通分、比較分子的系數(shù)2342)22(

4、)2()(1322xEDABxDExDAxx)22()22(ECAxEDBC得到代數(shù)方程組0 DA02 DE222EDAB222EDBC1322ECA , 2 , 1 , 4 , 3 , 1 故解方程組得：EDCBA . 12) 1(4321 2422 132222223452xxxxxxxxxxxx例2.解 . d431 232xxxx計(jì)算 ) 1()2(43 223，得由xxxx , 2)2(14312232xCxBxAxxx 通分，比較系數(shù)，得 , ) 1)(2() 1()2(122xxCxBxAx ; 92 , 1 Ax得令 ; 35 , 2 Bx得令 , 97 , 0 Cx得令xxx

5、xxxxxd2197)2(1351192d431 2232故 . |2|ln97)2( 35| 1|ln92Cxxxxxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例3. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224242421d(54)254xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:說(shuō)明說(shuō)明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法. 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡(jiǎn)便計(jì)算 .簡(jiǎn)便 , 眾所周知，有些函數(shù)雖然在某區(qū)間上連續(xù)，可以積分，但